2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）6的相反数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．（4分）大熊猫已在地球上生存了至少800万年，被誉为“活化石”和“中国国宝”，是世界生物多样性保护的旗舰物种．以下大熊猫图标中（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）估算的结果在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
4．（4分）下列命题中属于真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．同旁内角相等，两直线平行
C．若x2＝9，则x＝3
D．立方根等于其本身的数只有±1
5．（4分）我校八年级（6）班的两位同学相约周末外出游玩，从学校到集合地共12千米，10分钟后，小附同学乘公交车出发，求小西骑车速度是多少？解：设小西骑车速度是xkm/h，则可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，在BC的延长线上取点E，连接AE，∠BAE＝84°，则∠CAE为（ ）
A．20°B．32°C．38°D．42°
7．（4分）下列图形都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5颗星星，第②个图形中一共有7颗星星，第④个图形中一共有17颗星星…按此规律排列下去，第⑧个图形中星星的颗数为（ ）
A．47B．56C．61D．77
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠EAF在∠BAD内部绕点A旋转，两边分别交BC、DC于点E、F，当△AEF周长最小时，∠BAD为（ ）
A．116°B．119°C．120°D．122°
9．（4分）若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程，则满足条件的整数a之和为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．4
10．（4分）依次排列的两个整式a，b，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作；…，以此类推，下列4个说法（ ）
①第7个整式为22a﹣21b；
②第34个整式中a系数的绝对值比b系数的绝对值大1；
③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024；
④若a＝b＝1，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025．
A．1个B．2个C．3个D4个
二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分.请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米 ．
12．（4分）计算：＝ ．
13．（4分）已知，则3x+y的值为 ．
14．（4分）已知等腰△ABC的两边长a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则等腰△ABC的周长为 ．
15．（4分）如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，若EF＝2，则BC＝ ．
16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，点D是BC上任意一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC分别交AB、AC于点E、F ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，AD平分∠BAC，点C恰好与点D重合，则∠EDF为 °．
18．（4分）对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，例如：m＝5320，∵5≠3≠2≠0且5﹣2＝3﹣0＝3，则称正整数a为完全平方数，例如：4＝22，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 ；若m是“吉安数”，记，当f（m）是一个完全平方数时 ．
三、解答题：本大题7个小题，共78分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，
19．计算：
（1）；
（2）．
20．计算：
（1）；
（2）．
21．解方程：
（1）；
（2）．
22．（8分）先化简，再求值：，其中a满足2a2﹣6a+3＝0．
23．尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：AD＝CE
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ．
∵AF∥BC，
∴∠CBE＝ ．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴ ．
在△ABD和△EAC中，
∵，
∴△ABD≌△EAC（ ）．
∴AD＝CE．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝CF，F分别在边AC，BC上
（1）求证：△ABF≌△FCE．
（2）若ED⊥FC，∠2﹣∠1＝22°，求∠C的度数．
25．暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走A路线，乙队走B路线，全程2400千米，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
（2）甲乙两队规划的总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有a个人一起加入了队伍，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求a的值最大是多少．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，延长AB至点D，连接CD，过点E作EF⊥CB，求证：CF＝BF；
（2）如图2，分别以AB，AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连接DC交AB于点M，交BE于点F，求证：DF＝BF+AF；
（3）如图3，在△ABC内部有一点P，当P满足PA+PB+PC的和最小时
2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）6的相反数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【分析】求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
解：根据相反数的含义，可得
6的相反数是：﹣6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（4分）大熊猫已在地球上生存了至少800万年，被誉为“活化石”和“中国国宝”，是世界生物多样性保护的旗舰物种．以下大熊猫图标中（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、属于轴对称图形；
B、不属于轴对称图形；
C、不属于轴对称图形；
D、不属于轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（4分）估算的结果在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】根据≈2.236，可得答案．
解：∵≈2.45，
∴+1≈3.45，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.45是解题关键．
4．（4分）下列命题中属于真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．同旁内角相等，两直线平行
C．若x2＝9，则x＝3
D．立方根等于其本身的数只有±1
【分析】根据平行线判定，平方根，立方根概念逐项判断即可．
解：两直线平行，内错角相等是真命题；
同旁内角互补，两直线平行；
若x2＝9，则x＝±2；
立方根等于其本身的数有±1和0，故D是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
5．（4分）我校八年级（6）班的两位同学相约周末外出游玩，从学校到集合地共12千米，10分钟后，小附同学乘公交车出发，求小西骑车速度是多少？解：设小西骑车速度是xkm/h，则可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设小西骑车速度是xkm/h，乘汽车同学速度为2xkm/h，根据题意可得，同样走12千米骑自行车的同学所用的时间比乘汽车同学多用10分钟，据此列方程求解．
解：设小西骑车速度是xkm/h，乘汽车同学速度为2xkm/h，
，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．
6．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，在BC的延长线上取点E，连接AE，∠BAE＝84°，则∠CAE为（ ）
A．20°B．32°C．38°D．42°
【分析】由AD⊥BC，BD＝CD，得AB＝AC，故∠BAD＝∠CAD＝90°﹣∠B＝32°，即可得∠CAE＝20°．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣∠B＝32°，
∴∠BAC＝64°，
∵∠BAE＝84°，
∴∠CAE＝20°；
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三线合一“求出∠BAC的度数．
7．（4分）下列图形都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5颗星星，第②个图形中一共有7颗星星，第④个图形中一共有17颗星星…按此规律排列下去，第⑧个图形中星星的颗数为（ ）
A．47B．56C．61D．77
【分析】根据图形的变化即可写出规律式，进而求解．
解：观察图形的变化可知：
第①个图形中一共有5个五角星，即5＝5×1+1；
第②个图形中一共有7个五角星，即7＝4+7；
第③个图形中一共有10个五角星，即11＝4×2+2；
第④个图形中一共有13个五角星，即17＝3×4+6；
……，按此规律排列下去，
第n个图形中一共有五角星个数为（3n+1），
第⑧个图形中五角星的个数为8×8+1＝25．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠EAF在∠BAD内部绕点A旋转，两边分别交BC、DC于点E、F，当△AEF周长最小时，∠BAD为（ ）
A．116°B．119°C．120°D．122°
【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，由∠EAF＝58°可推出AE'F'+∠AF'E'的度数，进一步可得出∠A′+∠A″的度数，进而得出∠BAD的度数．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，交BC于E'，则A′A″即为△AEF的周长最小值，
由题意，知∠E'AF'＝58°，
∴∠AE'F'+∠AF'E'＝122°，
∵∠A′＝∠EAA′，∠F'AD＝∠A″，
∴∠A′＝∠AE'F'∠AF'E′，
∵∠A′+∠A''＝61°，
∴∠BAD＝180°﹣61°＝119°，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出△AEF周长最小时E，F的位置是解题关键．
9．（4分）若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程，则满足条件的整数a之和为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．4
【分析】解不等式组中两个不等式得出x≥﹣和x＜，结合其整数解的情况可得a＞﹣5，再解分式方程得y＝﹣，由其解为整数得出a＝﹣5，3，﹣3，1，﹣2，0，最后根据﹣≠2，可得a的值，即可求出答案．
解：解不等式﹣≥﹣1，
解不等式+4＞6x，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴＞8，
解得a＞﹣5，
解分式方程，
得y＝﹣，
∵方程有整数解，
∴a+8＝±4，±2，
∴a＝﹣2，3，﹣3，3，0，
∵a＞﹣5，且﹣，
∴a值有3，6，﹣2，0，
∴5+1﹣2+5＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
10．（4分）依次排列的两个整式a，b，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作；…，以此类推，下列4个说法（ ）
①第7个整式为22a﹣21b；
②第34个整式中a系数的绝对值比b系数的绝对值大1；
③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024；
④若a＝b＝1，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025．
A．1个B．2个C．3个D4个
【分析】分别写出前12个整式，发现规律即可．
解：g根据题意可得：
第一个整式：a；
第二个整式：b；
第1次操作，得到第三个整式：2a﹣b；
第5次操作，得到第四个整式：3b﹣2a；
第8次操作，得到第五个整式：6a﹣5b；
第7次操作，得到第六个整式：11b﹣10a；
第5次操作，得到第七个整式：22a﹣21b
第6次操作，得到第八个整式：43b﹣42a；
第2次操作，得到第九个整式：86a﹣85b；
第8次操作，得到第十整式：171b﹣170a；
第9次操作，得到第十一个整式：342a﹣341b；
第10次操作，得到第十二个整式：683b﹣682a；
．
①由以上列举可知第5个整式为22a﹣21b，故①对；
②由以上列举可知规律：序号为偶数时a的系数为负数，b的系数为正数，
∴第34个整式，序号34为偶数，b的系数为正数，故②错；
③由于第11个整式为342a﹣341b；
第12个整式为683b﹣682a，
则第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为342+341+683+682＝2048，故③错；
④若a＝b＝1，从第三个整式开始第一次操作到第2023次操作，共2025个1，故④对，
只有①④两个对，
故选：B．
【点评】本题考查了数字是变化类，找到变化规律是解题的关键．
二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分.请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米 1.2×10﹣5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000012＝1.5×10﹣5．
故答案为：1.3×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】利用算术平方根的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．
解：原式＝3﹣4
＝﹣2．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
13．（4分）已知，则3x+y的值为 ﹣2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x2﹣9≥0，9﹣x2≥0，根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≠0，解可得x的值，进而得到y的值，然后再代入未知数的值求出3x+y即可．
解：由题意得，
解得：x＝﹣6，
则y＝7，
∴3x+y＝5×（﹣3）+7＝﹣8．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式有意义的条件是分母不为零．
14．（4分）已知等腰△ABC的两边长a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则等腰△ABC的周长为 10 ．
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、6、4，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：7、4、4，
能组成三角形，
周长为6+4+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
15．（4分）如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，若EF＝2，则BC＝ 3 ．
【分析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE＝∠EOB，∠OCF＝∠COF，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得EF＝BE+CF．
解：∵BD、CD是∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC，∠DCF＝∠BCD，
又∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠BCD＝∠CDF，
∴∠OBE＝∠BOE，∠COF＝∠OCF，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF＝2，
∵等边△ABC，BE＝1，
∴AB＝BC＝EF+BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，点D是BC上任意一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC分别交AB、AC于点E、F 2 ．
【分析】过B作BH⊥AC于H，由AB＝4，∠BAC＝30°，得BH＝2，用面积法可得DE+DF＝2．
解：过B作BH⊥AC于H，如图：
∵AB＝4，∠BAC＝30°，
∴BH＝2；
∴S△ABC＝AC•BH＝，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB•DE+，
∴×4×DE+，
∴DE+DF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，AD平分∠BAC，点C恰好与点D重合，则∠EDF为 105 °．
【分析】连接DB、DC，根据角平分线的定义求出∠BAD＝25°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA＝DB，再根据等边对等角求出∠DBA，然后求出∠DBC，再根据等腰三角形的性质可得DB＝DC，然后求出∠DCE，根据翻折变换的性质可得DE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
解：如图，连接BD，
∵DA平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC＝，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠BAD＝25°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠OBA＝65°﹣25°＝40°，
由等腰三角形的性质，DB＝DC，
∴∠DCE＝∠DBC＝40°，
∵将△CFH沿HF折叠，点C恰好与点D重合，
∴DF＝CF，
∴∠DFC＝180°﹣80°＝100°．
∴∠EDF＝360°﹣∠DEB﹣∠DFC﹣∠ABC＝360°﹣90°﹣100°﹣65°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
18．（4分）对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，例如：m＝5320，∵5≠3≠2≠0且5﹣2＝3﹣0＝3，则称正整数a为完全平方数，例如：4＝22，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 6734 ；若m是“吉安数”，记，当f（m）是一个完全平方数时 9461 ．
【分析】根据“吉安数的概念列方程a﹣3＝7﹣4求出a的值，进而求出这个数，首先根据题意设f（m）＝＝x2然后根据“吉安数”的概念求解判断即可．
解：一个“吉安数为，
∴a﹣3＝7﹣3，
∴a＝6，
故这个数为6734；
∵f（m）是一个完全平方数，
∴设f（m）＝＝x2，x是正整数
∴m＝101x3+1280
当x＝10时，m＝101x2+1280＝11380，
若m是吉安数，是一个四位正整数，
∴不符合题意，应舍去，
当x＝9时，m＝101x8+1280＝9461，
∵9﹣6＝3﹣1＝3，
∴9461是一个“吉安数
故满足条件的“吉安数m的最大值为9461，
故答案为：6734，9461．
【点评】本题主要考查了新定义的理解和掌握，熟记“吉安数”的概念是解题的关键．
三、解答题：本大题7个小题，共78分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用算术平方根的定义及二次根式乘除法则计算即可．
解：（1）原式＝﹣3+4﹣＝﹣；
（2）原式＝3+．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．计算：
（1）；
（2）．
【分析】利用分式的乘除法则计算各题即可．
解：（1）原式＝6a2b••＝6ab；
（2）原式＝•＝．
【点评】本题考查分式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】利用解分式方程的步骤解各方程即可．
解：（1）原方程去分母得：7+x﹣2＝8﹣x，
移项，合并同类项得：2x＝﹣4，
系数化为3得：x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是分式方程的解，
故原方程的解为x＝﹣2；
（2）原方程去分母得：（x+1）2+x+8＝x2﹣1，
整理得：x7+2x+1+x+2＝x2﹣1，
移项，合并同类项得：6x＝﹣3，
系数化为1得：x＝﹣7，
经检验，x＝﹣1是分式方程的增根，
故原方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
22．（8分）先化简，再求值：，其中a满足2a2﹣6a+3＝0．
【分析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解一元二次方程求出a的值，然后整体代入化简式子中求解即可．
解：
＝[﹣]×
＝×
＝，
2a2﹣6a+3＝0．
Δ＝36﹣3×2×3＝12，
a＝＝，
当a＝时，原式＝；
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
23．尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：AD＝CE
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ∠ABE ．
∵AF∥BC，
∴∠CBE＝ ∠AEB ．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴ AE＝AB ．
在△ABD和△EAC中，
∵，
∴△ABD≌△EAC（ SAS ）．
∴AD＝CE．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据SAS证明△ACE≌△BDA即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵AF∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
在ACE和△BDA中，
，
∴△ACE≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE．
故答案为：∠ABE，∠AEB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝CF，F分别在边AC，BC上
（1）求证：△ABF≌△FCE．
（2）若ED⊥FC，∠2﹣∠1＝22°，求∠C的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，再用ASA可证△ABF≌△FCE；
（2）由∠1＝90°﹣∠C，∠2﹣∠1＝22°，可得∠2+∠C＝112°，故∠AFC＝180°﹣112°＝68°，从而∠C＝180°﹣2×68°＝44°．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵ED⊥FC，
∴∠1＝90°﹣∠C，
∵∠2﹣∠6＝22°，
∴∠2﹣（90°﹣∠C）＝22°，
∴∠2+∠C＝112°，
∴∠AFC＝180°﹣112°＝68°，
∴∠C＝180°﹣7×68°＝44°，
∴∠C的度数为44°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理和全等三角形判定定理．
25．暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走A路线，乙队走B路线，全程2400千米，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
（2）甲乙两队规划的总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有a个人一起加入了队伍，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求a的值最大是多少．
【分析】（1）设甲队计划m天到达目的地，根据乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍得：×3＝，解方程并检验可得答案；
（2）根据两队总花费没有超支得：（300×3+200a）×5+250×2×（3+a）≤15600，而a为整数，即可得a的值最大是6．
解：（1）设甲队计划m天到达目的地，则乙队计划（m﹣3）天到达目的地，
根据题意得：×3＝，
解得m＝5，
经检验，m＝5是原方程的解，
∴m﹣2＝5﹣3＝8，
∴甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
（2）根据题意得：（300×8+200a）×5+250×2×（8+a）≤15600，
解得a≤6.4，
∵a为整数，
∴a的值最大是8．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和一元一次不等式．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，延长AB至点D，连接CD，过点E作EF⊥CB，求证：CF＝BF；
（2）如图2，分别以AB，AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连接DC交AB于点M，交BE于点F，求证：DF＝BF+AF；
（3）如图3，在△ABC内部有一点P，当P满足PA+PB+PC的和最小时
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明△DAC≌△BAE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADC＝∠ABE，在DF上截取HF，使HF＝BF，证明△DBH≌△ABF（SAS），由全等三角形的性质得出DH＝AF，则可得出答案；
（3）把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，证出PA+PB+PC＝AP+PP′+P′C′．当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，此时∠BP'P＝∠BPP'＝60°，∠APB＝120°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝90°，
∵E为CD的中点，
∴BE＝CE＝DE，
∵EF⊥BC，
∴CF＝BF；
（2）证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠DMB＝∠ADC+∠DAB＝∠MBF+∠MFB，
∴∠DAB＝∠MFB＝60°，
在DF上截取HF，使HF＝BF，
∴△BHF为等边三角形，
∴BH＝BF，∠HBF＝60°，
∵∠DBA＝60°，
∴∠DBH＝∠ABF，
∴△DBH≌△ABF（SAS），
∴DH＝AF，
∴DF＝DH+HF＝AF+BF；
（3）解：如图3，把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，
由旋转得：∠PBP'＝60°，PB＝P'B，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∵PC＝P'C，
∴PA+PB+PC＝AP+PP′+P′C′．
当A、P、P'，PA+PB+PC的值为最小，
此时，∠BP'P＝∠BPP'＝60°，
由旋转得：∠BP'C'＝∠BPC＝120°，
∴∠APC＝120°．
【点评】本题是几何变换综合题，考查三角形的旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，学会利用旋转的方法添加辅助线，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．