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2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷，共32页。
2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．（4分）在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况
3．（4分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）计算的结果在（ ）
A．0至1之间 B．1至2之间 C．2至3之间 D．3至4之间
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
6．（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质特征的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）
7．（4分）点M在x轴上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，1）
C．（﹣3，1）或（3，1） D．（﹣1，3）或（1，3）
8．（4分）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（ ）
A． B．16 C．8 D．
11．（4分）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．18 B．21 C．22 D．25
12．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；
②BF＝2EF；③BE＝CE；
④AB＝BG+AD；
⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将答案填在答题卡上对应的横线上
13．（4分）将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是 ．
14．（4分）有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．
16．（4分）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 万元．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（23）2﹣（）（）．
18．（8分）化简求值：（a+3），其中a＝2．
四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE，若BE平分∠ABC，DE＝4，求BE的长．
20．（10分）体考，是同学们一定要攻下的“中考第一关”．为了提升体育成绩，我校九年级的同学们加强了“高抬腿”、“开合跳”这两个项目的训练．在12月12日的体锻课上，九年级的同学们进行了这两个项目的30秒快速练习．九年级（1）班的10位同学主动结成“体育运动小组”，小明对他们的训练结果进行了整理、描述和分析（完成个数用x表示，其中A：65≤x≤70，B：60≤x≤65，C：55≤x≤60），下面给出了部分信息：
10位同学30秒“高抬腿”的个数：57，63，63，69，59，66，70，65，65，63．
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64．
10位同学体育训练项目完成个数统计表
项目
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
高抬腿
64
64
a
14.4
50%
开合跳
64
b
62
19
40%
（1）填空：（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若九年级共有3000名同学，估计12月12日“开合跳”训练得到A等级的人数；
（3）根据以上数据，你认为九年级的同学们应该加强哪一个项目的练习？请说明理由（写出一条理由即可）．
21．（10分）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
22．（10分）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，直线l2与y轴交于点C．
（1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在网格中画出直线l1与直线l2的图；
（2）连接BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象．直接写出mx+n＜x+b的解集．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝3+2，∴1432是“天平数”，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”．
（1）判断5326是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出F（m）的值；
（2）已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N）＝264，求出满足条件的所有的M的值．
25．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．（4分）在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接化简二次根式，再利用有理数的定义判断得出答案．
【解答】解：在，0，，，2，﹣1.414中，有理数有：，0，，﹣1.414共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数，正确掌握有理数的定义是解题关键．
2．（4分）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度，适合全面调查，故本选项符合题意；
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（4分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层左起第2个位置是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4．（4分）计算的结果在（ ）
A．0至1之间 B．1至2之间 C．2至3之间 D．3至4之间
【分析】先算乘法，再算减法，然后再估算出的值即可解答．
【解答】解：
2，
∵4＜5＜9，
∴23，
∴02＜1，
∴计算的结果在：0至1之间，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
6．（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质特征的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝x﹣2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，令y＝0，求得x＝2，令x＝0，求得y＝﹣2，即可得出抛物线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2）．
【解答】解：∵直线y＝x﹣2中，k＝1＞0，b＝﹣2＜0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x﹣2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B符合直线y＝x﹣2的性质特征；
∵当y＝0时，则x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴函数图象与x轴交于（2，0），选项C不符合直线y＝x﹣2的性质特征；
∵当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
∴函数图象与y轴交于点（0，﹣2），选项D符合直线y＝x﹣2的性质特征．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7．（4分）点M在x轴上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，1）
C．（﹣3，1）或（3，1） D．（﹣1，3）或（1，3）
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：M在x轴的上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，得
x＝1或x＝﹣1，y＝3，
则M点的坐标为（1，3）或（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键．
8．（4分）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
【分析】从图象上观察甲、乙两人的路程，时间的基本信息，再计算速度，回答题目的问题．
【解答】解：从图中可获取的信息有：
甲，乙两人同时出发，A正确，不符合题意；
甲先到达终点，B正确，不符合题意；
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5＝8（米/秒），C错误，符合题意；
乙比甲晚到12.5﹣12＝0.5（秒），D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，还考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（ ）
A． B．16 C．8 D．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求E＝CE＝4，利用三角形外角的性质结合等腰三角形的性质可求解∠AEC＝90°，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，
∴AE＝CEBD＝4，
∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，
∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴S△ACEAE•CE4÷4＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形斜边上的中线的性质，三角形外交的性质，三角形的面积，求解AE，CE的长及∠AEC＝90°可求解△ACB的面积．
11．（4分）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．18 B．21 C．22 D．25
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【解答】解：分式方程可得：x＝2a﹣5，因为分式方程的解为非负数，所以2a﹣5≥0，
解得：，
由于方式方程分母为x﹣3，
所以x≠3，即2a﹣5≠3，
所以a≠4，
解关于y的不等式组得：
，
因不等式组有3个整数解，即﹣1，0，1三个整数解，
故，
解得：7≥a＞﹣2，
综上所得：且a≠4，则a的整数值为：3，5，6，7，
因为3+5+6+7＝21，
故选：B．
【点评】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
12．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；
②BF＝2EF；③BE＝CE；
④AB＝BG+AD；
⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝50°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，
∴∠BFE＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴∠EBC＝5°，故①正确；
②∵ACB＝60°，
∴∠BAD+∠ABC＝120°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC，∠BAG＝∠CAG∠BAC，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG（∠ABC+∠BAC）＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴BF＝2EF，故②正确；
③如图，延长BE，AC交于点H，
∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE＝EH，
∵BC≠AC，
∴EC≠BE，故③错误；
④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，
∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，
∴△BFN≌△BFG（SAS），
∴∠BFN＝∠BFG＝60°，
∴∠AFD＝∠AFN＝60°，
又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，
∴△AFD≌△AFN（ASA），
∴AD＝AN，
∴AB＝BG+AD，故④正确；
⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，
∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，
∴NP＝NQ，
∵S△AFNAF×NQ，S△BFNBF×NP，
∴，
∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，
∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，
∴，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将答案填在答题卡上对应的横线上
13．（4分）将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是 （﹣5，6） ．
【分析】根据横坐标左减右加，纵坐标上加下减的规律解决问题即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是（﹣5，6），
故答案为：（﹣5，6）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
14．（4分）有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，
所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率＝所求情况数÷总情况数．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 3 ．
【分析】作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得EH＝EF，即可求得BE+EF＝BH，根据H是与B点的距离最短的点，即为BH最短即可解题．
【解答】解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BE+EF＝BE+EH＝BH，
∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BHAB＝3，
故答案为 3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，证得H是与B点的距离最短的点是解题的关键．
16．（4分）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（23）2﹣（）（）．
【分析】（1）先算乘除，后算加减，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2
22
22
＝4﹣22
＝4；
（2）（23）2﹣（）（）
＝12﹣1218﹣（6﹣5）
＝29﹣12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）化简求值：（a+3），其中a＝2．
【分析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．
【解答】解：原式＝[]，
当a＝2时，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．
四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE，若BE平分∠ABC，DE＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由线段垂直平分线的性质可得BE＝AE，则∠A＝∠ABE，由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，从而可得∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，则BE＝2DE＝8．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）∵直线DE为AB的垂直平分线，
∴∠BDE＝90°，BE＝AE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵DE＝4，
∴BE＝2DE＝8．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
20．（10分）体考，是同学们一定要攻下的“中考第一关”．为了提升体育成绩，我校九年级的同学们加强了“高抬腿”、“开合跳”这两个项目的训练．在12月12日的体锻课上，九年级的同学们进行了这两个项目的30秒快速练习．九年级（1）班的10位同学主动结成“体育运动小组”，小明对他们的训练结果进行了整理、描述和分析（完成个数用x表示，其中A：65≤x≤70，B：60≤x≤65，C：55≤x≤60），下面给出了部分信息：
10位同学30秒“高抬腿”的个数：57，63，63，69，59，66，70，65，65，63．
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64．
10位同学体育训练项目完成个数统计表
项目
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
高抬腿
64
64
a
14.4
50%
开合跳
64
b
62
19
40%
（1）填空：（1）a＝ 63 ，b＝ 63 ，m＝ 20 ；
（2）若九年级共有3000名同学，估计12月12日“开合跳”训练得到A等级的人数；
（3）根据以上数据，你认为九年级的同学们应该加强哪一个项目的练习？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）由已知所给数据，根据众数、中位数定义可得a，b的值，以及10位同学30秒“开合跳”中C等级包含的数据个数，从而求出m的值；
（2）由样本中“A等级所占百分比40%”估计总体即可；
（3）根据所给数据比较可得．
【解答】解：（1）10位同学30秒“高抬腿”的个数中，63出现的次数最多，
∴这组数据的众数a＝63；
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64，
A等级所占百分比为40%，A等级包含的数据有10×40%＝4个，
这10个数据从小到大依次排列，排在中间的数为62，64，
中位数为b63个，
10位同学“开合跳”中，C等级包含的数据有10﹣4﹣4＝2（个），
C等级所占百分比为100%＝20%，m＝20，
故答案为：63；63；20．
（2）根据题意得：3000×40%＝1200（人），
即估计12月12日“开合跳”训练得到A等级人数约为1200人；
（3）九年级同学应加强“开合跳”练习，A等级占40%，低于“高抬腿”的A等级50%，所占比例过小．
【点评】本题考查了整理、描述和分析，推理出中位数b是解题的关键，另外要学会分析扇形统计图．
21．（10分）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠DCE＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴A为BF的中点，
∴AB＝AF，
∴AB＝DC＝AF，
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DE＝AE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，
∵△DEC≌△AEF，
∴CE＝EF，
∵BC＝BF，
∴∠EBC＝∠FBECBF＝35°，
∴∠BEA＝35°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元”可列出二元一次方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车m辆，则B型公交车（10﹣m）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用．
【解答】解（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，
由题意得：，
解得，
∴A型公交车每辆需120万元，B型公交车每辆需170万元；
（2）设购买A型m辆，购买B型（10﹣m）辆，
得，
∴3≤m≤7，
且m为自然数，
∴m＝3或4或5或6或7，
所以共有五种采购方案；
方案一：采购A型3台，采购B型7台；
方案二：采购A型4台，采购B型6台；
方案三：采购A型5台，采购B型5台；
方案四：采购A型6台，采购B型4台；
方案五：采购A型7台，采购B型3台；
设总费用为W元，
则W＝120m+170（10﹣m），即W＝﹣50m+1700（3≤m≤7，且m为正整数），
∵W随m的增大而减小，
∴当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低，
最低费用为：﹣50×7+1700＝1350（万元）．
答：该公司有五种购车方案，当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低最低费用为1350万元．
【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，直线l2与y轴交于点C．
（1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在网格中画出直线l1与直线l2的图；
（2）连接BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象．直接写出mx+n＜x+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）求得直线l1与y轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ADC﹣S△BCD求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），
∴，解得，
∴直线l1的解析式为yx﹣1，
∵点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，
∴﹣4+b＝1，解得b＝5，
∴直线l2的解析式为y＝x+5；
如图：
；
（2）把x＝0代入直线l1，得y＝﹣1，
∴直线l1与y轴的交点D为（0，﹣1），
∴CD＝6，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD（2+4）＝18．
（3）由图象可得mx+n＜x+b的解集是x＞﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图形和性质，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝3+2，∴1432是“天平数”，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”．
（1）判断5326是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出F（m）的值；
（2）已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N）＝264，求出满足条件的所有的M的值．
【分析】（1）根据“等和数”的定义进行判断，根据F（m）的定义进行计算便可求得F（m）的值；
（2）由新定义与已知条件列出方程，再求出符合条件的x、y、b的值便可．
【解答】解：（1）5326是“天平数”，理由如下：
∵3+5＝6+2，
∴5326是“天平数”，
∴F（5326）＝5+3+2+6＝16；
（2）∵M、N是“等和数”，M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），
∴x+b+3＝2+y，2a+b＝c+d，
∴x+b＝y﹣1，
∵F（M）•F（N）＝264，
∴（x+b+3+2+y）（2a+b+c+d）＝264，
∴（2y+4）（4a+2b）＝264，
∴（y+2）（2a+b）＝66，
∵x+b＝y﹣1，
∴或或或，
∴M＝2424或2727或4527或6327．
【点评】本题考查了新定义，不定方程的解，正确理解新定义，根据题意列出方程是解题的关键．
25．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
【分析】（1）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，证明△ABE≌△CBP（ASA），则BE＝BP，可得△BEP是等边三角形，求出∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝∠AEB＝60°，即可得BE平分∠AED；
（2）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FQ∥BE交AE于Q，证明△GFQ≌△GBE（ASA），可得FQ＝BE，由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，可得FQ＝BP，根据线段的和差以及三角形外角的性质得∠D＝∠CBE＝∠CAE，再证△AFQ≌△DBP（AAS），即可得出结论；
（3）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，证明△AFN≌△DBP（AAS），则FG＝BG，当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，CHAHAB，根据S△BCDBD•CH（AD﹣AB）AB＝48，可得AB＝8，即可得出整个运动过程中GF的最小值为6．
【解答】（1）证明：在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠EBP＝∠AEC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBP，∠BCP＝∠BAE，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE＝BP，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∴BE平分∠AED；
（2）证明：过点F作FQ∥BE交AE于Q，
∵FQ∥BE，
∴∠GFQ＝∠GBE，∠FQG＝∠BEG，
∵点G为BF中点，
∴GF＝GB，
∴△GFQ≌△GBE（ASA），
∴FQ＝BE，
由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，
∴∠FQG＝∠BEG＝60°，FQ＝BP，
∴∠AQF＝∠DPB＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠D+∠BED＝∠ABC＝∠CBE，∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CBE＝∠CAE，
∴△AFQ≌△DBP（AAS），
∴AF＝BD；
（3）解：如图3，∵点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，AF＝BD，
∴当AF＝AC最大时，DF'有最大值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，
∴BC＝AB＝BD，
∴∠ACD＝90°时，DF'有最大值，
在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，
∴∠FNG＝∠GEB＝60°，
∴∠ANF＝∠DPB＝120°，
由（2）知，∠FAN＝∠BDP，
∵AF＝BD，
∴△AFN≌△DBP（AAS），
∴FN＝BP＝BE，
∵FN∥BE，
∴∠FNG＝∠BEG，∠NFG＝∠EBG，
∴△FGN≌△BGE（ASA），
∴FG＝BG，
当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AHAB，∠ACH＝30°，
在Rt△ACH中，CHAHAB，
∴S△BCDBD•CH（AD﹣AB）AB（16AB）•AB＝48，
∴AB＝8，
∵S△ABCAB•CHAC•BF，AB＝AC，
∴BF＝CHAB812，
∴GFBF＝6，即整个运动过程中GF的最小值为6．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/25 17:28:19；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．（4分）在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况
3．（4分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）计算的结果在（ ）
A．0至1之间 B．1至2之间 C．2至3之间 D．3至4之间
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
6．（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质特征的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）
7．（4分）点M在x轴上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，1）
C．（﹣3，1）或（3，1） D．（﹣1，3）或（1，3）
8．（4分）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（ ）
A． B．16 C．8 D．
11．（4分）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．18 B．21 C．22 D．25
12．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；
②BF＝2EF；③BE＝CE；
④AB＝BG+AD；
⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将答案填在答题卡上对应的横线上
13．（4分）将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是 ．
14．（4分）有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．
16．（4分）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 万元．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（23）2﹣（）（）．
18．（8分）化简求值：（a+3），其中a＝2．
四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE，若BE平分∠ABC，DE＝4，求BE的长．
20．（10分）体考，是同学们一定要攻下的“中考第一关”．为了提升体育成绩，我校九年级的同学们加强了“高抬腿”、“开合跳”这两个项目的训练．在12月12日的体锻课上，九年级的同学们进行了这两个项目的30秒快速练习．九年级（1）班的10位同学主动结成“体育运动小组”，小明对他们的训练结果进行了整理、描述和分析（完成个数用x表示，其中A：65≤x≤70，B：60≤x≤65，C：55≤x≤60），下面给出了部分信息：
10位同学30秒“高抬腿”的个数：57，63，63，69，59，66，70，65，65，63．
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64．
10位同学体育训练项目完成个数统计表
项目
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
高抬腿
64
64
a
14.4
50%
开合跳
64
b
62
19
40%
（1）填空：（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若九年级共有3000名同学，估计12月12日“开合跳”训练得到A等级的人数；
（3）根据以上数据，你认为九年级的同学们应该加强哪一个项目的练习？请说明理由（写出一条理由即可）．
21．（10分）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
22．（10分）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，直线l2与y轴交于点C．
（1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在网格中画出直线l1与直线l2的图；
（2）连接BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象．直接写出mx+n＜x+b的解集．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝3+2，∴1432是“天平数”，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”．
（1）判断5326是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出F（m）的值；
（2）已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N）＝264，求出满足条件的所有的M的值．
25．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．（4分）在，0，，，，﹣1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接化简二次根式，再利用有理数的定义判断得出答案．
【解答】解：在，0，，，2，﹣1.414中，有理数有：，0，，﹣1.414共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数，正确掌握有理数的定义是解题关键．
2．（4分）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．调查球迷观看卡塔尔世界杯足球比赛的时间，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．调查某工厂生产的一批灯管的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C．了解我校初三（1）班同学对电影《独行月球》的喜爱程度，适合全面调查，故本选项符合题意；
D．了解重庆市初三学生名著阅读情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（4分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层左起第2个位置是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4．（4分）计算的结果在（ ）
A．0至1之间 B．1至2之间 C．2至3之间 D．3至4之间
【分析】先算乘法，再算减法，然后再估算出的值即可解答．
【解答】解：
2，
∵4＜5＜9，
∴23，
∴02＜1，
∴计算的结果在：0至1之间，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
6．（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质特征的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝x﹣2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，令y＝0，求得x＝2，令x＝0，求得y＝﹣2，即可得出抛物线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2）．
【解答】解：∵直线y＝x﹣2中，k＝1＞0，b＝﹣2＜0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x﹣2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B符合直线y＝x﹣2的性质特征；
∵当y＝0时，则x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴函数图象与x轴交于（2，0），选项C不符合直线y＝x﹣2的性质特征；
∵当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
∴函数图象与y轴交于点（0，﹣2），选项D符合直线y＝x﹣2的性质特征．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7．（4分）点M在x轴上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，1）
C．（﹣3，1）或（3，1） D．（﹣1，3）或（1，3）
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：M在x轴的上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，得
x＝1或x＝﹣1，y＝3，
则M点的坐标为（1，3）或（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键．
8．（4分）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
【分析】从图象上观察甲、乙两人的路程，时间的基本信息，再计算速度，回答题目的问题．
【解答】解：从图中可获取的信息有：
甲，乙两人同时出发，A正确，不符合题意；
甲先到达终点，B正确，不符合题意；
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5＝8（米/秒），C错误，符合题意；
乙比甲晚到12.5﹣12＝0.5（秒），D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，还考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（ ）
A． B．16 C．8 D．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求E＝CE＝4，利用三角形外角的性质结合等腰三角形的性质可求解∠AEC＝90°，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，
∴AE＝CEBD＝4，
∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，
∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴S△ACEAE•CE4÷4＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形斜边上的中线的性质，三角形外交的性质，三角形的面积，求解AE，CE的长及∠AEC＝90°可求解△ACB的面积．
11．（4分）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．18 B．21 C．22 D．25
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【解答】解：分式方程可得：x＝2a﹣5，因为分式方程的解为非负数，所以2a﹣5≥0，
解得：，
由于方式方程分母为x﹣3，
所以x≠3，即2a﹣5≠3，
所以a≠4，
解关于y的不等式组得：
，
因不等式组有3个整数解，即﹣1，0，1三个整数解，
故，
解得：7≥a＞﹣2，
综上所得：且a≠4，则a的整数值为：3，5，6，7，
因为3+5+6+7＝21，
故选：B．
【点评】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
12．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；
②BF＝2EF；③BE＝CE；
④AB＝BG+AD；
⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝50°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，
∴∠BFE＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴∠EBC＝5°，故①正确；
②∵ACB＝60°，
∴∠BAD+∠ABC＝120°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC，∠BAG＝∠CAG∠BAC，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG（∠ABC+∠BAC）＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴BF＝2EF，故②正确；
③如图，延长BE，AC交于点H，
∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE＝EH，
∵BC≠AC，
∴EC≠BE，故③错误；
④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，
∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，
∴△BFN≌△BFG（SAS），
∴∠BFN＝∠BFG＝60°，
∴∠AFD＝∠AFN＝60°，
又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，
∴△AFD≌△AFN（ASA），
∴AD＝AN，
∴AB＝BG+AD，故④正确；
⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，
∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，
∴NP＝NQ，
∵S△AFNAF×NQ，S△BFNBF×NP，
∴，
∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，
∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，
∴，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将答案填在答题卡上对应的横线上
13．（4分）将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是 （﹣5，6） ．
【分析】根据横坐标左减右加，纵坐标上加下减的规律解决问题即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），将点A（﹣2，3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是（﹣5，6），
故答案为：（﹣5，6）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
14．（4分）有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，
所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率＝所求情况数÷总情况数．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 3 ．
【分析】作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得EH＝EF，即可求得BE+EF＝BH，根据H是与B点的距离最短的点，即为BH最短即可解题．
【解答】解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BE+EF＝BE+EH＝BH，
∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BHAB＝3，
故答案为 3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，证得H是与B点的距离最短的点是解题的关键．
16．（4分）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（23）2﹣（）（）．
【分析】（1）先算乘除，后算加减，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2
22
22
＝4﹣22
＝4；
（2）（23）2﹣（）（）
＝12﹣1218﹣（6﹣5）
＝29﹣12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）化简求值：（a+3），其中a＝2．
【分析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．
【解答】解：原式＝[]，
当a＝2时，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．
四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE，若BE平分∠ABC，DE＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由线段垂直平分线的性质可得BE＝AE，则∠A＝∠ABE，由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，从而可得∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，则BE＝2DE＝8．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）∵直线DE为AB的垂直平分线，
∴∠BDE＝90°，BE＝AE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵DE＝4，
∴BE＝2DE＝8．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
20．（10分）体考，是同学们一定要攻下的“中考第一关”．为了提升体育成绩，我校九年级的同学们加强了“高抬腿”、“开合跳”这两个项目的训练．在12月12日的体锻课上，九年级的同学们进行了这两个项目的30秒快速练习．九年级（1）班的10位同学主动结成“体育运动小组”，小明对他们的训练结果进行了整理、描述和分析（完成个数用x表示，其中A：65≤x≤70，B：60≤x≤65，C：55≤x≤60），下面给出了部分信息：
10位同学30秒“高抬腿”的个数：57，63，63，69，59，66，70，65，65，63．
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64．
10位同学体育训练项目完成个数统计表
项目
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
高抬腿
64
64
a
14.4
50%
开合跳
64
b
62
19
40%
（1）填空：（1）a＝ 63 ，b＝ 63 ，m＝ 20 ；
（2）若九年级共有3000名同学，估计12月12日“开合跳”训练得到A等级的人数；
（3）根据以上数据，你认为九年级的同学们应该加强哪一个项目的练习？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）由已知所给数据，根据众数、中位数定义可得a，b的值，以及10位同学30秒“开合跳”中C等级包含的数据个数，从而求出m的值；
（2）由样本中“A等级所占百分比40%”估计总体即可；
（3）根据所给数据比较可得．
【解答】解：（1）10位同学30秒“高抬腿”的个数中，63出现的次数最多，
∴这组数据的众数a＝63；
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64，
A等级所占百分比为40%，A等级包含的数据有10×40%＝4个，
这10个数据从小到大依次排列，排在中间的数为62，64，
中位数为b63个，
10位同学“开合跳”中，C等级包含的数据有10﹣4﹣4＝2（个），
C等级所占百分比为100%＝20%，m＝20，
故答案为：63；63；20．
（2）根据题意得：3000×40%＝1200（人），
即估计12月12日“开合跳”训练得到A等级人数约为1200人；
（3）九年级同学应加强“开合跳”练习，A等级占40%，低于“高抬腿”的A等级50%，所占比例过小．
【点评】本题考查了整理、描述和分析，推理出中位数b是解题的关键，另外要学会分析扇形统计图．
21．（10分）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠DCE＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴A为BF的中点，
∴AB＝AF，
∴AB＝DC＝AF，
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DE＝AE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，
∵△DEC≌△AEF，
∴CE＝EF，
∵BC＝BF，
∴∠EBC＝∠FBECBF＝35°，
∴∠BEA＝35°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元”可列出二元一次方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车m辆，则B型公交车（10﹣m）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用．
【解答】解（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，
由题意得：，
解得，
∴A型公交车每辆需120万元，B型公交车每辆需170万元；
（2）设购买A型m辆，购买B型（10﹣m）辆，
得，
∴3≤m≤7，
且m为自然数，
∴m＝3或4或5或6或7，
所以共有五种采购方案；
方案一：采购A型3台，采购B型7台；
方案二：采购A型4台，采购B型6台；
方案三：采购A型5台，采购B型5台；
方案四：采购A型6台，采购B型4台；
方案五：采购A型7台，采购B型3台；
设总费用为W元，
则W＝120m+170（10﹣m），即W＝﹣50m+1700（3≤m≤7，且m为正整数），
∵W随m的增大而减小，
∴当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低，
最低费用为：﹣50×7+1700＝1350（万元）．
答：该公司有五种购车方案，当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低最低费用为1350万元．
【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，直线l2与y轴交于点C．
（1）分别求出直线l1与直线l2的解析式，并在网格中画出直线l1与直线l2的图；
（2）连接BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象．直接写出mx+n＜x+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）求得直线l1与y轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ADC﹣S△BCD求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝mx+n经过点A（﹣4，1）和点B（2，﹣2），
∴，解得，
∴直线l1的解析式为yx﹣1，
∵点A（﹣4，1）也在直线l2：y＝x+b上，
∴﹣4+b＝1，解得b＝5，
∴直线l2的解析式为y＝x+5；
如图：
；
（2）把x＝0代入直线l1，得y＝﹣1，
∴直线l1与y轴的交点D为（0，﹣1），
∴CD＝6，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD（2+4）＝18．
（3）由图象可得mx+n＜x+b的解集是x＞﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图形和性质，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝3+2，∴1432是“天平数”，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”．
（1）判断5326是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出F（m）的值；
（2）已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N）＝264，求出满足条件的所有的M的值．
【分析】（1）根据“等和数”的定义进行判断，根据F（m）的定义进行计算便可求得F（m）的值；
（2）由新定义与已知条件列出方程，再求出符合条件的x、y、b的值便可．
【解答】解：（1）5326是“天平数”，理由如下：
∵3+5＝6+2，
∴5326是“天平数”，
∴F（5326）＝5+3+2+6＝16；
（2）∵M、N是“等和数”，M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），
∴x+b+3＝2+y，2a+b＝c+d，
∴x+b＝y﹣1，
∵F（M）•F（N）＝264，
∴（x+b+3+2+y）（2a+b+c+d）＝264，
∴（2y+4）（4a+2b）＝264，
∴（y+2）（2a+b）＝66，
∵x+b＝y﹣1，
∴或或或，
∴M＝2424或2727或4527或6327．
【点评】本题考查了新定义，不定方程的解，正确理解新定义，根据题意列出方程是解题的关键．
25．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
【分析】（1）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，证明△ABE≌△CBP（ASA），则BE＝BP，可得△BEP是等边三角形，求出∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝∠AEB＝60°，即可得BE平分∠AED；
（2）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FQ∥BE交AE于Q，证明△GFQ≌△GBE（ASA），可得FQ＝BE，由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，可得FQ＝BP，根据线段的和差以及三角形外角的性质得∠D＝∠CBE＝∠CAE，再证△AFQ≌△DBP（AAS），即可得出结论；
（3）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，证明△AFN≌△DBP（AAS），则FG＝BG，当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，CHAHAB，根据S△BCDBD•CH（AD﹣AB）AB＝48，可得AB＝8，即可得出整个运动过程中GF的最小值为6．
【解答】（1）证明：在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠EBP＝∠AEC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBP，∠BCP＝∠BAE，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE＝BP，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∴BE平分∠AED；
（2）证明：过点F作FQ∥BE交AE于Q，
∵FQ∥BE，
∴∠GFQ＝∠GBE，∠FQG＝∠BEG，
∵点G为BF中点，
∴GF＝GB，
∴△GFQ≌△GBE（ASA），
∴FQ＝BE，
由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，
∴∠FQG＝∠BEG＝60°，FQ＝BP，
∴∠AQF＝∠DPB＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠D+∠BED＝∠ABC＝∠CBE，∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CBE＝∠CAE，
∴△AFQ≌△DBP（AAS），
∴AF＝BD；
（3）解：如图3，∵点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，AF＝BD，
∴当AF＝AC最大时，DF'有最大值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，
∴BC＝AB＝BD，
∴∠ACD＝90°时，DF'有最大值，
在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，
∴∠FNG＝∠GEB＝60°，
∴∠ANF＝∠DPB＝120°，
由（2）知，∠FAN＝∠BDP，
∵AF＝BD，
∴△AFN≌△DBP（AAS），
∴FN＝BP＝BE，
∵FN∥BE，
∴∠FNG＝∠BEG，∠NFG＝∠EBG，
∴△FGN≌△BGE（ASA），
∴FG＝BG，
当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AHAB，∠ACH＝30°，
在Rt△ACH中，CHAHAB，
∴S△BCDBD•CH（AD﹣AB）AB（16AB）•AB＝48，
∴AB＝8，
∵S△ABCAB•CHAC•BF，AB＝AC，
∴BF＝CHAB812，
∴GFBF＝6，即整个运动过程中GF的最小值为6．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/25 17:28:19；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
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