还剩32页未读，
继续阅读
初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形达标测试
展开
这是一份初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形达标测试，共35页。试卷主要包含了2D．2等内容，欢迎下载使用。
9.6矩形的判定
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
4．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°．你认为下列说法正确的是（ ）
A．小刚和小东都正确 B．仅小刚正确 C．仅小东正确 D．小刚和小东都错误
5．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为（ ）
A．32 B．4 C．25 D．10
6．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，则△ADE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF．以下结论中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )
A．2 B．3 C．1.2 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）要使▱ABCD是矩形，你添加的条件是 ___________．（写出一种即可）
10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
11．（2021秋·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有______个
12．（2018秋·江苏南通·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，则∠OED=________°．
13．（2016秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为_____________度．
14．（2021秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
15．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，则BP的最小值为________．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小红以4m/s的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°， ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是
18．（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD应满足的条件是____________．（直接写出答案．不需要证明）
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 时，四边形ABDF是矩形．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．
21．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．
22．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
23．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
24．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
【答案】B
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可得.
【详解】解：A.由有一组邻边相等的平行四边形是菱形得：当AB=AD时，它是菱形，则此项正确，不符合题意；
B.由对角线相等的平行四边形是矩形得：当AC=BD时，它是矩形，不一定是正方形，则此项不正确，符合题意；
C.由有一个角是直角的平行四边形是矩形得：当∠ABC=90°时，它是矩形，则此项正确，不符合题意；
D.由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得：当AC⊥BD时，它是菱形，则此项正确，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题关键.
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
4．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°．你认为下列说法正确的是（ ）
A．小刚和小东都正确 B．仅小刚正确 C．仅小东正确 D．小刚和小东都错误
【答案】A
【分析】根据矩形的判定定理，逐项证明即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．故小刚正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故小东正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行推理证明．
5．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为（ ）
A．32 B．4 C．25 D．10
【答案】D
【分析】由已知可得△ABE是等腰直角三角形，求得DF＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3,∠B=∠BAD=90°，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AB=2，
∴CE=1．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠EFC=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴CF=CE=1，
∴DF=1，
∴AF=DF2+AD2=10．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，则△ADE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点D作DG⊥BC 于G，过点E作EF⊥AD ，交AD 的延长线于点F，先证明△EDF≌△CDG（AAS），从而得EF=CG，再证明四边形ABGD为矩形，然后利用EF=CG=BC-BG=BC-AD，求得EF的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】过点D作DG⊥BC 于G，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F
又∵CD⊥DE
∴∠EDF+∠FDC=90°,∠GDC+∠FDC=90°
∴∠EDF＝∠GDC
∴在△EDF和△CDG中
∠F＝∠GDC∠EDF＝∠GDCED＝CD ，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG，
∵AD∥BC,AB⊥BC,DG⊥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DGB=90° ，
∴四边形ABGD为矩形，
∴BG=AD=4，
又∵BC=6，
∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=6-4=2，
△ADE的面积为：12AD×EF=12×4×2=4；
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
7．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF．以下结论中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】①连接PC，证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，证明四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断；②证明△AMP≌△FPE（HL），得到∠BAP＝∠PFE，进而求解；③当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22，即可判断．
【详解】解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵PF⊥CD，
∴PM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠MAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠MAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴∠PHF＝180°-（∠PFH+∠HPF）＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB2+AD2=42，△ABD是等腰直角三角形，
则当AP⊥BD时，AP最小，
∴AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )
A．2 B．3 C．1.2 D．2
【答案】C
【分析】根据题意，AM=12EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】解：如图所示，连接AP，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=32+42=5，
∴BC边上的高h=125（三角形面积法），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=12EF，
∴AM=12AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为125，
∴AM的最小值为65，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）要使▱ABCD是矩形，你添加的条件是 ___________．（写出一种即可）
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【分析】添加的条件是AC=BD，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，即可推出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查对矩形的判定的理解和掌握，能灵活运用矩形的判定进行推理是解此题的关键．此题是一个开放性题目，答案不唯一．
10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
【答案】AC⊥BD
【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E=90°即可．
【详解】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】本题主要考查对矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFGH和∠E=90°是解此题的关键．
11．（2021秋·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有______个
【答案】2
【分析】先根据平行四边形的判定推出四边形AEDF是平行四边形，再根据等腰三角形的性质推出AD平分∠BAC，再根据菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定推出即可．
【详解】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，故①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故②正确；
③∵AD⊥BC，AC=AB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，四边形AEDF不一定是正方形，故③错误；
即正确的个数是2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
12．（2018秋·江苏南通·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，则∠OED=________°．
【答案】30
【详解】在矩形ABCD中,∠ADC=90°,DE平分∠ADC,则∠ADE=∠CDE=45°,
又∠EDO=15°,则∠ADO=∠ADE+∠EDO=60°,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相等且互相平分,AO=DO,又∠ADO=60°,得△ADO是等边三角形,AO=DO=AD,
∠AOD=∠DAO=∠ADO=60°,又∠DAE=90°,∠ADE=45°,△ADE是等腰直角三角形,AD=AE,∠AED=∠ADE=45°,∴AO=AD=AE,△EAO是等腰三角形,∠AOE=∠AEO,
又∠EAO=90°-∠DAO=30°,得∠AEO=（180°-∠EAO）/2=75°,
∠OED=∠AEO-∠AED=75°-45°=30°,故答案为:30.
13．（2016秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为_____________度．
【答案】90
【详解】试题分析：根据矩形的判定定理以及三角形中位线的性质可得：∠ADC＋∠BCD=90°.
考点：(1)、矩形的性质；(2)、中位线的性质
14．（2021秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【答案】60或300
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝12AD＝12AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，则BP的最小值为________．
【答案】1
【分析】根据点A、P的关系可知，点P的运动轨迹为以点D为圆心，AD为半径的圆弧，所以当点B、P、D三点在一条直线时，BP=BD−DP最短．
【详解】如图所示，以点D为圆心，AD为半径画圆弧
∴AD=DP'
由图可知，当点P运动到P'时BP'最短
∴BP'=BD−DP'=BD−AD
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=90°
∴BP'=32+42−4=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小红以4m/s的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．
【答案】92
【分析】连接GC，由“SAS”可证ΔABG≅ΔCBG，可得AG=GC，由矩形的性质GC=EF=AG，即可求解．
【详解】解：如图，连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=150m，∠ABD=∠CBD=∠BDC=45°，
在ΔABG和ΔCBG中，
BG=BG∠ABG=∠CBG=45°AB=BC，
∴ΔABG≅ΔCBG(SAS)
∴AG=GC，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四边形GECF是矩形，
∴GC=EF，
∴EF=AG，
∵∠BDE=45°，GE⊥DE，
∴∠GDE=∠DGE，
∴GE=DE，
∵小红行走的路程为310m，
∴AB+AG+GE=310m，
∴小明行走的路程=AB+AD+DE+EF=AB+AG+GE+AD=310+150=460m，
∴t=4604×1.25=92s，
故答案为：92．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°， ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是
【答案】①③或②③
【分析】选择的条件只要能证得四边形ABCD是矩形即可证明四边形OBEC是菱形.
【详解】选择①③时，
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
选择②③时，
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
综上可得，选择的条件是①③或②③
【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
18．（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD应满足的条件是____________．（直接写出答案．不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）AB＝2AD
【分析】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；
（2）由AB＝2AD证出四边形AEFD是菱形，得出AF⊥DE，即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）解：当AB＝2AD时，平行四边形EHFG是矩形．理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB＝CD，
∴AE＝DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又∵AB＝2AD，E为AB中点，
则AB＝2AE，
于是有AE＝AD＝12AB，
∴四边形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EGF＝90°，
由（1）得：四边形EHFG是平行四边形，
∴四边形EHFG是矩形；
故答案为：AB＝2AD．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意找准条件，有一定的难度．
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 时，四边形ABDF是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】（1）要证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AB=DF即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先写出∠C与∠BED之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到∠BAF=90°，再结合（1）中的结论，即可得到四边形ABDF是矩形．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∠BED=2∠C时，四边形ABDF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四边形ABDF是平行四边形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四边形ABDF是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AC=BC，理由见解析
【分析】（1）推导出AM=CN且AM∥CN，从而证四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC=BC时，可得出CM⊥AB，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∵M，N分别为AB和CD的中点
∴AM=12AB，CN=12CD
∴AM＝CN，且AB∥CD
∴四边形AMCN是平行四边形
（2）答：AC=BC时，四边形AMCN是矩形
证明∵AC=BC，且M是BC的中点
∴CM⊥AB
即∠AMC＝90°
∴四边形AMCN是矩形
【点睛】本题考查平行四边形和矩形的证明，根据证明需要的条件，在题干中相应推导出来即可．
21．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．
【答案】(1)见解析；
(2)DE=2；
(3)矩
【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；
（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度；
（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四边形的性质可得AC=BD，从而可得结论．
（1）
∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
∠BAO=∠DCOAO=CO∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴DE=AD-AE=BC-AB，
∵BC-AB=2，
∴DE=2；
（3）
∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB=2∠ADB，
∴∠OAD=∠ODA，
∴AO=DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)详见解析；
(2)75°；
(3)43．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
（1）
证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=23，
∴矩形OEC的面积=BC×AB=43．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC=AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
（2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，证明结论；
（3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论．
【详解】解：（1）证明：如图①，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AB=CDBD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC=AD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，
则∠E=∠F=90°．
∵∠DAB=∠BCD，
∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠E=∠F∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，AE=CF，
∵∠E=∠F=90°，BE=DF，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，
则△ABD′≌△A′BD，
∴∠A=∠A′，
而四边形A′BCD不是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
【答案】(1)AE=t，AD=12-2t；
(2)见解析
(3)当t=3秒或t=245秒时，△DEF为直角三角形．
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=12AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=12AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值．
（1）
解：由题意得AE=t，AD=12-2t；
（2）
解：∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=12CD=12×2t=t，
∵AE=t，
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）
解：①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=12AD，
∴t=12（12-2t），
∴t=3；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∴AD=12AE，
∴12-2t=12t，
∴t=245，
综上：当t=3秒或t=245秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质．另外，解题时，需要分类讨论．
9.6矩形的判定
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
4．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°．你认为下列说法正确的是（ ）
A．小刚和小东都正确 B．仅小刚正确 C．仅小东正确 D．小刚和小东都错误
5．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为（ ）
A．32 B．4 C．25 D．10
6．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，则△ADE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF．以下结论中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )
A．2 B．3 C．1.2 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）要使▱ABCD是矩形，你添加的条件是 ___________．（写出一种即可）
10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
11．（2021秋·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有______个
12．（2018秋·江苏南通·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，则∠OED=________°．
13．（2016秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为_____________度．
14．（2021秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
15．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，则BP的最小值为________．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小红以4m/s的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°， ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是
18．（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD应满足的条件是____________．（直接写出答案．不需要证明）
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 时，四边形ABDF是矩形．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．
21．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．
22．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
23．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
24．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
【答案】B
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可得.
【详解】解：A.由有一组邻边相等的平行四边形是菱形得：当AB=AD时，它是菱形，则此项正确，不符合题意；
B.由对角线相等的平行四边形是矩形得：当AC=BD时，它是矩形，不一定是正方形，则此项不正确，符合题意；
C.由有一个角是直角的平行四边形是矩形得：当∠ABC=90°时，它是矩形，则此项正确，不符合题意；
D.由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得：当AC⊥BD时，它是菱形，则此项正确，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题关键.
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
4．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°．你认为下列说法正确的是（ ）
A．小刚和小东都正确 B．仅小刚正确 C．仅小东正确 D．小刚和小东都错误
【答案】A
【分析】根据矩形的判定定理，逐项证明即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．故小刚正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故小东正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行推理证明．
5．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为（ ）
A．32 B．4 C．25 D．10
【答案】D
【分析】由已知可得△ABE是等腰直角三角形，求得DF＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3,∠B=∠BAD=90°，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AB=2，
∴CE=1．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠EFC=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴CF=CE=1，
∴DF=1，
∴AF=DF2+AD2=10．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，则△ADE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点D作DG⊥BC 于G，过点E作EF⊥AD ，交AD 的延长线于点F，先证明△EDF≌△CDG（AAS），从而得EF=CG，再证明四边形ABGD为矩形，然后利用EF=CG=BC-BG=BC-AD，求得EF的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】过点D作DG⊥BC 于G，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F
又∵CD⊥DE
∴∠EDF+∠FDC=90°,∠GDC+∠FDC=90°
∴∠EDF＝∠GDC
∴在△EDF和△CDG中
∠F＝∠GDC∠EDF＝∠GDCED＝CD ，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG，
∵AD∥BC,AB⊥BC,DG⊥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DGB=90° ，
∴四边形ABGD为矩形，
∴BG=AD=4，
又∵BC=6，
∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=6-4=2，
△ADE的面积为：12AD×EF=12×4×2=4；
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
7．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF．以下结论中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】①连接PC，证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，证明四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断；②证明△AMP≌△FPE（HL），得到∠BAP＝∠PFE，进而求解；③当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22，即可判断．
【详解】解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵PF⊥CD，
∴PM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠MAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠MAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴∠PHF＝180°-（∠PFH+∠HPF）＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB2+AD2=42，△ABD是等腰直角三角形，
则当AP⊥BD时，AP最小，
∴AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )
A．2 B．3 C．1.2 D．2
【答案】C
【分析】根据题意，AM=12EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】解：如图所示，连接AP，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=32+42=5，
∴BC边上的高h=125（三角形面积法），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=12EF，
∴AM=12AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为125，
∴AM的最小值为65，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）要使▱ABCD是矩形，你添加的条件是 ___________．（写出一种即可）
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【分析】添加的条件是AC=BD，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，即可推出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查对矩形的判定的理解和掌握，能灵活运用矩形的判定进行推理是解此题的关键．此题是一个开放性题目，答案不唯一．
10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
【答案】AC⊥BD
【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E=90°即可．
【详解】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】本题主要考查对矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFGH和∠E=90°是解此题的关键．
11．（2021秋·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有______个
【答案】2
【分析】先根据平行四边形的判定推出四边形AEDF是平行四边形，再根据等腰三角形的性质推出AD平分∠BAC，再根据菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定推出即可．
【详解】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，故①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故②正确；
③∵AD⊥BC，AC=AB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，四边形AEDF不一定是正方形，故③错误；
即正确的个数是2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
12．（2018秋·江苏南通·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，则∠OED=________°．
【答案】30
【详解】在矩形ABCD中,∠ADC=90°,DE平分∠ADC,则∠ADE=∠CDE=45°,
又∠EDO=15°,则∠ADO=∠ADE+∠EDO=60°,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相等且互相平分,AO=DO,又∠ADO=60°,得△ADO是等边三角形,AO=DO=AD,
∠AOD=∠DAO=∠ADO=60°,又∠DAE=90°,∠ADE=45°,△ADE是等腰直角三角形,AD=AE,∠AED=∠ADE=45°,∴AO=AD=AE,△EAO是等腰三角形,∠AOE=∠AEO,
又∠EAO=90°-∠DAO=30°,得∠AEO=（180°-∠EAO）/2=75°,
∠OED=∠AEO-∠AED=75°-45°=30°,故答案为:30.
13．（2016秋·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为_____________度．
【答案】90
【详解】试题分析：根据矩形的判定定理以及三角形中位线的性质可得：∠ADC＋∠BCD=90°.
考点：(1)、矩形的性质；(2)、中位线的性质
14．（2021秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【答案】60或300
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝12AD＝12AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，则BP的最小值为________．
【答案】1
【分析】根据点A、P的关系可知，点P的运动轨迹为以点D为圆心，AD为半径的圆弧，所以当点B、P、D三点在一条直线时，BP=BD−DP最短．
【详解】如图所示，以点D为圆心，AD为半径画圆弧
∴AD=DP'
由图可知，当点P运动到P'时BP'最短
∴BP'=BD−DP'=BD−AD
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=90°
∴BP'=32+42−4=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小红以4m/s的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．
【答案】92
【分析】连接GC，由“SAS”可证ΔABG≅ΔCBG，可得AG=GC，由矩形的性质GC=EF=AG，即可求解．
【详解】解：如图，连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=150m，∠ABD=∠CBD=∠BDC=45°，
在ΔABG和ΔCBG中，
BG=BG∠ABG=∠CBG=45°AB=BC，
∴ΔABG≅ΔCBG(SAS)
∴AG=GC，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四边形GECF是矩形，
∴GC=EF，
∴EF=AG，
∵∠BDE=45°，GE⊥DE，
∴∠GDE=∠DGE，
∴GE=DE，
∵小红行走的路程为310m，
∴AB+AG+GE=310m，
∴小明行走的路程=AB+AD+DE+EF=AB+AG+GE+AD=310+150=460m，
∴t=4604×1.25=92s，
故答案为：92．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°， ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是
【答案】①③或②③
【分析】选择的条件只要能证得四边形ABCD是矩形即可证明四边形OBEC是菱形.
【详解】选择①③时，
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
选择②③时，
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
综上可得，选择的条件是①③或②③
【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
18．（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD应满足的条件是____________．（直接写出答案．不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）AB＝2AD
【分析】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；
（2）由AB＝2AD证出四边形AEFD是菱形，得出AF⊥DE，即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）解：当AB＝2AD时，平行四边形EHFG是矩形．理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB＝CD，
∴AE＝DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又∵AB＝2AD，E为AB中点，
则AB＝2AE，
于是有AE＝AD＝12AB，
∴四边形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EGF＝90°，
由（1）得：四边形EHFG是平行四边形，
∴四边形EHFG是矩形；
故答案为：AB＝2AD．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意找准条件，有一定的难度．
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 时，四边形ABDF是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】（1）要证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AB=DF即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先写出∠C与∠BED之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到∠BAF=90°，再结合（1）中的结论，即可得到四边形ABDF是矩形．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∠BED=2∠C时，四边形ABDF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四边形ABDF是平行四边形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四边形ABDF是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
20．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AC=BC，理由见解析
【分析】（1）推导出AM=CN且AM∥CN，从而证四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC=BC时，可得出CM⊥AB，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∵M，N分别为AB和CD的中点
∴AM=12AB，CN=12CD
∴AM＝CN，且AB∥CD
∴四边形AMCN是平行四边形
（2）答：AC=BC时，四边形AMCN是矩形
证明∵AC=BC，且M是BC的中点
∴CM⊥AB
即∠AMC＝90°
∴四边形AMCN是矩形
【点睛】本题考查平行四边形和矩形的证明，根据证明需要的条件，在题干中相应推导出来即可．
21．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．
【答案】(1)见解析；
(2)DE=2；
(3)矩
【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；
（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度；
（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四边形的性质可得AC=BD，从而可得结论．
（1）
∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
∠BAO=∠DCOAO=CO∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴DE=AD-AE=BC-AB，
∵BC-AB=2，
∴DE=2；
（3）
∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB=2∠ADB，
∴∠OAD=∠ODA，
∴AO=DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)详见解析；
(2)75°；
(3)43．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
（1）
证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=23，
∴矩形OEC的面积=BC×AB=43．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC=AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
（2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，证明结论；
（3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论．
【详解】解：（1）证明：如图①，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AB=CDBD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC=AD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，
则∠E=∠F=90°．
∵∠DAB=∠BCD，
∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠E=∠F∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，AE=CF，
∵∠E=∠F=90°，BE=DF，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，
则△ABD′≌△A′BD，
∴∠A=∠A′，
而四边形A′BCD不是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．（2022秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
【答案】(1)AE=t，AD=12-2t；
(2)见解析
(3)当t=3秒或t=245秒时，△DEF为直角三角形．
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=12AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=12AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值．
（1）
解：由题意得AE=t，AD=12-2t；
（2）
解：∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=12CD=12×2t=t，
∵AE=t，
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）
解：①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=12AD，
∴t=12（12-2t），
∴t=3；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∴AD=12AE，
∴12-2t=12t，
∴t=245，
综上：当t=3秒或t=245秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质．另外，解题时，需要分类讨论．
相关试卷
苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课堂检测： 这是一份苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课堂检测，共36页。试卷主要包含了5B．8C．6D．10等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形达标测试： 这是一份苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形达标测试，共34页。
初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形课时练习： 这是一份初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形课时练习，共32页。
