数学选择性必修 第一册3.3 抛物线完美版课件ppt

[对应学生用书P127]

1．已知边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)

A．y2＝x　　　　 　　 B．y2＝－x

C．y2＝±x     D．y2＝±x

C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.]

2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为(　　)

A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10

C　[抛物线x2＝4y的准线为y＝－1.因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.]

3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)

A．2x－y＋3＝0     B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0     D．2x－y－1＝0

D　[设切线方程为2x－y＋m＝0，联立得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.]

4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2    B．2    C．2    D．2

B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.

由得x2－4x＋1＝0，

∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.

∴|AB|＝

＝＝＝2.]

5．(多选题)过点(－2，1)作直线l，与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足条件的是(　　)

A．y＝1     B．x＋2y＝0

C．x＋y＋1＝0     D．x－2y＋4＝0

ACD　[由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x＋2).

由方程组(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①

当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，

这时，直线l与抛物线只有一个公共点，此时直线l的方程为y＝1.

当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).

当Δ＝0时，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．

此时直线l的方程为y－1＝－1(x＋2)或y－1＝(x＋2)，

即x＋y＋1＝0或x－2y＋4＝0.]

6．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)

A．2    B．    C．2    D．

C　[设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.

∵直线与抛物线交于A，B两点，

∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.

又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去).

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·＝＝2.]

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．

8　[设准线交x轴于点B，O为坐标原点．依题意kAF＝－，则∠AFO＝60°.又|BF|＝4，所以|AB|＝4，则点P的纵坐标为4，所以(4)2＝8xP，得xP＝6，即点P的横坐标为6.所以|PF|＝|PA|＝8.]

8．(多空题)已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．

　　[设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.]

9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．

解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，

设A(x0，y0)，由题知M.

∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.

∵|AM|＝，∴x＋＝17，

∴x＝8，代入方程x＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.

10．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)

A．2      B．4       C．6      D．4

D　[据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，

∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋.又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m2＝12，∴等边三角形的边长为4，其面积为4.]

11．(2020·湖南怀化市高二期末)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)

A．点F的坐标为

B．若直线MN过点F，则x1x2＝－

C．若＝λ，则||的最小值为

D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为

BCD　[易知点F的坐标为，选项A错误；

根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；

若＝λ，则MN过点F，则的最小值即抛物线通经的长，为2p，即，选项C正确，

抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂直线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以＝，＝.

所以＋＝＋＝，所以线段＝＝

所以线段MN的中点P到x轴的距离为－＝－＝，选项D正确．故选B、C、D.]

12．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于________．

2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.

∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2).

∵x1≠x2，∴＝＝1.

∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0，0)，B(4，4).∴|AB|＝4.又F(1，0)到y＝x的距离为，

∴S△ABF＝××4＝2.]

13．(多空题)(2020·山东泰安市高三期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝________，－的最小值为________．

8　　[∵ 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，∴p＝8，

∴抛物线的方程为y2＝16x.

设直线l的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得y2－16my－64＝0，

∴y1＋y2＝16 m，y1y2＝－64.由抛物线的定义得

＋＝＋＝＝

＝＝

＝＝，

∴－＝－4(－)＝＋－1≥2－1＝，当且仅当＝即|NF|＝6时，等号成立．]

14．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

(1)证明　如图所示，由消去x，得ky2＋y－k＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－.

∵A，B在抛物线y2＝－x上，

∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.

∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.

(2)解　设直线与x轴交于点N，显然k≠0.

令y＝0，得x＝－1，即N(－1，0).

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，

∴S△OAB＝·1·

＝ .∵S△OAB＝，

∴＝ ，解得k＝±.