初中数学北师大版九年级下册1 圆优秀课时练习

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆优秀课时练习，文件包含第三章核心考点突破训练155题174页-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关解析版北师大版docx、第三章核心考点突破训练155题174页-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共225页， 欢迎下载使用。

第三章核心考点突破训练

考点1：与圆有关的最值问题
典例：（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．

巩固练习
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆O的弦中最长的是（   ）

A．AB B．CD C．EF D．GH
2．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（    ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（    ）

A．a B．b C．a+b D．a−b
4．（2021·全国·九年级课时练习）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（    ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
5．（2022·贵州遵义·二模）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（      ）

A．14 B．234−4 C．234+2 D．234+4
6．（2021·江苏扬州·九年级期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为_______．
7．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）已知圆内一点P到圆周上点的最长距离为7cm，最短距离为3cm，此圆的半径为___cm．
8．（2021·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,1、B(0,1+t)、C(0,1−t)(t>0)，点P在以点D4,4为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值为______，t的最大值为______．

9．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ___．

10．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则线段A'C的最小值是______．

11．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中，AB=23，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．

12．（2022·四川凉山·九年级期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________．


考点2：垂径定理及其应用
典例：（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若的半径为2，求的长．
巩固练习
1．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　）
①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（    ）

A．9米 B．10米 C．13米 D．15米
3．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（    ）

A． B．3 C．4 D．5
4．（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　）

A．1 B．＋1 C．2－1 D．3
5．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是(   )cm

A．8 B．10 C．12 D．20
6．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　）

A．2 B．6 C．4 D．6
7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：( )，_______．

8．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶MC=3∶2，则AB的长为________

9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为________寸．

10．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径，D是半径OC上一点，且．A，B是⊙O上的两个动点，，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于__________．

11．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦，∠AOC=90°，设AB=a，CD=b，则_______．

12．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．

13．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知锐角内接于，于点．

(1)若，弦的长为，求的半径；
(2)请用无刻度直尺画出的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
14．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．

(1)求的长：
(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
考点3：圆周角定理及其推论的应用
典例：（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点F是延长线上的一点，且平分，于点E．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．
巩固练习
1．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）一条弦的两个端点把圆周分成4：5两部分，则该弦所对的圆周角为（    ）
A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°
2．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（   ）

A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2022·江苏·江阴市陆桥中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB=35°，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．55° D．100°
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　）

A． B． C．2 D．1
5．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（　　）

A．95° B．105° C．115° D．125°
6．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是(   )

A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是直径，点，在半圆上，若，则（    ）

A． B． C． D．
8．（2021·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）如图，半径为R的⊙O的弦，且于E，连结AB，AD，若，则R的值为______．

9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，已知半圆O的直径AB=9，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到，交直径AB于点D，若D在半径OA上，且为直径的三等分点，则AC的长是 ___________.

10．（2022·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是________.

11．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）已知的半径为2，弦，弦，则的度数为______________．
12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，,则⊙O的半径为 ___________．

13．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，AB＝2，CB＝3，则⊙O的直径为_______．

14．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）如图，点在以为直径的上，，，则的长为______．

15．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，若，，则线段AC的长为______．

16．（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______．

17．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．

考点4：直线与圆的位置关系
典例：（2022·江苏·九年级单元测试）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）．

（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．
巩固练习
1．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级阶段练习）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　）

A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【答案】C
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，圆P的半径为2，下列说法正确的是（    ）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
4．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）已知：在中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC长为半径的B与AC边的位置关系是（    ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（    ）

A． B． C． D．3
6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学九年级阶段练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（　　）
A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m
8．（2022·全国·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（    ）．
A．4.5 B．5.5 C．6 D．7
9．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ）

A．1 B．5 C．3 D．1或5
10．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，以点（3，4）为圆心，3为半径的圆必定与轴___________．
11．（2022·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为______．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______．

13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．

14．（2022·江苏·东海晶都双语学校九年级阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为_____________时，⊙P与直线CD相切．

15．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）在同一平面直角坐标系中有5个点：．

(1)画出的外接圆，并指出点D与的位置关系；
(2)的外接圆的半径=_________，的内切圆的半径=_________．
(3)若直线l经过点，判断直线l与的位置关系．
考点5：切线的性质
典例：（2022·河北承德·九年级期末）如图，，，，，点在对角线上运动，以为圆心，为半径作．

(1)当点在上时，______，此时与的位置关系是______；
(2)当与边相切时，求的长；
(3)直接写出与的边有公共点时的取值范围．
巩固练习
1．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．8cm
是解题的关键．
2．（2022·福建·福州第四中学桔园洲中学九年级阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　）

A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
4．（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（    ）

A．4 B．3 C． D．
5．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（    ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（　　）

A．63° B．54° C．60° D．126°
8．（2022·浙江绍兴·一模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于_________cm．

9．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，PA，PC是⊙O的两条切线，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为 ___________.

【答案】76°##76度
10．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在中，点是直径的延长线上一点，过点作的切线，C为切点．连接，若，则的度数为____________．

11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，切于点A，交于点，点在上，，则的度数是__________．

12．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于 _____．

13．（2022·广东汕头·九年级期末）直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD//AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为________．

14．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的圆的切线交BO于点P，∠P的度数为40°，则∠A＝_____°

15．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为 __．

16．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝10，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，P是线段AO上一动点，⊙P的半径为1，当⊙P与平行四边形ABCD的边相切时，AP的长为_______．

17．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）在扇形AOB中，半径，，点P在半径OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到．且与所在的圆相切于点B．

(1)求的度数；
(2)求AP的长．
考点6：切线的判定
典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．

(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BD＝8，CE＝12，求AC的长．
方法或规律点拨
本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关性质定理是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2019·北京·北大附中实验学校九年级阶段练习）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．

请回答：该画图的依据是______________________．
2．（2022·浙江·台州市书生中学九年级阶段练习）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连接BD，，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明．

3．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使．

(1)求证：与相切；
(2)若的半径为1，求的长．
4．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学九年级阶段练习）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若∠F＝30°，求∠M的度数；
(3)在第二问的条件下，若ME＝1，求BF的长．
5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．

6．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．

(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
7．（2021·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学九年级期中）如图，在中，，，点在上，经过点，，且交于点，直径于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
8．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
9．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）小晶想在一块形状为直角三角形（∠C＝90°）的铁皮上截出一个半圆形铁皮，现要使半圆的圆心在线段AC上，使这个半圆与AB，BC都相切．下面是小品设计的尺规作图的过程．
已知：如图，△ABC，∠C＝90°．

求作：以线段AC上点O为圆心的半圆弧，使它与AB，BC都相切．
作法：①作∠ABC的平分线与AC相交于O点；
②以O为圆心，OC长为半径作半圆弧与AC交于D点；
所以半圆弧CD即为所求．
根据小晶设计的尺规作图的过程
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明，
证明：∵点C在⊙O上，且∠ACB＝90°即BC⊥AC．
∴BC与⊙O相切于点C_____（填推理的依据）
过O作OE⊥AB于点E，
∴BO是∠ABC的平分线，且OC⊥BC，OE⊥AB于点E．
∴____＝OC，（_____）（填推理的依据）．
∴点E在⊙O上．
∴AB与⊙O相切于点E．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．

(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
11．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OEAB，交BC于E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．

(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长．
13．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
(2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
考点7：与内切圆有关的问题
典例：（2022·江苏·九年级课时练习）已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．

【解决问题】：
(1)证明：是的内切圆；
(2)若，，求的半径．
巩固练习
1．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（    ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
2．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点可以确定一个圆
C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
3．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（   ）

A． B． C． D．
4．（2022·河北承德·九年级期末）如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（    ）

A．111° B．130° C．172° D．170°
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，，是内心，则等于（

A．120° B．130° C．150° D．160°
6．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（    ）

A．10 B．10 C．14 D．16
7．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）

A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法不正确的是（    ）

A．射线BP一定过点O B．点O是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点O是三条边的垂直平分线的交点
9．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（  ）

A． B． C． D．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．
11．（2022·江苏·徐州市撷秀初级中学九年级阶段练习）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°；

12．（2021·贵州·铜仁市第十一中学一模）已知△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，I是△ABC的内心，把△ABC向下平移得到△IDE，使得点C和点I重合，交AB于F，G两点，则△IFG的周长为 _____.

13．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为________．

14．（2022·河南周口·九年级期末）如图，已知△ABC．

(1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
(2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若，则________．
15．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，

(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
16．（2021·全国·九年级）阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OABAB•r，S△OBCBC•r，S△OCACA•r
∴S△ABCAB•rBC•rCA•rl•r
∴r（可作为三角形内切圆半径公式）

根据上述阅读材料完成下列各题：
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
考点8：图形中扇形和不规则图形面积计算
典例：（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°.

(1)∠C= ；
(2)求证：直线AE是⊙O的切线；
(3)当AB=3时，求图中阴影部分的面积.
巩固练习
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是⊙O的直径，弦，＝30°，＝2，则S阴影＝（    ）

A．π B．2π C． D．π
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（   ）

A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·湖南·长沙县百熙实验学校（初中部）九年级期中）若一个扇形的半径是6，弧长是，则它的面积为___________.
5．（2022·辽宁·沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图，，，两两不相交，且半径都等于，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留）

6．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 _________  

7．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）

8．（2021·广东惠州·九年级期末）如图，将直径为12的半圆，绕点A逆时针旋转60º，使点B落到点B'处，则图中阴影部分的面积是________．

9．（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）

10．（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是________．

11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为________．


12．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图，内接于⊙O，，点E在直径BD的延长线上，且AE=AB．

(1)求证AE是⊙O的切线；
(2)若AB=3，①求阴影部分的面积；②连AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面半径．
13．（2022·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形，若，OA=2，交于点C．

(1)连接OC，求∠AOC的度数；
(2)请直接写出阴影部分与、的数量关系；并求出阴影部分的面积．
14．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级阶段练习）如图，ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=2，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．
考点9：图形变换过程中形成的图形面积计算
典例：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是、，△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到．

(1)画出，直接写出点，的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段OB所扫过的面积．
巩固练习
1．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则边BC在旋转过程中所扫过的图形的面积为________．

【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】2π
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____（结果保留π）．

5．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，，，，把绕点O顺时针旋转60°得，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为________．

6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．

7．（2022·山东·平阴县教育教学研究中心二模）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为 ．则图中阴影部分的面积是________．

8．（2022·河南开封·一模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点、点P是线段AB上的一个动点，过P作y轴的平行线，交直线于Q，△OPQ绕点O逆时针旋转30°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值为____________．

9．（2021·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学九年级期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出将绕原点O顺时针方向旋转得到的；
(2)求（1）中线段扫过的图形面积．
10．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），其中A（1，1）B（4，4）C（5，1）

(1)将△ABC沿y轴翻折，作出翻折后得到的△A1B1C1，则点A1坐标为 　 　.若在y轴上有一点P，使PA+PB最小，则P的坐标是 　 　．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，作出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2，则点B2的坐标为 　 　，AB旋转至A2B2所扫过的面积是 　 　（保留π）．
考点10：圆的综合问题
典例：（2022·江苏·东台苏东双语学校九年级阶段练习）探究题

(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；
②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）
巩固练习
1．（江苏省淮安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．

(1)求证：△AOE≌△POC；
(2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
2．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图1，AB是的直径，点C在上，D为AC的中点，连接BC，OD．

(1)求证：；
(2)如图2，过点D作AB的垂线与交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，的半径为2，求弦BC的长．
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．

(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
4．（2022·福建省福州教育学院附属中学九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙O于点G，连接FG，DG，BF．
①如图2，证明：；
②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点H，使得DH＝DF．若BF⊥DG，证明：D，O，H在同一条直线上．
5．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）探究
(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，且AB=a，P为⊙A上一动点，连接PB，易得PB的最大值为 ___________，最小值为 ___________；（用含a，r的代数式表示）
(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 ___________；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AB=7，AP=3，求AD的最大值；
(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，且，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，若AB=6，则BD的最小值为 ___________．

6．（2021·河南省长垣县蒲北中心校九年级期中）如图，在△ABC 中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点 D，E．连接ED，若ED=EC．

(1)求证：AB=AC；
(2)填空：①若∠C=60°，CD=4，则AB= ；
②连接OD，当∠A的度数为 时，四边形ODEB是菱形．
7．（2022·广东·广州市第一中学三模）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将△AOB绕B点顺时针旋转α角（）至处．

(1)如图1，m=4，α=，求点的坐标及AB扫过的面积；
(2)如图2，当旋转到三点在同一直线上时，求证：是⊙O的切线；
(3)如图3，m=2，在旋转过程中，当直线与⊙A相交时，直接写出α的范围．
8．（2019·山东潍坊·九年级期中）如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．

(1)求证：直线是半圆的切线；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)若，，求线段的长．
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
10．（2021·黑龙江·拜泉县第三中学九年级阶段练习）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA＝5，OC＝3，E为BC的中点，以OE为直径的交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)求证：△OCE≌△ABE；
(2)求证：DF为的切线；
(3)在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标，不存在请说明理由．
11．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，的两条弦互相垂直，垂足为E，且．

(1)求证：．
(2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由．
(3)若，求的半径．
12．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．

(1)请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
13．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．

(1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ；
(2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长；
(3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
14．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，
∴，
由折叠知，，
连接，在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：

(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；
(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．