2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）入学数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在▱ABCD中，∠A=135°，则∠B=(    )
A. 45° B. 55° C. 135° D. 140°
2.如图所示，几何体由6个大小相同的小正方体组成，其左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3.由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是(    )
A. 3， 4， 5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. 13，14，15
4.下列计算中，正确的是(    )
A. ( 3x+ y)2=3x+y B. ( 2+ 3)× 5= 5× 5=5
C. (4+2 3)(4−2 3)=4 D. 2 3+2 5=5 5
5.平面直角坐标系内有一点M(x,y)，已知x，y满足 4x+3+(5y−2)2=0，则点M所在的象限是(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.下列说法正确的是(    )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 平行四边形的对角互补
C. 有两组对角相等的四边形是平行四边形
D. 平行四边形的对角线平分每一组对角
7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是(    )
A. y=2x+4y=−3x−6
B. y=x+4y=−4x−6
C. y=x+4y=−3x−6
D. y=2x+4y=−4x−6


8.如图，在平面直角坐标系内，点A、B的坐标分别为(3,0)、(0,4)，将△OAB沿x轴向左平移，当点B落在直线y=−3x−5上时，线段AB扫过的区域所形成图形的周长为(    )

A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
9.周末，小附和小钟相约骑自行车沿同一路线从A地出发前往B地，小附以a千米/小时的速度匀速行驶，途中自行车出现故障后停车维修，修好后以b千米/小时的速度继续匀速行驶；小钟在小附修好车的同时开始以c千米/小时的速度匀速前往B地.设小附、小钟两人与A地之间的路程为y(千米)，小附离开A地的时间为x(小时)，y与x之间的函数图象如图所示.根据图象信息，以下4种说法：
①a=b；
②b ③在小附出发4小时后两人相遇；
④小钟到达B地时，小附离B地还有10千米．
其中正确的有几个(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.如图，∠MON的边OM与y轴正半轴重合，其中∠MON=30°，点A(0,6)是OM上的定点，点P是ON上的动点，点B是OA的中点，要使PA+PB最小，则点P的坐标为(    )

A. ( 32,32) B. (32, 32) C. ( 3,3) D. (3, 3)
11.若a使得关于x的不等式组−x3≤−a3+12−2x+1≥4a−5有解，且使得关于y的分式方程a−4y3−y−2y−3=1有非负整数解，则所有满足条件的a的值的和是(    )
A. 24 B. 25 C. 34 D. 35
12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是AC边上一点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，∠DBE=90°，DE交BC于点F，连接CE，过点B作BN⊥DE交DE于点M，交CD于点N.则以下结论正确的有个．(    )
①AD=CE；
②∠DBF=∠DFB；
③AD2+CN2=DN2；
④当AD：CD=1：2时，S△EBC+S△DEC=S△DBE；
⑤当CD=BC时，BD：EF= 2+1．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.函数y=1 x−2中自变x量的取值范围是______ ．
14.现有五张正面分别标有数字−2，−1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同.将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张，则两次取出的卡片上的数字乘积是负数的概率为______ ．
15.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落在CF上的点G处，过点F作FH/​/AD交EG于点H，若AB=16，AD=24，则GH= ______ ．

16.随着神舟十五号载人航天飞船的发射成功，中国航天系列模型备受欢迎.某商店在12月份开始售卖中国航天系列的四款模型，包括A款(神舟十五号载人飞船模型)、B款(天舟货运飞船模型)、C款(梦天实验舱模型)与D款(问天实验舱模型)，所有模型的售价均为整数.在12月份售卖过程中，A款的售价在200元与300元之间(不包括200元和300元)，B款售价比A款售价低30元，C款售价比D款售价高50元.12月份A款、B款C款、D款的销量之比为1：1：3：4，且A款比B款的销售额多300元，D款比C款的销售额少300元.随着元旦的临近，商店决定在1月1日这一天举行促销活动，相比12月份各款模型的售价，A款售价降低30元，B款售价降低20元，C款、D款降低的价格都为B款降低价格的45.活动结束后统计发现：A款销量比12月份的A款销量增加了2倍，B款12月份的销量是1号当天B款销量的13，C款销量与12月份D款销量相同，而D款销量相比12月份自身销量有所增加，且活动当天各款模型的销售总额比12月份A、B两款销售总额的4倍多3848元.则1月促销活动当天购买一套中国航天系列的模型(A款、B款、C款、D款各一个)需要______ 元.
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：
(1)(x−2y)2+(x+2y)(x−2y)；
(2)(2x−9x+3−x+3)÷x2−4x+4x+3．
18.(本小题8.0分)
化简求值：
已知a=1 3−1，b=1 3+1，求(1a−b−ba2−b2)÷a2−aba2−2ab+b2的值．
19.(本小题10.0分)
尺规作图，已知AE/​/BF，BD平分∠ABF交AE于点D．
(1)求作：∠BAE的平分线AP交BD于点P，过点D作BF的垂线交BF于点H，连接PH(要求保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AB=6，∠ABF=60°，求PH的长度．

20.(本小题10.0分)
西大附中缤纷社团课程受到了各年级学生的喜爱和支持，为了解学生对各社团的喜爱程度，学校从初二年级学生中选取部分学生进行了关于意向社团及喜爱程度的调查，参与调查的学生需从A，B，C，D，E五个社团中选择一个最喜爱的社团并根据喜爱程度对其打分(打分0−10分，10分为非常喜爱，0分为完全不喜爱，打分均为整数).根据收集的结果学校做出如下统计：

其中选择A社团的同学打分数据如下(单位：分)
8，7，7，10，9，9，6，8，10，6
根据题目信息回答以下问题：
(1)补全条形统计图，并求出扇形统计图中m= ______ ，E组所对应的圆心角是______ °；
(2)选择A社团的同学打分数据的中位数为______ 分，方差为______ ；
(3)若初二年级共有4000名学生，请你估计选择B社团的学生大概有______ 名；
(4)若初二一班的两位同学要从A，B，C，D，E五个社团中选择一个报名且不可选同一个社团，请你用树状图或列表的方法求两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
21.(本小题10.0分)

如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD于点F，连接AF，CE．
(1)若∠BCF=50°，求∠ADC的度数；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．

22.(本小题10.0分)
缙云苍苍，嘉陵泱泱，为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元.已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．
(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；
(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的
个数不少于乙种荧光棒个数的2倍.为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售.已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？
23.(本小题10.0分)

如图，直线lAB：y=− 33x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
(1)求线段OC的长；
(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求△BED的面积；
(3)已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．

24.(本小题10.0分)
一个正偶数m去掉十位数字得到一个新数，如果原数十位数字的4倍与新数之和与17的商是一个整数，则称正偶数m为“缤纷数”，记这个商为F(m)．
例如：∵614是一个正偶数，且64+4×117=4，4是整数，∴614是“缤纷数”，F(m)=4；又如：∵510是一个正偶数，但50+4×117=5417，5417不是整数，∴510不是“缤纷数”．
(1)判断1002，364是否是“缤纷数”？并说明理由；
(2)若m、n都是“缤纷数”，其中m=3539+101a，n=500+10b+c(1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,a、b、c是整数)，规定：G(m,n)=F(m)+F(n)b，求G(m,n)的值．
25.(本小题10.0分)
已知△ABC和△BDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，点D为AC上一点．
(1)如图1，DE与BC交于点F，若EF=EB，求ADCD的值；
(2)如图2，连接AE，交BC于点M，求证：AD=2CM；
(3)如图3，过点B作DE的垂线交DE于H，连接CH，若BC2=8+4 3，请直接写出12CH+HE的最小值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：根据平行四边形的性质可得：∠B=180°−∠A=45°．
故选：A．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，属于基础题，比较简单，关键是掌握平行四边形的邻角互补．
2.【答案】B 
【解析】解：从物体左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：B．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
3.【答案】C 
【解析】解：A.∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴以 3， 4， 5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵(32)2+(42)2≠(52)2，
∴以32，42，52为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵(14)2+(15)2≠(13)2，
∴以13，14，15为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】C 
【解析】解：A、( 3x+ y)=3x+y+2 3xy，故不符合题意；
B、( 2+ 3)× 5= 10+ 15，故不符合题意；
C、(4+2 3)(4−2 3)=16−12=4，故符合题意；
D、2 3+2 5=2( 3+ 5)，故不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】B 
【解析】解：∵ 4x+3+(5y−2)2=0，
∴ 4x+3=0，(5y−2)2=0，
∴4x+3=0，5y−2=0，
解得x=−34，y=25，
∴点M(x,y)所在的象限是第二象限．
故选：B．
根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再根据x、y的值可得点M所在的象限．
本题考查了点的坐标以及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
6.【答案】C 
【解析】解：A.∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B.∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B错误，不符合题意；
C.∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D.∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．
7.【答案】B 
【解析】解：设过点(−4,0)和(0,4)的直线解析式为y=kx+b，
则−4k+b=0b=4，解得k=1b=4，
所以过点(−4,0)和(0,4)的直线解析式为y=x+4；
设过点(−2,2)和(0,−6)的直线解析式为y=mx+n，
则−2m+n=2n=−6，解得m=−4n=−6，
所以过点(−2,2)和(0,−6)的直线解析式为y=−4x−6，
所以所解的二元一次方程组为y=x+4y=−4x−6．
故选：B．
先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
8.【答案】C 
【解析】解：如图，

在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，BO=4，AO=3，
∴AB= OA2+OB2=5，
当y=4时，4=−3x−5，
x=−3，
∴C(−3,4)，
∴点B向左平移3个单位落在直线y=−3x−5上，
∴点B平移的距离为3个单位，
∴线段AB扫过的区域所形成图形的周长为3+3+5+5=16，
故选：C．
先根据勾股定理求出AB的长，再求出点B落在直线y=−3x−5时的横坐标，求出平移的距离即可解决问题．
本题考查作图−平移变换、一次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】D 
【解析】解：由题意可知，a=101=10(千米/小时)，
b=60−107−2=10(千米/小时)，
∴a=c，
故①正确；
由图象知，c=606−2=15(千米/小时)，
∵10<15，
故②正确；
设在小附出发x小时后两人相遇，
则10(x−1)=15(x−2)，
解得x=4，
∴在小附出发4小时后两人相遇，
故③正确；
由图知，小附比小钟晚1个小时到达，
∴小钟到达时，小附离B地还有1×10=10(千米)，
故④正确．
故选：D．
根据速度=路程÷时间即可求出a、b、c值，进而求出乙到达B时，甲离B地的距离．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解图象，找准图象中的数量关系．
10.【答案】C 
【解析】解：作A关于ON的对称点A′，连接A′B交ON于P，
则此时，PA+PB最小，
∵ON垂直平分AA′，
∴OA=OA′，∠A′OA=2∠MON=60°，
∴△AOA′是等边三角形，
∵点B是OA的中点，
∴A′B⊥OA，
∵点A(0,6)，
∴OA=6，
∵点B是OA的中点，
∴OB=3，
∴PB=3 3= 3，
∴P( 3,3)．
故选：C．
作A关于ON的对称点A′，连接A′B交ON于P，则此时，PA+PB最小，由作图得到OA=OA′，∠A′OA=2∠MON=60°，求得△AOA′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到A′B⊥OB，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，掌握等边三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键．
11.【答案】B 
【解析】解：−x3≤−a3+12①−2x+1≥4a−5②，
由①得，x≥a−36，
由②得，x≤3−2a，
∵不等式组有解，
∴3−2a≥a−36，
∴a≤13，
a−4y3−y−2y−3=1，
a−4y+2=3−y，
3y=a−1，
∴y=a−13，
∵方程有非负整数解，
∴a−1≥0且a−1是3的倍数，
∴a=1或a=4或a=7或a=10或a=13，
∵y≠3，
∴a≠10，
∴所有满足条件的a的值的和是25，
故选：B．
解不等式组可得a−36≤x≤3−2a，则3−2a≥a−36，解分式方程可得y=a−13，再由方程有非负整数解，可知a−1≥0且a−1是3的倍数，能求出a=1或a=4或a=7或a=13，再求和即可．
本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键．
12.【答案】C 
【解析】解：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，故①正确；
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵∠DBE=90°，DB=BE，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=∠BDE+∠CDE，
∴∠ABD=∠CDE，故②正确；
如图，连接NE，
∵∠DBE=90°，DB=BE，BQ⊥DE，
∴BQ是DE的中垂线，
∴DN=NE，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，AD=CE，
∴∠NCE=90°，
∴NC2+CE2=NE2，
∴AD2+CN2=DN2；故③正确；
∵AD：DC=1：2，
∴设AD=a，DC=2a，
∴AC=3a，
∴BC=AB=3 22a，
∴DE= DC2+CE2= 5a，
∴BP=12DE= 52a，
∴S△BDE=12× 52a× 5a=54a2，
∵S△BEC+S△DCE=12×3 22a× 22a+12×a×2a=74a2，
∴S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④错误；
如图，过点E作EJ⊥BC于J，
设AB=BC=x=CD，则AC= 2x，
∴AD=( 2−1)x，
∵CB=CD，∠ACB=45°，
∴∠CBD=∠CDB=67.5°，
∴∠ABD=22.5°=∠CDE，
∴∠CED=67.5°，
∵△ABD≌△CBE，
∴AD=CE=( 2−1)x，∠BCE=∠A=45°，
∴∠CFE=∠CEF=67.5°，
∴CF=CE=( 2−1)x，
∵∠BCE=45°，EJ⊥BC，
∴∠CEJ=∠BCE=45°，
∴CJ=JE= 22( 2−1)x=(1− 22)x，
∴FJ=(3 22−2)x，BN= 22x，
∴EF2=EJ2+FJ2=(32− 2)x2+(172−6 2)x2=(10−7 2)x2，BD2=BE2=EJ2+BJ2=(32− 2)x2+12x2=(2− 2)x2，
∴BD2EF2=13−2 2，
∴BDEF=1 2−1= 2+1，故⑤正确，
故选：C．
由“SAS”可证△ABD≌△CBE，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得∠ABD=∠CDE，故②正确；由等腰三角形的性质可得BN是DE的中垂线，可得DN=NE，由全等三角形的性质可得∠A=∠BCE=45°，AD=CE，由勾股定理可得AD2+CN2=DN2；故③正确；分别求出△BEC，△DCE，△DBE的面积，可得S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④错误；分别求出EF2，BD2，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
13.【答案】x>2 
【解析】解：根据题意得，x−2>0，
解得x>2．
故答案为：x>2．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14.【答案】25 
【解析】解：根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中两次取出的卡片上的数字乘积是负数的有8种，
则两次取出的卡片上的数字乘积是负数的概率为820=25．
故答案为：25．
先画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两次取出的卡片上的数字乘积是负数的情况数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15.【答案】218 
【解析】解：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB=16，AD=24，
∴CD=AB=16，BC=AD=24，∠A=∠B=∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE=12AB=12×24=12，
由折叠得GE=AE=DE=12，GF=AF，∠EGF=∠A=90°，∠GEF=∠AEF，
∴∠CGE=180°−90°=90°，
在Rt△CGE和Rt△CDE中，
CE=CEGE=DE，
∴Rt△CGE≌Rt△CDE(HL)，
∴CG=CD=16，
∵BC2+BF2=CF2，且BF=16−AF=16−GF，CF=16+GF，
∴242+(16−GF)2=(16+GF)2，
解得GF=9，
∵FH//AD，
∴∠HFE=∠AEF=∠GEF，
∴FH=EH=12−GH，
∵GF2+GH2=FH2，
∴92+GH2=(12−GH)2，
解得GH=218，
故答案为：218．
连接CE，可证明Rt△CGE≌Rt△CDE，得CG=CD=16，根据勾股定理得242+(16−GF)2=(16+GF)2，则GF=9，由FH/​/AD，得∠HFE=∠AEF=∠GEF，则FH=EH=12−GH，因为GF2+GH2=FH2，所以92+GH2=(12−GH)2，得GH=218，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】598或702 
【解析】解：根据题意，12月份A款、B款、C款、D款的销量之比为1：1：3：4，B款售价比A款售价低30元，且A款比B款的销售额多300元，
可得，A款在12月的销售额为：300÷30=10(个)，
∵12月份A款、B款、C款、D款的销量之比为1：1：3：4，
∴12月份A款、B款、C款、D款的销量分别为10个、10个、30个、40个，
设C款在12月的销售单价为x元，则D款在12月份的销售单价为(x−50)元，
根据题意，可得：30x−40×(x−50)=300，
解得：x=170，
则C款12月价格为170元，D款12月价格为170−50=120(元)，
设：A款在12月的销售单价为y元(20040)，
根据题意，可得：2×10×(y−30)+3×10×(y−30−20)+40×(170−45×20)+(120−45×20)m=4×[10y+10(y−30)]+3848
解得：y=104m+141230，
∵m，y都是正整数，且m>40，200 ∴114726 ∴可得104m+1412能被30整除，
∴104m+1412的个位为0，
∴104m的个位为8，
∴m的个位为2或7，则m可能为47、52、57、62、67、72，
经检验，当m=47时，y=210，当m=62时，y=262，符合题意，
∴①当y=210时，可得出12月A款单价为210元，B款单价为210−30=180(元)，
∴1月A款价格为210−30=180(元)，B款价格为180−20=160(元)，C款价格为170−45×20=154(元)，D款价格为120−45×20=104(元)，
∴则1月促销活动当天购买一套中国航天系列的模型需要：180+160+154+104=598(元)；
∴②当y=262时，可得出12月A款单价为262元，B款单价为262−30=232(元)，
∴1月A款价格为262−30=232(元)，B款价格为232−20=212元，C款价格为170−45×20=154(元)，D款价格为120−45×20=104(元)，
∴则1月促销活动当天购买一套中国航天系列的模型需要：232+212+154+104=702(元)；
答：1月促销活动当天购买一套中国航天系列的模型需要：598元或702元．
本题主要通过12月份AB两款销量比为1：1，A款单价比B款高30元，A款总销售额比B款多300元，来计算出4款产品的销售额分别是多少，然后通过D比C少300元算出C、D的单价，通过1月1日的销量和12月的销量的差计算出A、B的单价，从而算出结果．
本题主要考查三元一次方程的列式，解答，通过给定取值范围，给定为正整数，来求得A款单价，从而得到结果．
17.【答案】解：(1)(x−2y)2+(x+2y)(x−2y)
=x2−4xy+4y2+x2−4y2
=2x2−4xy；
(2)(2x−9x+3−x+3)÷x2−4x+4x+3
=2x−9−(x−3)(x+3)x+3⋅x+3(x−2)2
=2x−9−x2+9(x−2)2
=x(2−x)(2−x)2
=x2−x． 
【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：a= 3+1( 3−1)( 3+1)= 3+12，b= 3−1( 3+1)( 3−1)= 3−12，
原式=(a+b(a+b)(a−b)−b(a+b)(a−b))×(a−b)2a(a−b)
=a+b−b(a+b)(a−b)⋅(a−b)2a(a−b)
=1a+b
=1 3+12+ 3−12
=1 3
= 33． 
【解析】利用二次根式的性质化简a，b，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将a，b的值代入运算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)图形如图所示；

(2)∵AE//BF，
∴∠ADB=∠DBF，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠DBF，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AP平分∠BAD，
∴AP⊥BD，BP=PD，
∵AB=6，∠ABP=12∠ABF=30°，
∴BP=AB⋅cos30°=3 3，
∴BD=2PB=6 3，
∵DH⊥BH，
∴∠BHD=90°，
∵PB=PD，
∴PH=12BD=3 3． 
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)求出BD，利用直角三角形斜边中线定理求解．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20.【答案】15  72  8  2  1000 
【解析】解：(1)被调查的总人数为25÷25%=100(人)，
∴C社团人数为100−(10+25+15+20)=30(人)，
补全图形如下：

m%=15100×100%=15%，即m=15，E组所对应扇形的圆心角为360°×20100=72°，
故答案为：15、72；
(2)A社团分数重新排列为6、6、7、7、8、8、9、9、10、10，
其中位数为8+82=8，平均数为110×(2×6+2×7+2×8+2×9+2×10)=8，
所以方差为110×[2×(6−8)2+2×(7−8)2+2×(8−8)2+2×(9−8)2+2×(10−8)2]=2，
故答案为：8，2；
(3)估计选择B社团的学生大概有4000×25%=1000(名)，
故答案为：1000；
(4)列表如下：

A
B
C
D
E
A

(B,A)
(C,A)
(D,A)
(E,A)
B
(A,B)

(C,B)
(D,B)
(E,B)
C
(A,C)
(B,C)

(D,C)
(E,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)

(E,D)
E
(A,E)
(B,E)
(C,E)
(D,E)

由表知，共有20种等可能结果，其中两位同学恰好选择了B社团和C社团的有2种结果，
所以两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率为220=110．
(1)根据B社团人数及其所占百分比求出总人数，继而求出C对应人数，用D组人数除以总人数可得m的值，用360°乘以E组人数所占比例即可；
(2)根据中位数和方差的定义求解即可；
(3)用总人数乘以B社团人数所占比例；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF=50°，
∴∠ADC=180°−∠DCF−∠BCF=180°−50°−50°=80°；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形． 
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得出∠ADC+∠DCB=180°，再根据角平分线的定义得出∠DCB的度数即可求解；
(2)由ASA证明△ABE≌△CDF得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，再根据平行线的判定得出AE/​/CF即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种荧光棒的销售单价为x元，则乙种荧光棒的销售单价为(x+10)元，
根据题意得：5000x×(1−20%)=6000x+10，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的根，
此时x+10=30，
答：甲、乙两种荧光棒的销售单价分别为20元，30元；
(2)设购买甲种荧光棒y根，则乙种荧光棒(110−y)根，荧光棒销售利润为w元，
则w=(20−15)y+(30×0.8−15)(110−y)=5y+990−9y=990−4y，
∵订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍，
∴y≥2(110−y)，
解得y≥2203，
∵−4<0，
∴当y=74时，利润最大，最大利润为990−4×74=694(元)，
此时110−74=36(根)，
答：商家购买甲种荧光棒74根，则乙种荧光棒36根销售利润最大，利润最大为36元． 
【解析】(1)设甲种荧光棒的销售单价为x元，则乙种荧光棒的销售单价为(x+10)元，根据乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%，列出方程，解方程即可，注意验根；
(2)设购买甲种荧光棒y根，根据总利润=两种荧光棒销售利润之和列出函数解析式，再根据订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求函数最值．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于y的一次函数关系式．
23.【答案】解：(1)针对于一次函数y=− 33x+3，
令x=0，则y=3，
∴B(0,3)，
令y=0，则0=− 33x+3，
∴x=3 3，
∴A(3 3,0)，
设OC=a，
∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，
∴BC=AC=3 3−a，
在Rt△OBC中，OC2+OB2=BC2，
∴a2+32=(3 3−a)2，
∴a= 3，
∴线段OC的长 3；

(2)如图，

∵点E是点C关于y轴的对称点，线段OC的长 3，
∴E(− 3,0)，
∴AE=4 3，AC=2 3，
∵A(3 3,0)，B(0,3)，
∴D(3 32,32)，
∴S△BED=S△ABE−S△AED
=12×4 3×3−12×4 3×32
=3 3；

(3)∵线段OC的长 3，
∴C( 3,0)，
设P(0,m)，
∵B(0,3)，
∴BC2= 32+( 3)2=12，CP2=( 3)2+m2=3+m2，BP2=(m−3)2，
∵△PCB是等腰三角形，
∴①当PC=PB时，m2+3=(m−3)2，
∴m=1，
∴点P的坐标为(0,1)；
②当PC=CB时，m2+3=12，
∴m=3(舍)或m=−3，
∴点P的坐标为(0,−3)，
③当CB=PB时，12=(m−3)2，
∴m=3+2 3或m=3−2 3，
∴点P的坐标为(0,3+2 3)或(0,3−2 3)，
综上，点P的坐标为(0,1)或(0,−3)或(0,3+2 3)或(0,3−2 3). 
【解析】(1)根据坐标轴上点的特点，求出点A和点B的坐标，设OC=a，由对折得BC=AC=3 3−a，利用勾股定理求出a，即可得出结论；
(2)先求出点E的坐标，根据S△BED=S△ABE−S△ACD，即可得出结论；
(3)设出点P坐标，分三种情况利用等腰三角形的两腰相等，建立方程求解即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵102+0×417=6是整数，
∴1002是“缤纷数”，
∵34+6×417=5817不是整数，
∴364不是“缤纷数”；
(2)∵1≤a≤9，
∴m=3539+101a=3×1000+5×100+3×10+9+100a+a=3×1000+100(a+5)+4×10+(a−1)，
∴F(m)=3×100+10(a+5)+(a−1)+4×417=11a+36517，
∵11a+36517为整数，
∴a=7，此时F(m)=26；
∵n=500+10b+c，
∴F(n)=50+c+4b17，
∵0≤b≤9，0≤c≤9，50+c+4b17是整数，
∴当b=0，c=1时F(n)=3，此时G(m,n)无意义；
当b=4，c=2时F(n)=4，此时G(m,n)=26+44=152；
当b=8，c=3时，F(n)=5，此时G(m,n)=26+58=318；
综上所述，G(m,n)的值为152或318． 
【解析】(1)由新定义可判断1002是“缤纷数”，364不是“缤纷数”；(2)根据新定义求出F(m)=3×100+10(a+5)+(a−1)+4×417=11a+36517，可得a=7，F(m)=26；而F(n)=50+c+4b17，0≤b≤9，0≤c≤9，可知当b=0，c=1时F(n)=3，此时G(m,n)无意义；当b=4，c=2时F(n)=4，此时G(m,n)=152，当b=8，c=3时，F(n)=5，此时G(m,n)=318．
本题考查整式的运算，涉及新定义，解题的关键是读懂“缤纷数”的概念．
25.【答案】(1)解：∵EF=BE，
∴∠FEB=∠EBF，
∵∠E=45°，
∴∠BFE=∠FBE=67.5°，
∵∠DBE=90°，
∴∠CBD=22.5°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=22.5°，
∴BD是∠ABC的角平分线，
过点D作DK⊥AB交于点K，
∴CD=DK，
∵∠A=45°，
∴AD= 2KD，
∴AD= 2CD，
∴ADCD= 2；
(2)证明：过点E作EN⊥BC交于点N，
∵∠DBE=90°，
∴∠DBC+∠CBE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠NBE=∠CDB，
∵BE=BD，
∴△BCD≌△ENB(AAS)，
∴NB=CD，
∵BC=AC，
∴AD=CN，
∵∠AMC=∠NME，∠ACM=∠MNE=90°，AC=NE，
∴△ACM≌△ENM(AAS)，
∴CM=MN，
∴AD=2CM；
(3)解：将CH绕点C顺时针旋转30°得到CH′，过H点作HG⊥CH′交于G点，连接BG，
在Rt△CHG中，GH=12CH，
∴12CH+HE=GH+HG≥BG，
当B、H、G三点共线时，12CH+HE有最小值，此时BG⊥CG，
∵BH⊥DE，△BED是等腰直角三角形，
∴BH=12DE，BD= 2BH，
∵∠ABD+∠CBD=∠CBD+∠CBH=45°，
∴∠ABD=∠CBH，
∵BDBH=ABBC= 2，
∴△ABD∽△CBH，
∴∠A=∠BCH=45°，
∵∠GCH=30°，
∴∠BCG=75°，
在BG上取K点，连接CK，使CK=BK，
∴∠CKG=30°，
设BK=x，则CK=x，GC=12x，GK= 32x，
∴BG=x+ 32x，
在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，
∴8+4 3=(2+ 3)x，
解得x=4，
∴BG=4+2 3，
∴12CH+HE的最小值为4+2 3． 
【解析】(1)推导出BD是∠ABC的角平分线，过点D作DK⊥AB交于点K，即可得到AD= 2KD= 2CD；
(2)过点E作EN⊥BC交于点N，分别证明△BCD≌△ENB(AAS)，△ACM≌△ENM(AAS)，即可证明AD=2CM；
(3)将CH绕点C顺时针旋转30°得到CH′，过H点作HG⊥CH′交于G点，连接BG，当B、H、G三点共线时，12CH+HE有最小值，此时BG⊥CG，证明△ABD∽△CBH，可得∠A=∠BCH=45°，则∠BCG=75°，在BG上取K点，连接CK，使CK=BK，设BK=x，则CK=x，GC=12x，GK= 32x，BG=x+ 32x，在Rt△BCG中，由勾股定理可得8+4 3=(2+ 3)x，求出x，即可求12CH+HE的最小值为4+2 3．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．