山东省滨州市经开一中2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

这是一份山东省滨州市经开一中2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省滨州市经开一中九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列图形：

任取一个是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
2．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，添加下列条件中的一个，不能判断△CBD∽△CAB的是（　　）

A．∠A＝∠DBC B． C．∠BDC＝∠ABC D．
3．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
4．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
5．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2
8．半径相同的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　　）
A．：1 B．3：2：1 C．3：4：6 D．：1
9．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
10．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有（　　）

A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　 　．
14．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
15．已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
16．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　．

17．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为　 　．

18．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　 　米．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

21．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　 　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
22．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列图形：

任取一个是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】由共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，
∴任取一个是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，添加下列条件中的一个，不能判断△CBD∽△CAB的是（　　）

A．∠A＝∠DBC B． C．∠BDC＝∠ABC D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠C＝∠C，∠A＝∠DBC，∴△CBD∽△CAB，故本选项不符合题意；
B、根据∠C＝∠C，＝，不能判断△CBD∽△CAB，故本选项符合题意；
C、∵∠C＝∠C，∠BDC＝∠ABC，∴△CBD∽△CAB，故本选项不符合题意；
D、∵∠C＝∠C，＝，∴△CBD∽△CAB，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
3．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+m＝2021，m+n＝﹣1，再将其代入m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）中即可求出结论．
解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m2+m＝2021，m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2021+（﹣1）＝2020．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出“m2+m＝2021，m+n＝﹣1”是解题的关键．
4．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，a≠0，继而可求得a的范围．
解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
5．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC＝AC′，又因为∠CAC′＝90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∵∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A＝45°．
∵∠CC′B′＝32°，
∴∠C′B′A＝∠C′CA+∠CC′B′＝45°+32°＝77°，
∵∠B＝∠C′B′A，
∴∠B＝77°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
8．半径相同的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　　）
A．：1 B．3：2：1 C．3：4：6 D．：1
【分析】设圆的半径为R，根据正三角形、正四边形、正六边形的性质用R表示出它们的边长，计算即可．
解：设圆的半径为R，
如图1，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC＝30°，BD＝DC，
∴BD＝OB•cos30°＝R，
∴BC＝2BD＝R；
如图2，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
∴2BE2＝OB2，即BE＝R，
∴BC＝R；
如图3，连接OA、OB，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R＝：：1．
故选：A．

【点评】本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，从而可求阴影部分的面积，根据米粒落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．
解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为2cm、cm．
∴大正方形的边长为＝3（cm）．
则大正方形的面积为＝27，
阴影部分的面积为27﹣12﹣3＝12（cm2）．
则米粒落在图中阴影部分的概率为＝．
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
10．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】根据图象可以知道一次函数y1＝k1x+b和反比例函数（k1•k2≠0）的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．
解：如图，依题意得一次函数y1＝k1x+b和反比例函数（k1•k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x＝﹣2或x＝1，
若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，
x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有（　　）

A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
④∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝9，故③错误；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝，故①正确；
∵S△AEF＝3，
∴＝（）2＝，
∴S△BCE＝27；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9，故③错误；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，
则△ABO与△CDO的相似比为，
∵点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
14．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．
【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
15．已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　y2＞y1＞y3　．
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向下；利用y随x的增大而减小，可判断y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可判断y1＞y3；于是得出答案．
解：B（2，y2），C（5，y3），在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵2＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，A（﹣1，y1）中，与D（3，y）对称，可得y1＞y3，
故y2＞y1＞y3，
故答案是：y2＞y1＞y3．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
16．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　．

【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
17．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为　9　．

【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝3，S矩形OEBF＝k，根据平行线分线段成比例定理证得AB＝2OD，即OE＝3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AFOD＝3，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB∥OD，
∴＝＝，
∴AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，
∴k＝9，
故答案是：9．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
18．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　8　米．

【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
解：（1）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x+4＝3，
∴（2x﹣2）2＝3，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝
（2）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0
∴x1＝5，x2＝；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A1的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A2的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积．
解：（1）如右图所示，
点A1的坐标是（﹣4，1）；
（2）如右图所示，
点A2的坐标是（1，﹣4）；
（3）∵点A（4，1），
∴OA＝，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．

【点评】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）由AB为直径，可得∠ACB＝90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从而∠ODB＝90°．由OB＝OE得∠OEB＝∠OBE，又∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，得∠P＝∠OBD．又∠BOD+∠OBD＝90°，从而可得∠BOD+∠P＝90°，即∠OBP＝90°．则可证PB为⊙O切线；
（2）由（1）可得OD＝1，从而PO＝7，可证明△BDP∽△OBP，从而得比例，解得BP＝，最后由勾股定理可求半径OB．
解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．

【点评】本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；
（3）PD＝HPsin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4，即可求解．
解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），
PD＝HPsin∠PHD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，
∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，
此时点P（2，﹣6）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键．