备战2023年中考数学基础题型专项突破练习（全国通用）冲刺小卷16 特殊三角形

冲刺小卷16 特殊三角形

考点1  等腰三角形的相关计算

1.（2021 •秦都区月考）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，若AB＝6cm，则AC的长为（　　）

A．4m B．5cm C．6cm D．8cm

C【解析】在△ABC中，∵∠A＝80°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠B＝∠C∴AB＝AC＝6cm，故选：C．

2.（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．30°

B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．

3．（2021•青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．8 B．6或8 C．7 D．7或8

D【解析】∵（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．

4.（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　54　°．

54【解析】∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A72°＝36°，

在Rt△ABC中，∠A＝36°，∴∠B＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54．

5.（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　1　．

1【解析】如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACPAC×PF，S△ABPAB×PE，

又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1AC×PFAB×PE，即12×PF2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．

6.（2021•泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．

（1）判断△ADE的形状，并说明理由；

（2）若AD＝2，求△ABC的面积．

解：（1）结论：△ADE是等边三角形．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，

∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°，∴AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．

（2）∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2AD，∵AD＝DE，∴BE＝DE，同法可证，DE＝CD，∴BE＝DE＝CD，∴S△ABC＝3S△ADE＝322＝3．

考点2  勾股定理及其逆定理

7.（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）

D【解析】根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，6．∴B（0，6）．故选：D．

8.（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°

C【解析】根据勾股定理可以得到：AC＝BC，AB．∵（）2+（）2＝（）2．∴AC2+BC2＝AB2．

∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故选：C．

9．（2021•临沂）如图，每一小格的长度为1，点A，B都在格点上，若BC，则AC的长为（　　）

A． B． C．2 D．3

B【解析】由图可得，AB2，∵BC，∴AC＝AB﹣BC＝2，

故选：B．

10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．

A【解析】如图，连接FC，则OE垂直平分AC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．

在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故选：A．

11.（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100　．

100【解析】由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．

12.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是　76　．

76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30则x＝13，y＝6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．故答案是：76．

13． （2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．

（1）求A、D两点之间的距离；

（2）求隧道AB的长度．

解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：则∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CEAC（km），AECE（km），∴DE＝CD﹣CE（）（km），

∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴ADAE（km）；

（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴ADAE（km），∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，

∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB3（km），即隧道AB的长度为3km．

考点3  直角三角形的相关计算

 14．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°

C【解析】如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．

15.（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）

A．2km B．3km C．km D．4km

D【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故选：D．

16.（2021 •中原区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

A【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACE＝90°，AC＝2，∴AE＝BE＝2AC＝4，∴S△ABEBE•AC，故选：A．

17.（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

A【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE,

∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD,故选：A．

18.（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝　4　．

4【解析】∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，∴CDAB，∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4，故答案为：4．

19.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　5　．

5【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°，OP＝12，∴OD＝6，

∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝NDMN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故答案为：5．

20.（2021•下城区期中）解答下列各题．

（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．

（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．

（1）证明：∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中点，∴DMOP＝DO，

∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON；

（2）解：∠MDN＝2∠MON．理由如下：如图2，∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中点，

∴DMOP＝DO，∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP＝2∠MON．

21.（2021•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．

（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；

（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．

①求证：△BPM是等腰三角形；

②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，

∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；

（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，

∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；

②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，

∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．