2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个数中，属于无理数的是( )
A. 23B. 0C. 0.202002000D. π
2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A. a=1，b=2，c= 3B. a2−c2=b2
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A+∠B=∠C
4.如图是一台自动测温记录仪测得西安市冬季某天的气温T与时间t的图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是( )
A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降
B. 凌晨4时气温最低，为−3℃
C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升
D. 14时气温最高，为8℃
5.估计( 24+ 18)× 12的值应在( )
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
6.下列命题正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 等腰三角形的高、中线、角平分线，三线合一
C. 斜边相等的两个直角三角形全等
D. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
7.一次函数y=kx+b与y=kbx(k、b为常数，kb≠0)在同一平面直角坐标系中的图象应该是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在▱ABCD中，AB=BC，∠BCA=50°，对角线AC、BD交于点O，△ABE为直角三角形，F是斜边AB的中点，∠ABE=30°，则∠AOE的度数为( )
A. 30°
B. 30.5°
C. 25°
D. 20°
9.如图把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD=AF=AC，∠DAC=90°，作CE⊥AF于E，若CE=12，DE=DF，则AC的长为( )
A. 16
B. 15
C. 4 3
D. 5 3
10.已知x>y>z>0>m>n，对于多项式x−y+z−m−n，任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值，绝对值中不含有绝对值)，称这种操作为一种“绝对操作”，例如：|x−y|+z−m−n，x−|y+z|−|m−n|，x−y+|z−m−n|等.对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．
下列相关说法正确的个数是( )
①存在八种“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同的运算结果．
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.函数y= x+1x−1的自变量x的取值范围为______．
12.点M(−2,3)关于y轴的对称点为点N，则点N的坐标为______．
13.如图，一次函数y1=kx+4与y2=x+b的图象相交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b≤kx+4的解集是______．
14.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是______．
15.如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A和点B，已知B(0,3)，∠BAO=30°，点C、D分别为线段AB，BO上的动点，若OP= 3，则△PCD周长的最小值为______．
16.若关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解，且关于y的分式方程ay−2−3=6−y2−y有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______．
17.如图，四边形ABCD是平行四边形，G为AB的中点，连接DG，将△BCE沿着BE所在的直线折叠，点C刚好落在DG上的F处，若AB=3 3，则EF的长为______．
18.一个四位数M，满足千位数字比十位数字大4，并且百位数字比个位数字也大4，这个数叫“差4数”.若一个“差4数”M，记它的千位数字为a(a≠2)，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且F(M)=ab−2c−2da−2，G(M)=Ma，若F(M)和G(M)均为整数，则满足条件的所有M中最大的数是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
计算：
(1) 18− 18+(− 13)0；
(2)2 6× 3+| 3−2|−1 2−1；
(3)(ab−ba)÷a−ba；
(4)(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1．
20.(本小题10分)
解下列方程：
(1)3x−2−x2−x=−2
(2)x+1x−1−4x2−1=1
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于E．
(1)尺规作图：过点C作CF⊥BD于点F，连接AF.(要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)求证：CE=AF.将下面的过程补充完整．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，∠AED=∠CFB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ______，AD//BC．
∴② ______．
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
∴③ ______．
又∵AE/​/CF，
∴四边形AFCE是④ ______．
∴CE=AF．
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，AE=CE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若BC=8，∠BAC=60°，∠DCB=135°，求AC的长．
23.(本小题10分)
西大附中第23届缤纷节在各校区缤纷上演，活动期间，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒共花费2000元，购买乙种荧光棒共花费3000元.已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵20%，且乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量多100根．
(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；
(2)由于需求量较大，学校追订这两种荧光棒共800个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的12.该商家决定：甲种荧光棒售价打8折出售，乙种荧光棒售价不变.已知甲种荧光棒的成本为3元，乙种荧光棒的成本为2元.当订购甲种荧光棒的数量为多少时，商家获得的利润最大？利润最大为多少元？
24.(本小题10分)
如图，直线l1经过点A(0,4)，与直线l2：y=−23x相交于点B，并与x轴相交于点C，其中点B的纵坐标为2．
(1)求直线l1的解析式；
(2)将l1向下平移7个单位长度，记平移后的直线为l3，记l3与l2交于点D，点Q为l3上一动点，当点Q运动到何位置时，△ODQ的面积等于△BOC面积的32倍？请求出点Q的坐标；
(3)在x轴上(除原点外)，是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，将AC绕点C顺时针旋转α得线段CD，连接AD并延长，过点B作AD的垂线，交AD的延长线于点E．
(1)当α=60°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，CE与AB交于点F，CD与AB交于点G，若G恰为AB中点，求证：CF+2DE= 2EC；
(3)如图3，α=30°，M是射线CB上的动点，连接DM将DM绕点D逆时针旋转90°得线段DN，P是AB上的动点，AB=m(m为已知数)，求PD+PN的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：23，0.202002000是分数，0是整数，它们都不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠A+∠B>∠C，
∴∠C不是直角，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：C．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．
B、由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点−3，∴凌晨4时气温最低为−3℃，故本选项正确；
C、由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误；
D、由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；
故选：C．
根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：原式= 24× 12+ 18× 12
= 24×12+ 18×12
= 12+ 9
= 12+3，
∵9<12<16，
∴3< 12<4，
∴6< 12+3<7，
∴代数式的值应在6和7之间．
故选：B．
先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算出其取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的混合运算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
B.等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线，三线合一，故B选项不符合题意；
C.斜边和直角边相等的两个直角三角形全等，故C选项不符合题意；
D.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理，线段的垂直平分线的判定定理解答即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理，线段的垂直平分线的判定定理．
7.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b>0；即kb>0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，故此选项符合题意；
D、由一次函数y=kx+b图象可知k<0，b>0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k⋅b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
8.【答案】A
【解析】解：在▱ABCD中，∵AO=CO，AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠BAC=∠BCA=50°，
∴∠ABO=90°−50°=40°，
∵∠AEB=90°，F是斜边AB的中点，
∴BF=OF=EF=AF=12AB，
∴∠AOF=∠FAO=50°，∠BOF=∠OBF=40°，
∴∠AFO=∠OBF+∠BOF=80°，
∵∠ABE=30°，
∴∠BEF=∠EBF=30°，
∴∠AFE=∠ABE+∠BEF=60°，
∴∠OFE=80°+60°=140°，
∴∠EOF=∠OEF=20°，
∴∠AOE=50°−20°=30°，
故选：A．
根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过D作DH⊥EF于H，
∵∠DAC=90°，
∴∠DAH+∠CAE=90°，
∵CE⊥AF于E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DAH=∠ACE，
∵∠AHD=∠AEC=90°，AD=AC，
∴△ADH≌△CAE(AAS)，
∴AH=CE=12，
设AC=x，则AF=AD=x，
∴FH=AF−AH=x−12，
∵DE=DF，DH⊥FE，
∴EH=FH=x−12，
∴AE=AH−EH=12−(x−12)=24−x，
∵AC2=AE2+CE2，
∴x2=(24−x)2+122，
∴x=15．
故选：B．
过D作DH⊥EF于H，由余角的性质推出∠DAH=∠ACE，又∠AHD=∠AEC=90°，AD=AC，即可证明△ADH≌△CAE(AAS)，得到AH=CE=12，设AC=x，则AF=AD=x，FH=AF−AH=x−12，由等腰三角形的性质得到EH=FH=x−12，因此AE=AH−EH=12−(x−12)=24−x，由勾股定理得到x2=(24−x)2+122，求出x=15，即可得到AC的长．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
10.【答案】C
【解析】解：①正确，当x−y，z−m，−n不添加绝对值时，结果与原多项式相等，当x−y，z−m，−n任意一个添加绝对值时，结果均与原多项式不相等，故有三种，当x−y，z−m，−n任意两个添加绝对值时，结果均与原多项式不相等，故有1种，故有7种，故①正确，
②正确；当添加绝对值后，所得结果为非负数，与原多项式之和不可能为0，故②正确，
③错误，当添加绝对值后，所得结果可能为：x−y+z−m−n，x−y−z+m+n，x+y−z−m−n，x+y−z+m+n，x+y+z−m−n，x+y+z+m+n，故共有6种结果，故③错误．
故选：C．
根据绝对值的定义以及性质即可求出答案．
本题考查绝对值的定义及性质，解题的关键是正确理解题意．
11.【答案】x≥−1且x≠1
【解析】解：根据题意得：x+1≥0x−1≠0，
解得：x≥−1且x≠1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】(2,3)
【解析】解：点M(−2,3)关于y轴的对称点为点N，则点N的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
利用点P(m,n)关于y轴对称点的坐标P′(−m,n)来求解．
此题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的对称点的特征．
13.【答案】x≤1
【解析】解：观察函数图象可知：当x≤1时，一次函数y2=x+b的图象不在y1=kx+4的图象的上方，
∴关于x的不等式x+b≤kx+4的解集是x≤1．
故答案为：x≤1．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x+b≤kx+4的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
14.【答案】①②④
【解析】解：①项，由图可知，出发1小时时，甲、乙两人之间的距离是0千米，即两人相遇．故①项正确．
②项，由图可知，A地与B地的距离为120千米，在1.5小时时，有一个拐点，说明乙已经从B地到达了A地，即乙行驶了120千米，而甲、乙两人相距60千米，即甲行驶了60千米，所以乙比甲多行驶了60千米．故②项正确．
③项，在1.5小时时，乙已经到达终点，在3小时时，甲到达终点，故③项错误．
④项，由图可知，甲、乙均行驶了120千米，甲行驶的时间为3小时，乙行驶的时间为1.5小时．故甲的速度是乙的一半．故④项正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
根据题意结合横纵坐标的意义得出摩托车的速度进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵B(0,3)，
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，
∴OA= 3OB=3 3，
∵OP= 3，
∴AP=2 3，
作点P关于y轴的对称点Q( 3,0)，点P关于直线AB的对称点N，则PD=QD，CP=CN，
过点N作HN⊥x轴于点H，PN交AB于点T，连接NQ交AB于点C，交y轴于点D，此时，△PCD周长最小，
理由：△PCD周长=PC+CD+PD=NC+CD+DQ=QN为最小，
在Rt△APT中，∠BAO=30°，则PT=12AP= 3，∠NPH=60°，
则PN=2PT=2 3，
则Rt△PNH中，NH=PN⋅sin∠NPH=2 3× 32=3，PH=12PN= 3，
则点N(−2 3,3)，
由点N，Q的坐标得，NQ= ( 3+2 3)2+32=6，
故答案为：6．
过点N作HN⊥x轴于点H，PN交AB于点T，连接NQ交AB于点C，交y轴于点D，此时，△PCD周长最小，即可求解．
本题考查了轴对称−最短路径问题，一次函数综合应用，涉及到解直角三角形、最值的确定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：2x+1<2a①2x−114≥37②，
解不等式①得，x<2a−12，
解不等式②得，x≥72，
∵关于x的不等式组无解，
∴2a−12≤72，
解得a≤4，
ay−2−3=6−y2−y，
方程可化为ay−2−3=y−6y−2，
方程两边同乘y−2得，a−3(y−2)=y−6，
解得y=a+124，
∵y是正整数，a≤4，
∴a=4或a=−4或a=−8或a=0，
当a=−4时，y=2，分式方程无解，舍去，
∴a=4或a=−8或a=0，
∴满足条件的所有整数a的和为4−8+0=−4，
故答案为：−4．
先根据不等式组的解的情况得出a的取值范围，再根据分式方程的解为正整数解进一步得出a的值，即可得出答案．
本题考查了解不等式组和分式方程，熟练掌握它们的解的情况是解题的关键．
17.【答案】3 32
【解析】解：延长CB，DG交于点H，连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，CD=AB=3 3，
∴∠A=∠HBG，
∵G为AB的中点，
∴AG=BG，
在△ADG和△BHG中，
∠A=∠HBGAG=BG∠AGD=∠BGH，
∴△ADG≌△BHG(ASA)，
∴AD=BH，
∵△BFE由△BCE沿着BE所在的直线折叠得到，
∴BF=BC，EF=CE，
∴BF=BC=BH，
∴∠BFC=∠BCF，∠BFH=∠H，
∴∠CFH=∠BFC+∠BFH=∠BCF+∠H=90°，
∴∠CFD=90°，
∴∠EDF+∠ECF=90°，∠EFD+∠EFC=90°，
∵EF=CE，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠EDF=∠EFD，
∴ED=EF，
∴EF=12CD=3 32．
故答案为：3 32．
延长CB，DG交于点H，连接CF，证明出BF=BC=BH，得到∠CFH=90°，再证明出EF=ED，从而得到EF=12CD，即可求出EF的长．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】8440
【解析】解：由题意得，c=a−4，d=b−4，
∴M=1000a+100b+10c+d
=1000a+100b+10(a−4)+b−4
=1010a+101b−44，
∵F(M)=ab−2c−2da−2，G(M)=Ma，
∴F(M)=ab−2(a−4)−2(b−4)a−2，G(M)=1010a+101b−44a，
∴F(M)=ab−2a+8−2b+8a−2
=b(a−2)−2(a−2)+12a−2
=b−2+12a−2，
∵F(M)为整数，b−2为整数，
∴12a−2整数，
∵干位数字比十位数字大4，
∴4≤a≤9，
∴a=4或a=5或a=6或a=8，
∵G(M)=1010a+101b−44a=1010+101b−44a为整数，
∴101b−44a为整数，
当a=4，b=4时，101b−44a=101×4−444=90，符合题意，此时M=4400；
当a=4，b=8时，101b−44a=101×8−444191，符合题意，此时M=4804；
当a=5，b=4时，101b−44a=101×4−445=72，符合题意，此时M=5410；
当a=5，b=9时，101b−44a=101×9−445=173，符合题意，此时M=5915；
当a=6，b=4时，101b−44a=101×4−446=60，符合题意，此时M=6420；
当a=8，b=4时，101b−44a=101×4−448=45，符合题意，此时M=8440；
综上所述，符合题意的M的值有4400，4804，5410，5915，6420，8440，
∴满足条件的所有M中最大的数是8440，
故答案为：8440．
先根据题意得到c=a−4，d=b−4，进而求出M=1010a+101b−44，进一步求出F(M)=ab−2(a−4)−2(b−4)a−2，G(M)=1010a+101b−44a，再推出F(M)=b−2+12a−2，由F(M)为整数，b−2为整数，得到12a−2为整数；根据千位数字比十位数字大4，得到4≤a≤9，则a=4或a=5或a=6或a=8；根据G(M)=1010+101b−44a为整数，得到101b−44a为整数，由此得到当a=4，b=4时，此时M=4400；当a=4，b=8时，此时M=4804；当a=5，b=4时，此时M=5410；当a=5，b=9时，此时M=5915；当a=6，b=4时，此时M=6420；当a=8，b=4时，此时M=8440，据此可得答案．
本题主要考查了整式的加减及列代数式，解题的关键是理解新定义下的实数运算法则．
19.【答案】解：(1) 18− 18+(− 13)0
=3 2−14 2+1
=114 2+1；
(2)2 6× 3+| 3−2|−1 2−1
=6 2+2− 3− 2+1( 2−1)×( 2+1)
=6 2+2− 3− 2−1
=5 2− 3+1；
(3)(ab−ba)÷a−ba
=a2−b2ab⋅aa−b
=(a+b)(a−b)ab⋅aa−b
=a+bb；
(4)(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1
=3−(a−1)(a+1)a+1⋅a+1(a−2)2
=−a2+4a+1⋅a+1(a−2)2
=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2
=−a+2a−2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的乘法法则，绝对值进行计算，同时进行分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先根据分式的减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
(4)先根据分式的加减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据分式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(1)化为整式方程得：3=x=−2x+4，
解得：x=13，
经检验x=13是分式方程的解，
所以原方程的解是：x=13；
(2)化为整式方程得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1不是分式方程的解，
所以原方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】AD=CB ∠ADE=∠CBF AE=CF 平行四边形
【解析】(1)解：如图所示．
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，∠AED=∠CFB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//BC．
∴∠ADE=∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
∴AE=CF．
又∵AE/​/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴CE=AF．
故答案为：①AD=CB；②∠ADE=∠CBF；③AE=CF；④平行四边形．
(1)根据垂线的作图方法作图即可．
(2)根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案．
本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠EAF=∠ECD，
在△AEF和△CED中，
∠EAF=∠ECDAE=CE∠AEF=∠CED，
∴△AEF≌△CED(ASA)，
∴AF=CD，
又∵AB/​/CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
则∠CMA=∠CMB=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠B+∠DCB=180°，
∴∠B=180°−135°=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴CM= 22BC= 22×8=4 2，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACM=90°−∠BAC=30°，
∴AC=2AM，
∴CM= AC2−AM2= (2AM)2−AM2= 3AM=4 2，
∴AM=4 63，
∴AC=2AM=8 63，
即AC的长为8 63．
【解析】(1)证△AEF≌△CED(ASA)，得AF=CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)过点C作CM⊥AB于点M，证△BCM是等腰直角三角形，得CM= 22BC=4 2，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2AM，然后由勾股定理得CM= AC2−AM2= 3AM=4 2，求出AM=4 63，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲荧光棒的销售单价为x元，则乙荧光棒的销售单价为1.2x元，
根据题意，得30001.2x−2000x=100，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的根，
1.2x=6，
答：甲、乙两种荧光棒的销售单价分别为5元/个，6元/个；
(2)设订购甲种荧光棒的数量为y个，则订购乙种荧光棒的数量为(800−y)个，商家获得的利润为w元，
根据题意，得w=(5×0.8−3)y+(6−2)(800−y)=−3y+3200，
∵本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的12，
∴y≥12(800−y)，且800−y≥0，
解得26623≤y≤800，
∵−3<0，
∴w随y的增大而减小，
∴当y=267时，w最大，最大值为−3×267+3200=2399(元)，
答：当订购甲种荧光棒的数量为267个时，商家获得的利润最大，利润最大为2399元．
【解析】(1)设甲荧光棒的销售单价为x元，根据“乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量多100根”列出分式方程解出即可；
(2)设订购甲种荧光棒的数量为y个，商家获得的利润为w元，列出w关于y的函数关系式，求出x的取值范围，根据函数增减性即可解决问题．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，理解题意，准确列出方程组和函数表达式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)当y=2=−23x，
解得：x=−3，
则点B(−3,2)，
设直线l1的表达式为：y=kx+4，
将点B的坐标代入上式得：2=−3k+4，
解得：k=23，
则直线l1的表达式为：y=23x+4；
(2)设直线l3交x轴于点N，

由直线l1的表达式得，点C(−6,0)，
将l1向下平移7个单位长度，得到直线为l3：y=23x−3，则点N(92,0)，
联立l1、l2的表达式得：23x−3=−23x，
解得：x=94，
则点D(94,−32)；
则△BOC面积=12×6×2=6，
则△ODQ的面积=|S△OND−S△ONQ|=12×ON×|yQ−yD|=12×92×|yQ+32|=6×32，
解得：yQ=52或−112，
则点Q的坐标为：(334,52)或(−154,−112)；
(3)存在，理由：
设点P(x,0)，
由点P、B、C的坐标得：BC2=13，PB2=(x+3)2+4，PC2=(x+6)2，
当PB=BC时，则13=(x+3)2+4，
解得：x=0或−6(均舍去)；
当BC=PC时，则(x+6)2=13，
解得：x=−6± 13，
则点P的坐标为：(−6± 13,0)；
当PB=PC时，则(x+3)2+4=(x+6)2，
解得：x=−236，
则点P(−236,0)，
综上，点P的坐标为：(−6± 13,0)或(−236,0)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由△ODQ的面积=|S△OND−S△ONQ|=12×ON×|yQ−yD|，即可求解；
(3)当BC=PC时，列出等式即可求解；当PB=PC、BC=PC时，同理可解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，运用绝对值解决分类讨论的问题是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵AC绕点C顺时针旋转α得线段CD，
∴AC=CD
∵∠ACD=α=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠ACB=90°，AC=CB，
∴∠BCD=30°，CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=180°−∠BCD2=75°，
∴∠BDE=180°−∠ADC−∠BDC=180°−60°−75=45°；
(2)证明：如图1，

延长AE至H，使EH=ED，连接BH，作EQ⊥CE，并截取EQ=CE，
∵BE⊥AE，
∴BH=BD，
∴∠BDE=∠EHB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，点G是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAB=∠ABC=45°，CG=AG=12AB，
∵AC=CD=CB，
∴∠CAD=∠CDA=180°−∠ACD2=67.5°，∠CBD=∠CDB=67.5°，
∴∠BDE=180°−(∠ADC+∠BDC)=45°，
∴∠EHB=45°，
∴∠BDH=90°，
∴EH=BE=12DH，
∵∠BED=90°，
∴∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∴CE⊥BD，
∴∠DCF=∠BCE=12∠BCD=22.5°，
∵∠DAG=∠CAD−∠CAB=22.5°，
∴∠DAG=∠DCF，
∵∠AGD=∠CFG，
∴△ADG≌△CFG(ASA)，
∴CF=AD，
∵∠CEQ=∠BEH=90°，
∴∠QEH=∠CBE，
∴△QEH≌△CEB(SAS)，
∴HQ=CB=AC，∠EHQ=∠CBE，
∵∠ACB+∠AEB=90°+90°=180°，
∴∠CAE+∠CBE=180°，
∴∠CAE+∠EHQ=180°，
∴AC//HQ，
∴四边形ACQH是平行四边形，
∴AH=CQ= 2CE，
∴AD+DH= 2CE，
∴CF+2DE= 2CE，
(3)解：如图2，

作∠CDC′=90°，截取DC′=DC，连接NC′，设NC′交CB的延长线于V，作DX⊥CB于X，交AB于W，作点D关于AB的对称点D′，连接D′W，并延长，交直线VC′于点N′，作C′Z⊥DX于Z，
∴∠DZC′=CDC′=∠MDN=90°，DW=D′W，
∴∠CDM=∠C′DN，
∵DC=DN，
∴△CDM≌△C′DN(SAS)，
∴∠AC′N=∠DCB=90°−α=60°，
∵∠DC′V+∠DC′N=180°，
∴∠DCM+∠DC′V=180°，
∴∠V+∠CDC′=180°，
∴∠V=90°，
∵∠ZDC′=90°−∠CDX=60°，
∴WN′=′Z= 32C′D= 32× 22m= 64m，
∴N在过点V且于BC垂直，到DX的距离是 64m的直线上运动，
∴PD+PN的最小值是D′N′的长，
∵DX//AC，
∴∠AWD=∠A=45°，
∴∠D′WA=∠AWD=45°，
∴∠D′WD=90°，
在Rt△DCX中，CD=AC= 22AB= 22m，∠CDX=∠ACD=30°，
∴CX=12CD= 24m，DX= 32CD= 64m，
∴WX=XB=BC−CX= 24m，
∴D′W=DW=DX−WX= 6− 24⋅m，
∴D′N′=D′W+WN′=2 6− 24⋅m，
∴PD+PN的最小值为：2 6− 24⋅m．
【解析】(1)可推出△ACD是等边三角形，从而∠ADC=60°，可推出∠BCD=30°，CD=CB，求得∠CDE，进而求得结果；
(2)延长AE至H，使EH=ED，连接BH，作EQ⊥CE，并截取EQ=CE，可证得△ADG≌△CFG，从而CF=AD，可证得△QEH≌△CEB，从而HQ=CB=AC，∠EHQ=∠CBE，进而证得四边形ACQH是平行四边形，从而AH=CQ= 2CE，进一步得出结论；
(3)作∠CDC′=90°，截取DC′=DC，连接NC′，设NC′交CB的延长线于V，作DX⊥CB于X，交AB于W，作点D关于AB的对称点D′，连接D′W，并延长，交直线VC′于点N′，作C′Z⊥DX于Z，可推出△CDM≌△C′DN，从而得出∠AC′N=∠DCB=90°−α=60°，∠V=90°，WN′=′Z= 32C′D= 32× 22m= 64m，从而确定N在过点V且于BC垂直，到DX的距离是 64m的直线上运动，从而PD+PN的最小值是D′N′的长，在Rt△DCX中求得CX=12CD= 24m，DX= 32CD= 64m，从而WX=XB=BC−CX= 24m，进而得出D′W=DW=DX−WX= 6− 24⋅m，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．