苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课堂检测

这是一份苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课堂检测，共36页。试卷主要包含了5B．8C．6D．10等内容，欢迎下载使用。

9.9正方形的性质
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（    ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A．5 B．6 C．12 D．13
3．（2021秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ).

A．22.5° B．45° C．30° D．135°
4．（2021秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD
5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（    ）

A．2−1 B．24 C．23 D．2−2
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF=3，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D，E两点分别在AB,BC上，且BD=BE．若AB=10,DE=4，则△EFC的面积为（    ）

A．7.5 B．8 C．6 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）
10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM=_________°．

11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是_______．

12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．

13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．

14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．

15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6cm和4cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 _____．

16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．

三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC．

18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．

(1)求证：DE＝AF；
(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．
19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．

(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．

(1)求证：BG=CE；
(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分线，求OE的长．
21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上的定点．

(1)如图1中仅用圆规分别在AD、BC上作点E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：EP⊥PF，且EP=PF．
22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．

(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的长；
(2)若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．
23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．

思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝　 　度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
24．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．

(1)如图1，若点F在边BC上，求证：DE=EF；
(2)以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①如图2，若AB=4，CE=32，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数．




答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（    ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，
矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．
2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A．5 B．6 C．12 D．13
【答案】D
【分析】利用勾股定理即可求解.
【详解】解：∵∠C=90∘，
∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，
∴正方形面积S=AB2=13，
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.
3．（2021秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ).

A．22.5° B．45° C．30° D．135°
【答案】A
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
4．（2021秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GF∥AC，GF=12AC，同理可得IG∥BD，IG=12BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
【详解】解：如图所示，

四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF∥AC，GF＝12AC，
同理有IG∥BD，IG＝12BD，
∴12AC＝12BD，
即AC＝BD，
∵GF∥AC，∠IGF＝90°，
∴∠IHO＝90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC＝90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．
故选：D．
【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．
5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（    ）

A．2−1 B．24 C．23 D．2−2
【答案】A
【分析】设DE的长为x，过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EG=ED=x，再根据正方形的性质可得AEGC是等腰直角三角形，可得EC=2x，根据DC=DE+EC，从而求出x的值，即DE的长．
【详解】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，

设DE的长为x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．
∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，
∴EG=DE=x．
在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，
∴∠CEG=∠ECG=45°，
∴CG=EG=x，
∴EC=EG2+CG2=x2+x2=2x，
∴DC=DE+EC=x+2x=1，
解得：x=2−1，
即DE的长为2−1．
故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质等，利用角平分线的性质添加辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO≠OE．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF（故①正确）；
S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA，
∵S△AOB=S△BAF-S△AOF，
S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确）；
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠AFB+∠EAF=90°，
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；
假设AO=OE，

∵AE⊥BF，
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
故错误的只有一个．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF=3，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】如图，首先把△ADF旋转到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决．
【详解】解；如图，把△ADFF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF=∠ABG=∠ABE=90°，
∴∠ABG+∠ABE=180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF=BG,∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°,∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，
∴△EAG≌△EAFSAS，
∴.GE=FE，
设BE=x，
∵CD=6,DF=3，
∴CF=3，
则GE=BG+BE=3+x,CE=6−x，
∴EF=3+x，
∵∠C=90°，
∴(6−x)2+32=(3+x)2，
解得，x=2，
∴BE的长为2．
故选：A．

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
8．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D，E两点分别在AB,BC上，且BD=BE．若AB=10,DE=4，则△EFC的面积为（    ）

A．7.5 B．8 C．6 D．10
【答案】C
【分析】作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分别为M，N，证明△DME≌△ENF，得到ME=NF=2，根据面积公式S△EFC=12×EC×FN计算选择即可．
【详解】如图，作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分别为M，N，

因为正方形DEFG，
所以DE=EF,∠DEF=90°,∠DEM+∠NEF=90°，
因为∠DEM+∠MDE=90°，
所以∠MDE=∠NEF，
所以∠MDE=∠NEF∠DME=∠ENFDE=EF，
所以△DME≌△ENF，
所以ME=NF，
因为等边△ABC，BD=BE，AB=10,DE=4，
所以等边△BDE，BD=BE=DE=4，
所以AB=BC=10,EC=BC−BE=6,BM=ME=FN=2，
所以S△EFC=12×EC×FN=12×2×6=6，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型的构造是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）
【答案】必然
【分析】根据正方形、矩形、菱形的性质、随机事件的定义解答．
【详解】正方形四个都是直角，是矩形，
正方形四条边都相等，是菱形，
正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；
故答案为：必然．
【点睛】本题主要考查了随机事件、正方形的性质以及矩形、菱形的判定，正确掌握矩形、菱形的判定方法是解题关键．
10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM=_________°．

【答案】50
【分析】利用CE⊥MN，求得∠CMG=50°，再利用平行线的性质即可解答本题．
【详解】解：如图，

∵CE⊥MN，
∴∠CGM=90°，
∵∠MCE=40°，
∴∠CMG=90°−40°=50°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMG=50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．
11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是_______．

【答案】45°##45度
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD=DC=DE=CE，∠ADE=150°，可求∠DEA=15°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AD，∠ADC=90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=DE，∠DEC=∠EDC=60°，
∴∠ADE=150°，AD=DE，
∴∠AED=180°−150°2=15°，
∴∠AEC=∠DEC−∠AED=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．

【答案】12
【分析】根据图①得出SA=2SB，将图②进行字母标注，然后利用全等三角形的判定和性质得出∆COE≅∆DOF，利用面积之间的关系即可得出结果．
【详解】解：设正方形A的面积为SA，正方形B的面积为SB，
在图1中，S阴=18SA，S阴=14SB，
∴SA=2SB，
在图2中，进行标注，如图所示：

∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，
∴∠COE=∠DOF，
在∆COE与∆DOF中，
∠COE=∠DOFOE=OF∠CEO=∠DFO=45°，
∴∆COE≅∆DOF，
∴SΔCOE=SΔDOF，
∴S阴影=SΔEOF=14SA=14×2SB=12SB，
故答案为：12．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角形并证明是解题关键．
13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．

【答案】10
【分析】连接EC，根据正方形的性质可得CE的长，即为AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：连接EC，PC，
∵点P是正方形ABCD对角线BD上的一动点，
∴PA=PC
∴PA+PE=PC+PE≥EC
则EC就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，
∴CD=AD=AE+DE=8cm，
∴CE=62+82=10（cm）．
∴AP+PE的最小值是10cm．

【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．

【答案】2.5
【分析】如图所示。连接AG，CG，先证明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再证四边形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后证明MN是△ABG的中位线，则MN=12AG=12CG=2.5．
【详解】解：如图所示。连接AG，CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，
又∵BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SSS），
∴AG=CG，
∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，
∴四边形ECFG是矩形，
∴CG=EF=5，
∵M、N分别是AB，BG的中点，
∴MN是△ABG的中位线，
∴MN=12AG=12CG=2.5，
故答案为：2.5．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6cm和4cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 _____．

【答案】26cm##26厘米
【分析】延长GH交DC的延长线于N，由AAS可证△FGH≌△CNH，可得GH=HN，GF=CN=4，在Rt△GDN中，由勾股定理可求GN的长，即可求解．
【详解】解：如图，延长GH交DC的延长线于N，

∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6cm和4cm，
∴AE∥GF∥CD，GF=AG=4cm，DC=AD=6cm，
∴∠FGH=∠N，GD=6−4=2cm，
∵点H是CF的中点，
∴CH=FH，
在△FGH和△CNH中，
∠FGH=∠N∠FHG=∠CHNFH=CH，
∴△FGH≌△CNHAAS，
∴GH=HN，GF=CN=4cm，
∴DN=DC+CN=6+4=10cm，
∴GN=GD2+DN2=4+100=226cm，
∴GH=26cm，
故答案为：26cm．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．

【答案】k＞22或k＜0且k≠﹣43
【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，

∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得AE2=OE2−OA2=9−1=8，
∴AE＝22，
∴E（1，22），
当直线y＝kx经过点（1，22）时，k＝22，
∵OB2=AB2+OA2=16+1=17，
∴OB=17＜5，
当点E在线段BM上时，OE＜OB=17＜5，
∴k＞22，符合题意；
②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，由勾股定理得 DE2=OE2−OD2=25−9=16，
∴DE＝4，
∴E（﹣3，4），此时E与C重合，
当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=−43，
当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，
∴k＜0且k≠−43，符合题意；
综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞22或k＜0且k≠−43．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC．

【答案】见解析
【分析】求得BE=2，证明BE=BD，推出∠BDE=∠E=∠DCE，即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴BD=12+12=2，DC∥AE，
∵BE=2，∠CDE=∠E，
∴BE=BD，
∴∠BDE=∠E=∠CDE，
∴DE平分∠BDC．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明BE=BD是解题的关键．
18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．

(1)求证：DE＝AF；
(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．
【答案】(1)见解析
(2)655

【分析】（1）证明△ADE≌△BAF，即可求证；
（2）根据勾股定理可得DE=25，从而得到AF=25，再由S△ADE=12DE⋅AG=12AE⋅AD，可得AG=455，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴△ADE≌△BAFASA，
∴DE=AF．
（2）
解：∵AB=4，点E是AB中点，
∴AE=2，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=25，
∵DE=AF，
∴AF=25，
∵S△ADE=12DE⋅AG=12AE⋅AD，
∴AG=455，
∴GF=655．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．

(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)80

【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；
（2）根据勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°
在△ADE和△ABF中，
AD=AB∠D=∠ABFDE=BF
∴△ADE≌△ABF（SAS）．
（2）解：∵BC＝12，
∴AD＝12
在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，
∴AE＝AD2+DE2＝410，
由（1）知△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．
∴∠EAF＝90°
∴SΔAEF=12AE2=12×160=80
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．

(1)求证：BG=CE；
(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分线，求OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)OE=2−2

【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．
（1）
证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，
∴∠EOC=∠GOB=90°，
∴∠OEC+∠OCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠OEC+∠OBG=90°，
∴∠OBG=∠OCE，
在△EOC和△GOB中，
∠EOC=∠GOBOC=OB∠OBG=∠OCE，
∴△EOC≌△GOB（ASA），
∴BG=CE；
（2）
解：∵BF⊥CE，
∴∠EFB=∠CFB=90°，
∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠EBF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴BE=BC，
在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，
∵OB=2，
根据勾股定理，得BC=2，
∴OE+2=2，
∴OE=2-2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上的定点．

(1)如图1中仅用圆规分别在AD、BC上作点E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：EP⊥PF，且EP=PF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用圆规在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；
（2）利用正方形的性质得到∠A＝∠B＝90°，再证明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再证明∠EPF＝90°，从而得到PE⊥PF．
【详解】（1）解：如图1，点E、F为所作；

（2）证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
在△APE和△BFP中，
AE=BP∠A=∠BAP=BF，
∴△APE≌△BFP（SAS），
∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，
∵∠AEP+∠APE＝90°，
∴∠APE+∠BPF＝90°，
∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，
∴PE⊥PF，
即EP⊥PF，且EP＝PF
【点睛】本题考查了作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．

(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的长；
(2)若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．
【答案】(1)BE=12−62
(2)见解析

【分析】 （1）在正方形ABCD 中，由 FD⊥DE，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且AD=DC ，利用 AAS得到ΔDAE≌ΔDCF，利用全等三角形对应边相等得到 AE=CF，进而利用BE=AB−AE 计算BE 的长；
（2）在HF 上取一点 P，使 FP=EH，连接DP ，利用SAS 得到ΔDEH≌ΔDFP，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到DH=DP ，∠EDH=∠FDP ，进而确定出ΔDHP为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．
【详解】（1） ∵四边形ABCD是正方形，DF⊥DE
∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠ADC=90°
∵DE⊥DF
∴∠EDF=90°
∴∠2=90°−∠EDC=∠CDF，∠A=∠DCF=90°
在△DAE和△DCF中
∠2=∠CDFAD=CD∠A=∠DCF

∴ΔDAE≌ΔDCF
∴AE=CF
又∵CF=BF−BC=BD−BC=62−6
∴AE=CF=62−6
则BE=AB−AE=6−62−6=12−62
（2）

在 HF上取一点P ，使PF=HE ，连接DP

由（1）ΔDAE≌ΔDCF
∴DE=DF
则△EDF是等腰直角三角形
∴∠DEF=∠DFE=45°
在△DEH和△DPE中
DE=DF∠DEH=∠DFPEH=PF

∴ΔDEH≌ΔDFP
则DH=DP，∠EDH=∠FDP
∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF
∴∠EDH=∠1=12∠2=1245°−∠EDH
∴∠EDH=15°，∠FDP=15°
则∠HDP=90°−15°−15°=60°
∴ΔDHP为等边三角形
∴HD=HP
∵HF=HP+PF
∴HF=HE+HD
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．

思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝　 　度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把ΔABE绕点A逆时针旋转90°至ΔADE'，则F、D、E'在一条直线上，ΔADE'≌ΔABE，再证ΔAEF≌△AE'F，得EF=E'F，进而得出结论；
（2）将ΔABE绕点A逆时针旋转90°得到ΔADE'，由旋转的性质得ΔADE'≌ΔABE，再证ΔAEF≌△AE'F，得E'F=EF，进而得出结论；
（3）将ΔABD绕点A逆时针旋转得到ΔACD'，连接ED'，则ΔACD'≌ΔABD，得CD'=BD，因此SΔABC=S四边形AD'CD=14，同（2）得ΔADE≌△AD'E，则DE=D'E，SΔADE=S△AD'E=6，得BD、DE、EC围成的三角形面积=S△ED'C，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至ΔADE'，

则F、D、E'在一条直线上，ΔADE'≌△ABE，
∴DE'＝BE，∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，
∴∠E'AE＝∠EAD+∠DAE'＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠E'AF＝∠E'AE﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF，
∴△AEF≌△AE'F（SAS），
∴E'F=EF，
∵E'F=DE'+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF    理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，

∴△ADE'≌△ABE，
∴AE＝AE'，BE＝DE'，∠DAE'＝∠BAE，
∴∠E'AE＝∠BAE+∠E'AB＝∠E'AD+∠E'AB＝∠BAD＝90°，
则∠E'AF＝∠E'AE﹣∠EAF＝45°，
∴∠E'AF＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AE'F中，
AE=AE'∠E'AF=∠EAFAF=AF，
∴△AEF≌△AE'F（SAS），
∴E'F=EF，
∵DF=DE'+E'F，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD'，连接ED'，

则△ACD'≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴SΔABC=S四边形AD'CD=14，
同（2）得：△ADE≌△AD'E（SAS），
∴DE=D'E，SΔADE=S△AD'E=6，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、D'E、EC围成的三角形面积SΔED'C=S四边形AD'CD−S△ADE−S△AD'E=2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
24．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．

(1)如图1，若点F在边BC上，求证：DE=EF；
(2)以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①如图2，若AB=4，CE=32，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②125°或35°
【分析】（1）连接BE，由正方形的对称性证得△ECB≌△ECD(SAS)，推出∠EBF=∠EDC，再根据四边形的内角和定理可证明∠CDE+∠CFE=180°，进而证得∠EBF=∠EFB，得BE=EF，便可得DE=EF；
（2）①证明ΔADE≅ΔCDG得CG=AE，求出AE的长度便可；②分两种情况：∠ADE=35°或∠CDE=35°，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．
（1）
解：证明：如图，连接BE，

∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵EC=EC，CB=CD，
∴△ECB≌△ECD(SAS)，
∴∠EBF=∠EDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF=90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠CDE+∠CFE=360°−(∠DCF+∠DEF)=180°，
∵∠CFE+∠EFB=180°，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF，
∴DE=EF；
（2）
①∵四边形DEFG为矩形，DE=EF，
∴四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°=∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
∴ΔADE≅ΔCDG(SAS)，
∴AE=CG，
∵AB=4，
∴AC=2AB=42，
∵CE=32，
∴CG=AE=AC−CE=2；
②当∠AED=35°时，如图，

∠CDE=90°−∠AED=55°，
∵∠CDE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=125°，
当∠CDE=35°时，如图，

∵∠DEH=∠HCF=90°，∠DHE=∠CHF，
∴∠EFC=∠CDE=35°，
综上，∠EFC=125°或35°．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是作辅助线和证明全等三角形．