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初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形课时练习
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这是一份初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形课时练习，共32页。
9.7菱形的性质
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直
2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（ ）°
A．60 B．20 C．80 D．100
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20º B．25º C．30º D．35º
4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=2，AB'＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．15 D．17
7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，则点A与点B'之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．
10．（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．
11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．
12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．
13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________
14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；
②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．
15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．
16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
18．（2021春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
19．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．
20．（2021春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．
21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）△APB≌△APD；
（2）PD2＝PE•PF．
22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．
23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 ；
(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；
(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF= 度．
24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．
(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；
(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．
①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；
②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】直接根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）、菱形的性质、矩形的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、菱形和矩形都是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、菱形和矩形都具有对角相等的性质，则此项不符合题意；
C、菱形和矩形都具有对边平行的性质，则此项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、中心对称图形，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（ ）°
A．60 B．20 C．80 D．100
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC,∠B=∠D，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠D=80°，
∴∠C=100°；
故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20º B．25º C．30º D．35º
【答案】C
【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．
【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．
4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【分析】连接BD,BE，先根据菱形的性质可得∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质可得∠ADC=100°,DE=BE=AE，再根据等腰三角形的性质可得∠ADE=∠CAD=40°，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：如图，连接BD,BE，
∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=80°，
∴∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，
∴∠ADC=180°−∠BAD=100°,BE=DE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠CAD=40°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【分析】根据等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．
【详解】解：∵等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，
∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，
整理得，3∠B=240°，
解得∠B=80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=2，AB'＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．15 D．17
【答案】D
【分析】连接AB'，根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，O'B'⊥O'C、BC=B'C，根据AB'=5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【详解】解：连接AB'，如图：
∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，且AC=2，
∴OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B'C
∴O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3，
∵AB'=5，
∴O'B'=AB'2-O'A2=5-32=4，
∴B'C=O'B'2+O'C2=42+12=17，
∴BC=B'C=17，
即菱形ABCD的边长是17，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．
7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，则点A与点B'之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，可得AC⊥BD，所以∠BOC=90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，所以∠CO'B'=∠BOC=90°，AO'=6，OB'=8，再根据勾股定理即可求出点A与点B'之间的距离．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，
∴∠CO'B'=∠BOC=90°，
∴O'C=OC=OA=12AC=2，
∴AO'=6，
∵OB=OD=O'B'=12BD=8，
在Rt△AO'B'中，根据勾股定理，得：
AB'=AO'2+O'B'2=62+82=10．
则点A与点B'之间的距离为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
【答案】D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB=42+32=5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．
【答案】24
【分析】由菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：菱形的面积=6×82=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
10．（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．
【答案】140°##140度
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABD=20°，
∴∠ABC=2∠ABD=40°，
∴∠C=180°−∠ABC=140°；
故答案为：140°．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．
11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．
【答案】52
【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中OAD，由此即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC=12AC=12×24=12，OB=OD=12BD=12×10=5，
在Rt△OAD中，AD=OA2+OD2=122+52=13，
∴菱形ABCD的周长为13×4=52，
故答案是：52．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．
【答案】25
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OC=OA=4，由勾股定理可得BE=AE=5，从而得到OB=BE+OE=8，再由勾股定理求出BC，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=OA=4，
∵OE=3,OA=4，
∴AE=OA2+OE2=5，
∵BE=AE，
∴BE=AE=5，
∴OB=BE+OE=8，
∴BC=OB2+OC2=82+42=45，
∵点F为CD的中点，
∴OF=12BC=25．
故答案为：25
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________
【答案】33
【分析】连接DE，DF根据题意得出DE就是所求的EF+BF的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合∠DAB=60°，得出△ABD为等边三角形，根据E为AB的中点，得出DE⊥AB，根据勾股定理，计算出DE即可．
【详解】∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则EF+BF=DF+BF≥DE，
则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，∠ADE=30°，
∴AE=12AD=3，
∴ED=AD2−AE2=62−32=33，
∴EF+BF的最小值为33．
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，是解题的关键．
14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；
②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．
【答案】 20 0
【分析】由菱形的性质可得出α+β=180，即可求出β=100，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当α=β=90时，菱形是正方形，从而得出当α−β=0时，菱形是正方形．
【详解】∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，
∴α+β=180，即80+β=180，
解得：β=100
∴该菱形的“接近度”为α−β=80−100=20；
∵四个角都为直角的菱形是正方形，
∴当α=β=90时，菱形是正方形，
∴α−β=0时，菱形是正方形．
故答案为：20，0．
【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定，对新定义的理解．读懂题意，理解“接近度”是解题关键．
15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．
【答案】4
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BF:CE=1:2设BF=x,CE=2x，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵BF:CE=1:2
∴设BF=x,CE=2x
∵点E是边CD的中点
∴CD=2CE=4x
∵菱形ABCD
∴CD=BC=4x，CE//AB
∵EF⊥AB，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴CM=EF=7，
MF=CE=2x
∴BM=3x
在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2
∴(3x)2+(7)2=(4x)2，
解得x=1或x=−1（舍去）
∴CD=4x=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．
【答案】7−1
【分析】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出CM=7，当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，进一步求解即可．
【详解】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB∥CD，
∴∠HDM=∠A=60°，
∴∠HMD=30°，
∵点M是AD边的中点，
∴DM=12AD=1，
∴DH=12DH=12，
根据勾股定理，得：HM=DM2−DH2=12−122=32，
∵CD=2，
∴CH=CD+DH=2+12=52，
根据勾股定理，得：CM=HM2+CH2=322+522=7，
∵MN=1，
当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，
CN'=CM−MN=7−1，
∴CN的最小值为7−1，
故答案为：7−1．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出CM=7．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)6
(2)183
【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知ΔABD是等边三角形，推出BD=AB，即可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．
（1）
解：∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=AD=BC=CD=244=6，
又∵∠BAD＝60°，
∴ΔABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=6，
故对角线BD的长为6；
（2）
解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，
∴OB=12BD=12×6=3，∠AOB=90°，
又∵ AB=6，
∴AO=AB2−OB2=62−32=33，
∴AC=2AO=63，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×63×6=183，
故菱形ABCD的面积是183．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（2021春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
【答案】245
【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，
AB=OA2+OB2=5，
菱形的面积为12AC×BD=12×8×6=24，
∴AB×BE=24，
BE=245．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．
19．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，EG=5．
【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=2，AE=32即可；
（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．
(1)
解：如图所示：
(2)
解：如图所示：
EG=12+22=5．
【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．
20．（2021春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．
【答案】证明见解析．
【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝DF
在△DAF和△DCE中，
DF=DE∠ADF=∠CDEAD=CD，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠EAG＝∠FCG，
在△AEG和△CFG中，
∠EAG=∠FCG∠AGE=∠CGFAE=CF，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG，
在△DGE和△DGF中，
DE=DFEG=FGDG=DG，
∴△DGE≌△DGF（SSS），
∴∠DGE＝∠DGF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）△APB≌△APD；
（2）PD2＝PE•PF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；
（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得BPPF=PEPB，可得结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABP和△ADP中，
AD=AB∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）∵△ABP≌△ADP，
∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，
∵AD//BC，
∴∠ADP＝∠E，
∴∠E＝∠ABP，
又∵∠FPB＝∠EPB，
∴△EPB∽△BPF，
∴BPPF=PEPB，
∴PB2＝PE•PF，
∴PD2＝PE•PF．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．
22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据菱形的性质，得到AC⊥BD，OA=OC=12AC，再根据等量代换，得出OC=DE，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质，得到CF=AF=EF，进而得出AE=2，再根据勾股定理，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD， OA=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC， DE=12AC，
∴OC=DE，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，
∴OD∥CE，∠OCE=90°，
∵O是AC中点，
∴F为AE中点，
∴CF=AF=EF，
∵CF=CE=1，
∴EF=1，
∴AE=2，
∴AC=AE2−CE2=22−12=3．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 ；
(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；
(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF= 度．
【答案】(1)24
(2)见解析
(3)30
【分析】（1）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，由勾股定理可求AC，由菱形的面积公式可以求解；
（2）先证四边形ABFE是平行四边形，可得AE=BF，由线段垂直平分线的性质可得结论；
（3）先证ΔADC≅ΔADE，可得∠DAE=∠DAC=40°，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
∵AD=5，OD=4，
∴AO=AD2−DO2=25−16=3，BD=2OD=8，
∴AC=6，
∴菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×6×8=24，
故答案为：24；
（2）证明：如图，连接CE，交AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵四边形CDEF是菱形，
∴EF∥CD，EF=CD，EC⊥FD，EH=CH，
∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分EC，
∴四边形ABFE是平行四边形，AC=AE，
∴AE=BF，
∴AC=BF；
（3）解：∵四边形ACBD是菱形，四边形CDEF是菱形，
∴AD=AC，CD=CF=DE，∠ADE=∠ADC，
∵AD=AD，∠ADE=∠ADC，CD=ED，
∴ΔADC≅ΔADE(SAS)，
∴∠DAE=∠DAC=40°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=70°，
∵CD=CF，
∴∠ADC=∠CFD=70°，
∴∠ACF=∠CFD−∠DAC=70°−40°=30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．
(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；
(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．
①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；
②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)MN=33
(2)①DF2+CF2=EQ2，理由见详解；②四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9
【分析】（1）四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=60°，易证△AMB≌△AND(AAS)，可知△AMN是等边三角形，AB=6，∠B=60°，由此即可求解；
（2）①将∠EAF绕着顶点A旋转，根据旋转的性质可证△ABE≌△ACF(SAS)，△ACE≌△ADF(SAS)，△BEC≌△CFD(SSS)，从而得出CE2+CQ2=EQ2，由此即可求解；②∠EAF旋转过程中，判断四边形AEQF的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，则可求出S△AEF，四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ，当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，由此找出△EFQ的面积最大即可，当EQ=FQ时，由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，且△EFQ的最大面积=12×18=9，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=180°−∠BAD=60°，∠C=120°，
∴∠D=60°，
∵AE⊥BC，
∴∠AMC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠ANC=360°−120°−60°−90°=90°，
∴∠AMB=∠AND=90°，
在△AMB和△AND中，
∠B=∠D∠AMB=∠AND=90°AB=AD，
∴△AMB≌△AND(AAS)，
∴AM=AN，
∵∠EAF=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AM，
∵AB=6，∠B=60°，
∴AM=33，
∴MN=33．
（2）解：①DF2+CF2=EQ2，理由如下，
如图所示，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ACD=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AE=AF=AB，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF，
∵CQ=CF，
∴BE=CF=CQ，
同理△ACE≌△ADF(SAS)，
∴CE=DF，
∵BC=CD，
∴△BEC≌△CFD(SSS)，
∴∠BCE=∠CDF，∠EBC=∠FCD，
设∠BAE=α，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠EBC=90°−12α−60°=30°−12α，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAC=60°−α，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=12(180°−60°+α)=60°+12α，
∴∠ECB=60°+12α−60°=12α，
∴∠QEC=∠EBC+∠ECB=30°−12α+12α=30°，
∴∠QFC=∠FDC+∠FCD=30°，
∵CQ=CF，
∴∠QFC=∠CQF=30°，
∵∠EBC=∠CDF=30，
∴∠BQD=360°−120°−60°−60°−30°=90°，
∴∠EQC=90°−30°=60°，
∴∠QCE=180°−30°−60°=90°，
∴CE2+CQ2=EQ2，
∵CE=DF，CQ=CF，
∴DF2+CF2=EQ2；
②如图所示，连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，
∵∠EAF=60°，AE=AF=6，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=6，
∴AP=33，
∴S△AEF=12×EF·AP=12×6×33=93，
∵四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+S△EFQ，
∴当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，
∵∠EQF=90°，
∴当EQ=FQ时，即由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，
∵EF是由EQ，FQ为边组成正方形的对角线，
∴正方形面积为12EF2=18，
∴△EFQ的最大面积=12×18=9，
∴四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+9．
∴四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．
9.7菱形的性质
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直
2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（ ）°
A．60 B．20 C．80 D．100
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20º B．25º C．30º D．35º
4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=2，AB'＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．15 D．17
7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，则点A与点B'之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．
10．（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．
11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．
12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．
13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________
14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；
②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．
15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．
16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
18．（2021春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
19．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．
20．（2021春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．
21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）△APB≌△APD；
（2）PD2＝PE•PF．
22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．
23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 ；
(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；
(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF= 度．
24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．
(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；
(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．
①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；
②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】直接根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）、菱形的性质、矩形的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、菱形和矩形都是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、菱形和矩形都具有对角相等的性质，则此项不符合题意；
C、菱形和矩形都具有对边平行的性质，则此项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、中心对称图形，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（ ）°
A．60 B．20 C．80 D．100
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC,∠B=∠D，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠D=80°，
∴∠C=100°；
故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20º B．25º C．30º D．35º
【答案】C
【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．
【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．
4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【分析】连接BD,BE，先根据菱形的性质可得∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质可得∠ADC=100°,DE=BE=AE，再根据等腰三角形的性质可得∠ADE=∠CAD=40°，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：如图，连接BD,BE，
∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=80°，
∴∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，
∴∠ADC=180°−∠BAD=100°,BE=DE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠CAD=40°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【分析】根据等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．
【详解】解：∵等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，
∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，
整理得，3∠B=240°，
解得∠B=80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=2，AB'＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．15 D．17
【答案】D
【分析】连接AB'，根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，O'B'⊥O'C、BC=B'C，根据AB'=5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【详解】解：连接AB'，如图：
∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，且AC=2，
∴OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B'C
∴O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3，
∵AB'=5，
∴O'B'=AB'2-O'A2=5-32=4，
∴B'C=O'B'2+O'C2=42+12=17，
∴BC=B'C=17，
即菱形ABCD的边长是17，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．
7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，则点A与点B'之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，可得AC⊥BD，所以∠BOC=90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，所以∠CO'B'=∠BOC=90°，AO'=6，OB'=8，再根据勾股定理即可求出点A与点B'之间的距离．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，
∴∠CO'B'=∠BOC=90°，
∴O'C=OC=OA=12AC=2，
∴AO'=6，
∵OB=OD=O'B'=12BD=8，
在Rt△AO'B'中，根据勾股定理，得：
AB'=AO'2+O'B'2=62+82=10．
则点A与点B'之间的距离为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．10 D．20
【答案】D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB=42+32=5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．
【答案】24
【分析】由菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：菱形的面积=6×82=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
10．（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．
【答案】140°##140度
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABD=20°，
∴∠ABC=2∠ABD=40°，
∴∠C=180°−∠ABC=140°；
故答案为：140°．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．
11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．
【答案】52
【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中OAD，由此即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC=12AC=12×24=12，OB=OD=12BD=12×10=5，
在Rt△OAD中，AD=OA2+OD2=122+52=13，
∴菱形ABCD的周长为13×4=52，
故答案是：52．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．
【答案】25
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OC=OA=4，由勾股定理可得BE=AE=5，从而得到OB=BE+OE=8，再由勾股定理求出BC，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=OA=4，
∵OE=3,OA=4，
∴AE=OA2+OE2=5，
∵BE=AE，
∴BE=AE=5，
∴OB=BE+OE=8，
∴BC=OB2+OC2=82+42=45，
∵点F为CD的中点，
∴OF=12BC=25．
故答案为：25
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________
【答案】33
【分析】连接DE，DF根据题意得出DE就是所求的EF+BF的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合∠DAB=60°，得出△ABD为等边三角形，根据E为AB的中点，得出DE⊥AB，根据勾股定理，计算出DE即可．
【详解】∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则EF+BF=DF+BF≥DE，
则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，∠ADE=30°，
∴AE=12AD=3，
∴ED=AD2−AE2=62−32=33，
∴EF+BF的最小值为33．
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，是解题的关键．
14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；
②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．
【答案】 20 0
【分析】由菱形的性质可得出α+β=180，即可求出β=100，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当α=β=90时，菱形是正方形，从而得出当α−β=0时，菱形是正方形．
【详解】∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，
∴α+β=180，即80+β=180，
解得：β=100
∴该菱形的“接近度”为α−β=80−100=20；
∵四个角都为直角的菱形是正方形，
∴当α=β=90时，菱形是正方形，
∴α−β=0时，菱形是正方形．
故答案为：20，0．
【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定，对新定义的理解．读懂题意，理解“接近度”是解题关键．
15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．
【答案】4
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BF:CE=1:2设BF=x,CE=2x，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵BF:CE=1:2
∴设BF=x,CE=2x
∵点E是边CD的中点
∴CD=2CE=4x
∵菱形ABCD
∴CD=BC=4x，CE//AB
∵EF⊥AB，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴CM=EF=7，
MF=CE=2x
∴BM=3x
在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2
∴(3x)2+(7)2=(4x)2，
解得x=1或x=−1（舍去）
∴CD=4x=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．
【答案】7−1
【分析】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出CM=7，当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，进一步求解即可．
【详解】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB∥CD，
∴∠HDM=∠A=60°，
∴∠HMD=30°，
∵点M是AD边的中点，
∴DM=12AD=1，
∴DH=12DH=12，
根据勾股定理，得：HM=DM2−DH2=12−122=32，
∵CD=2，
∴CH=CD+DH=2+12=52，
根据勾股定理，得：CM=HM2+CH2=322+522=7，
∵MN=1，
当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，
CN'=CM−MN=7−1，
∴CN的最小值为7−1，
故答案为：7−1．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出CM=7．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)6
(2)183
【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知ΔABD是等边三角形，推出BD=AB，即可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．
（1）
解：∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=AD=BC=CD=244=6，
又∵∠BAD＝60°，
∴ΔABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=6，
故对角线BD的长为6；
（2）
解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，
∴OB=12BD=12×6=3，∠AOB=90°，
又∵ AB=6，
∴AO=AB2−OB2=62−32=33，
∴AC=2AO=63，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×63×6=183，
故菱形ABCD的面积是183．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（2021春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
【答案】245
【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，
AB=OA2+OB2=5，
菱形的面积为12AC×BD=12×8×6=24，
∴AB×BE=24，
BE=245．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．
19．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，EG=5．
【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=2，AE=32即可；
（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．
(1)
解：如图所示：
(2)
解：如图所示：
EG=12+22=5．
【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．
20．（2021春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．
【答案】证明见解析．
【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝DF
在△DAF和△DCE中，
DF=DE∠ADF=∠CDEAD=CD，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠EAG＝∠FCG，
在△AEG和△CFG中，
∠EAG=∠FCG∠AGE=∠CGFAE=CF，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG，
在△DGE和△DGF中，
DE=DFEG=FGDG=DG，
∴△DGE≌△DGF（SSS），
∴∠DGE＝∠DGF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）△APB≌△APD；
（2）PD2＝PE•PF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；
（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得BPPF=PEPB，可得结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABP和△ADP中，
AD=AB∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）∵△ABP≌△ADP，
∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，
∵AD//BC，
∴∠ADP＝∠E，
∴∠E＝∠ABP，
又∵∠FPB＝∠EPB，
∴△EPB∽△BPF，
∴BPPF=PEPB，
∴PB2＝PE•PF，
∴PD2＝PE•PF．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．
22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据菱形的性质，得到AC⊥BD，OA=OC=12AC，再根据等量代换，得出OC=DE，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质，得到CF=AF=EF，进而得出AE=2，再根据勾股定理，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD， OA=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC， DE=12AC，
∴OC=DE，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，
∴OD∥CE，∠OCE=90°，
∵O是AC中点，
∴F为AE中点，
∴CF=AF=EF，
∵CF=CE=1，
∴EF=1，
∴AE=2，
∴AC=AE2−CE2=22−12=3．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 ；
(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；
(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF= 度．
【答案】(1)24
(2)见解析
(3)30
【分析】（1）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，由勾股定理可求AC，由菱形的面积公式可以求解；
（2）先证四边形ABFE是平行四边形，可得AE=BF，由线段垂直平分线的性质可得结论；
（3）先证ΔADC≅ΔADE，可得∠DAE=∠DAC=40°，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
∵AD=5，OD=4，
∴AO=AD2−DO2=25−16=3，BD=2OD=8，
∴AC=6，
∴菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×6×8=24，
故答案为：24；
（2）证明：如图，连接CE，交AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵四边形CDEF是菱形，
∴EF∥CD，EF=CD，EC⊥FD，EH=CH，
∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分EC，
∴四边形ABFE是平行四边形，AC=AE，
∴AE=BF，
∴AC=BF；
（3）解：∵四边形ACBD是菱形，四边形CDEF是菱形，
∴AD=AC，CD=CF=DE，∠ADE=∠ADC，
∵AD=AD，∠ADE=∠ADC，CD=ED，
∴ΔADC≅ΔADE(SAS)，
∴∠DAE=∠DAC=40°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=70°，
∵CD=CF，
∴∠ADC=∠CFD=70°，
∴∠ACF=∠CFD−∠DAC=70°−40°=30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．
(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；
(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．
①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；
②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)MN=33
(2)①DF2+CF2=EQ2，理由见详解；②四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9
【分析】（1）四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=60°，易证△AMB≌△AND(AAS)，可知△AMN是等边三角形，AB=6，∠B=60°，由此即可求解；
（2）①将∠EAF绕着顶点A旋转，根据旋转的性质可证△ABE≌△ACF(SAS)，△ACE≌△ADF(SAS)，△BEC≌△CFD(SSS)，从而得出CE2+CQ2=EQ2，由此即可求解；②∠EAF旋转过程中，判断四边形AEQF的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，则可求出S△AEF，四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ，当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，由此找出△EFQ的面积最大即可，当EQ=FQ时，由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，且△EFQ的最大面积=12×18=9，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=180°−∠BAD=60°，∠C=120°，
∴∠D=60°，
∵AE⊥BC，
∴∠AMC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠ANC=360°−120°−60°−90°=90°，
∴∠AMB=∠AND=90°，
在△AMB和△AND中，
∠B=∠D∠AMB=∠AND=90°AB=AD，
∴△AMB≌△AND(AAS)，
∴AM=AN，
∵∠EAF=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AM，
∵AB=6，∠B=60°，
∴AM=33，
∴MN=33．
（2）解：①DF2+CF2=EQ2，理由如下，
如图所示，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ACD=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AE=AF=AB，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF，
∵CQ=CF，
∴BE=CF=CQ，
同理△ACE≌△ADF(SAS)，
∴CE=DF，
∵BC=CD，
∴△BEC≌△CFD(SSS)，
∴∠BCE=∠CDF，∠EBC=∠FCD，
设∠BAE=α，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠EBC=90°−12α−60°=30°−12α，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAC=60°−α，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=12(180°−60°+α)=60°+12α，
∴∠ECB=60°+12α−60°=12α，
∴∠QEC=∠EBC+∠ECB=30°−12α+12α=30°，
∴∠QFC=∠FDC+∠FCD=30°，
∵CQ=CF，
∴∠QFC=∠CQF=30°，
∵∠EBC=∠CDF=30，
∴∠BQD=360°−120°−60°−60°−30°=90°，
∴∠EQC=90°−30°=60°，
∴∠QCE=180°−30°−60°=90°，
∴CE2+CQ2=EQ2，
∵CE=DF，CQ=CF，
∴DF2+CF2=EQ2；
②如图所示，连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，
∵∠EAF=60°，AE=AF=6，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=6，
∴AP=33，
∴S△AEF=12×EF·AP=12×6×33=93，
∵四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+S△EFQ，
∴当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，
∵∠EQF=90°，
∴当EQ=FQ时，即由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，
∵EF是由EQ，FQ为边组成正方形的对角线，
∴正方形面积为12EF2=18，
∴△EFQ的最大面积=12×18=9，
∴四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+9．
∴四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．
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