初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系导学案

专题3.13 平面直角坐标系背景下的面积问题（知识讲解）

模型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算

直接使用三角形的面积公式S=AB・h,其中AB边在坐标轴上或与坐标轴平行,h为AB边上的高。

1．如图所示，在平面直角坐标系中点，，，．

（1）求四边形的面积

（2）点为轴上一点，且的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标．

【答案】（1）23；（2）或．

【分析】

（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，分别计算AF、DF、BE的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得，，即可解题；

（2）设，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．

解：（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，

因为，，，，

所以，，，

所以，

所以，

所以，

所以．

（2）设

则有

即

解得：

所以

所以点的坐标为或．

【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

（1），，，，，；

（2），，，，，，，．

观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积．

【答案】（1）如图见解析，图形像两座山，图形的面积是6；（2）如图见解析，图形像一座房子或一个箭头，图形的面积是17．

【分析】将点在平面直角坐标系内描出依次连接，即可得到图形；再根据所得图形用割补法，分割成已知面积公式的图形进行分别求面积，再将面积相加即可．

解：（1）如图，图形像两座山，图形的面积是；

（2）如图，图形像一座房子或一个箭头，图形的面积是．

【点拨】本题考查了学生在平面直角坐标系中根据坐标描点，割补法求面积的能力，属于常见考查内容．

【变式1】如图，描出A(−3，−2)，B(2，−2)，C(−2，1)，D(3，1)四个点．线段AB，CD有什么位置关系和数量关系？顺次连接A，B，C，D四点，求四边形ABCD的面积．

【答案】见解析．AB∥CD，AB=CD；四边形ABDC的面积为15．

【分析】根据平面直角坐标系描出各点，再根据网格结构的特点观察图形即可得解；利用网格结构求出AB边的长度以及AB边上的高，然后根据面积公式列式计算即可得解．

解：如图，

∵A（-3，-2），B（2，-2），

∴AB=5，AB∥x轴．

又∵C（-2，1），D（3，1），

∴CD=5，CD∥x轴．

∴AB=CD，AB∥CD；

由图形可得AB=2-（-3）=2+3=5，AB边上的高为3，

所以，四边形ABDC的面积=5×3=15．

【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出A、B、C、D四个点是解题的关键．

模型2三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算

2．中，A、B、C三点坐标分别为、、．

（1）求的面积；

（2）若B、C点坐标不变，A点坐标变为，则的面积为______．

【答案】（1）；（2）8．

【分析】

（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；

（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，则的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．

【详解】

解：（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，如下图：

则：、、、、、

由图形可得：

所以，

（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，如下图：

则：、、、、

由图形可得：

所以，

【点拨】此题考查了平面直角坐标系的应用，割补法求解三角形面积，解题的关键是根据直角坐标系的性质构造出矩形求解三角形面积．

举一反三：

【变式1】在如图的平面直角坐标系中：

（1）写出各点坐标：A　 　；C　 　

（2）△ABC的面积为 　 　

（3）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，点P的坐标为 　 　

【答案】（1） ,；（2）4；（3）（10，0）或（−6，0）．

【分析】

（1）根据图像直接写出即可；

（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则四边形DCEO为矩形，求解即可．

（3）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x−2|，由三角形的面积公式求解即可．

解：（1）由图可得： , ；

（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：

则四边形DCEO为矩形，

∴

．

（3）设点P的坐标为（x，0），

则BP＝|x−2|．

∵△ABP与△ABC的面积相等，

∴×1×|x−2|＝4，

解得：x＝10或x＝−6，

∴点P的坐标为（10，0）或（−6，0），

【点拨】本题考查了三角形面积、坐标与图形的性质等知识，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．

如图1，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．

（1）求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；

（2）如图2，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．

【答案】（1）；（2）38.5

【分析】

（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．根据图形知S△OBC=S梯形BCED+S△OBD-S△OCE；

（2）连接OB．根据图形知S四边形OABC=S△OAB+S△OBC；
利用梯形、三角形的面积公式可以分别求得S△OBC、S四边形OABC．

解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．

S△OBC=S梯形BCED+S△OBD-S△OCE

=（y1+y2）（x2-x1）+x1y1-x2y2

=（x2y1-x1y2）．

∴△BOC的面积为（x2y1-x1y2）．

（2）连接OB．

则有S四边形OABC=S△OAB+S△OBC

=(7×5-2×7)+(9×7-7×1)

=38.5．

∴四边形OABC的面积为38.5．

【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形的性质．需要掌握点的坐标的意义以及与图形相结合的解题方法．