八年级数学 培优竞赛 专题23 面积的计算 讲义学案

专题23  面积的计算

例1．22  提示：连接AF．

例2．选C 提示：连接DE．

例3． 提示：连接GA，HB，EC，FD，AC，BD，则

，同理，

故，同理.

例4． 提示：过E作EF∥BC交AB于F，△AEF≌△ADE≌△ADQ，又△AED∽△PEC，

则，积AD·CE=PC·DE．

例5． 提示：（1）（0≤x≤4）

（2），当x=2时，S最大值=6.

例6．（1）如图，分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1．

．

同理，，

故．

（2）.

A级

1．54cm   2．18cm   3．32   4．315  5．C

6．C  7．D  8．C

9．提示：当正方形ABCD 与正方形A’B’C’D’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的；转动后，两者重合面积仍为定值．

10． 提示：过A、K、B分别作CD的垂线．

11．（1）结论仍然成立，证明略．

（2）

12．（1）略 （2）△ACA’∽△BCB’    （3）120°，

B  级

1．  2．256  3．

4．  提示：S梯形ABCD=

5．B  6．C  7．D  8．（1）略 （2）10

9．提示：（1）当t=4时，Q与B重合，P与D重合，如图a，重合部分是△BDC，

S△BDC=．

（2）①当4≤t≤6时，如图b，BQ=t－4，CR=6－4，

由△PQR∽△BQM∽△CRN，

得＝()2＝()2，

∴S＝S△PQR－S△BQM－S△CRN＝．

当t＝5时，S最大值＝．

②当6＜t≤10时，如图c，BR＝10－t，BK⊥RK，且∠KRB＝30°，所以BK＝BR＝(10－t)，KR＝(10－t)，S＝BK·KR＝(10－t)2．

当t＝6时，S最大值＝2．

综合①②，当t＝5时，S最大值＝．

10．提示：（1）S＝2cm2；S＝2cm2．

（2）当0＜x≤4时，如图a，DG＝AD＝x，AE＝EF＝x＋2，

S＝＝2x＋2cm2．

（3）当4＜x＜10时，应分两种情况进行讨论：

①当4＜x＜6时，如图b，DG＝AD＝x，EF＝BE＝12－x－2＝10－x，S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF＝－x2＋10x－14＝－(x－5)2＋11，故当x＝5时，S最大值＝11．

②当6≤x＜10时，如图c，BD＝DG＝12－x，EF＝BE＝10－x，S＝22－x，当x＝6时，S最大值＝10．

综上所述，4＜x＜10时，S的最大值为11cm2．

11．∵∠HBD＝∠HAE，∴Rt△BDH∽Rt△ADC．

∴．又BD＝DC＝BC，

∴AD·HD＝BD·DC＝BC2．

∴S△ABC·S△HBC＝(AD·BC)(HD·BC)＝BC4．而BC是不变的，∴当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．

12．（1）（2）略

（3）如图，存在符合条件的直线l．过点D作DA⊥OB于A，则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心．

∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．

易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将△DOA的面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，直线PH即为所求直线l．

设直线PH的表达式为y＝kx＋b，且点P(4，2)，

∴2＝4k＋b，即b＝2－4k，∴y＝kx＋2－4k．

∵直线OD的表达式为y＝2x，

∴，解得，

∴点H的坐标为(，)．

∴PH与线段AD的交点F的坐标为(2，2－2k)，

∴0＜2－2k＜4，∴－1＜k＜1．

∴S△DHF＝(4－2＋2k)·(2－)＝××2×4，解得k＝(k＝不合题意，舍去)．∴b＝8－2，∴直线l的表达式为y＝x＋8－2．