高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀教案及反思

4.4.2  指数函数的图象与性质

教学目标

1.掌握指数函数的图象变换.

2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.

3.熟悉指数函数在实际问题中的应用

教学重点：

1.指数函数的图象与底数的关系.

2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.

3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.

4.指数函数性质的应用．

教学难点：

1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.

2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.

3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.

教学过程：

一、核心概念

知识点一、不同底指数函数图象的相对位置

指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由变；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由变；

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．

知识点二、函数图象的对称和变换规律

一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．

函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．

知识点三、与指数函数复合的函数单调性

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数，

复合而成．

(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：

(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f[g(x)]的单调性．

二、评价自测

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)3－1.8>3－2.5.(　　)

(2)7－0.5<8－0.5.(　　)

(3)6－0.8<70.7.(　　)

答案：（1）√、（2）×、（3）√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)如果(a>0，且a≠1)，当a>1时，x的取值范围是__________；当0<a<1时，x的取值范围是________．

(2)满足的x的取值范围是________．

(3)某种细菌在培养的过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成4096个需经过________小时．

答案：(1)，、(2)、(3)3

三、典例分析

题型一   指数函数的图象变换

例1利用函数f(x)＝x的图象，作出下列各函数的图象：

(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．

【答案】作出f(x)＝x的图象，如图所示：

(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)的图象，如下图(1)．

(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如下图(2)．

(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如下图(3)．

金版点睛：

作与指数函数有关的图象应注意的问题

(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势．

(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)．

跟踪训练1

画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．

【答案】y＝2|x－1|＝

其图象是由两部分组成的：一是把y＝2x的图象向右平移1个单位长度，取x≥1的部分；

二是把y＝x的图象向右平移1个单位长度，取x<1的部分，如图中实线部分所示．由图象可知，函数有三个重要性质：

①对称性：图象的对称轴为直线x＝1；

②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增；

③函数的值域：[1，＋∞).

题型二   利用指数函数的单调性比较大小

例2比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.

【答案】 (1)∵1.7>1.

∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.

(2)解法一：∵1.7>1.5，

∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3>0，

∴1.70.3>1.50.3.

解法二：∵1.50.3>0，且＝0.3，

又>1,0.3>0，∴0.3>1，

∴1.70.3>1.50.3.

(3)∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，

∴1.70.3>0.83.1.

金版点睛：

比较函数值大小的常用方法

(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子．

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．

(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题．

跟踪训练2

比较下列各题中的两个值的大小．

(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)－π，1.

【答案】 (1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．

∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，

又∵0.8－0.2＝1.250.2

∴0.8－0.1<1.250.2.

(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．

又∵－π<0，∴－π>0＝1，即－π>1.

题型三解简单的指数不等式

例3设0<a<1，解关于x的不等式.

【答案】∵0<a<1，∴y＝ax在R上是减函数．

又∵，

∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.

∴不等式的解集是(1，＋∞)．

金版点睛：

解指数型函数不等式的依据

解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：

跟踪训练3

求满足下列条件的x的取值范围：

(1)；

(2)0.2x<25；

(3)(，且)．

【答案】 (1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，

又y＝3x在定义域R上是增函数，

∴x－1>2x，∴x<－1，

即x的取值范围是(－∞，－1)．

(2)∵0<0.2<1，∴指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．

又25＝0.2－2，∴0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范围是(－2，＋∞)．

(3)当a>1时，∵a－5x<ax－7，∴－5x<x－7，

解得x>；

当0<a<1时，∵a－5x<ax－7，∴－5x>x－7，

解得x<.

综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是.

题型四   指数函数性质的综合应用

例4已知函数f(x)＝a－(x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．

【答案】 (1)证明：∵的定义域为，任取，

则，

∵，

∴，

∴，即，

∴不论为何实数，总为增函数.

(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，

∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.

(3)由(2)知，f(x)＝－，

由(1)知，f(x)为增函数，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．

∵f(1)＝－＝，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.

金版点睛：

复合函数的单调性问题

函数y＝f(ax)的单调区间既要考虑f(x)的单调区间，又要讨论a的取值范围：当a>1时，函数y＝f(ax)与函数f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝f(ax)与函数f(x)的单调性相反．但在证明过程中，仍应严格按照定义证明．

跟踪训练4

已知函数f(x)＝.

(1)证明：f(x)为奇函数；

(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．

【答案】 (1)证明：由题知f(x)的定义域为R.

f(－x)＝＝＝＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(2)f(x)在定义域上是增函数．

证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，

则，

∵，

∴，

∴，

∴为上的增函数.

四、随堂练习

1．下列判断正确的是(　　)

A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83

C． D．0.90.3>0.90.5

答案：D

解析：因为函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.

2．若a，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C．(－∞，1)   D.

答案：B

解析：函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.

3．设＜b<a<1，则(　　)

A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab

C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa

答案：C

解析：由已知条件得0<a<b<1，∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.

4．函数的单调增区间为(　　)

A．(－∞，＋∞)   B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(0,1)

答案：A

解析：设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝1－x的递增区间．

5．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．

解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，

则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，

∴当a>1时，y≥2.

当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1.

∵g(0)＝－1，g(1)＝2，

∴当0<a<1时，－1<y≤2.

综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；

当0<a<1时，函数的值域是(－1,2]．