2022-2023学年山东省滨州市博兴县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市博兴县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中是中心对称图形的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. x2+1=2xB. x2+2=0C. x2−2x=8D. x2−3x=0
3.对于二次函数y=3(x−2)2+1的图象，下列说法正确的是( )
A. 顶点坐标是(2,1)B. 对称轴是直线x=−2
C. 开口向下D. 与x轴有两个交点
4.如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是( )
A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°
5.我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件.若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是( )
A. 2(1+x)=2.88B. 2(1+2x)=2.88
C. 2(1+x)2=2.88D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=2.88
6.将抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，则两次平移后所得抛物线的解析式为( )
A. y=2(x+3)2+5B. y=2(x+3)2−5
C. y=2(x−3)2+5D. y=2(x−3)2−5
7.如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为
( )
A. (3,2)B. (3,−1)C. (2,−3)D. (3,−2)
8.在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为( )
A. 3B. 9C. 32D. 2
9.在反比例函数y=−3x图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，若x1<0A. y310.一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8)、B(10,2)若以原点O为位似中心，将线段AB缩短为原来的12后得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标为( )
A. (3,4)B. (3,4)或(−3,−4)
C. (4,3)D. (4,3)或(−4,−3)
12.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是(0,3)、(3,0).∠ACB=90°，AC=2BC，则函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 92B. 9C. 278D. 274
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.一元二次方程x2−5x=0的解为______．
14.在正面分别写有数字0、|−3|、−2、 9、−5的五张卡片翻扣在桌面上，其背面形状、大小、颜色均完全相同.现从中任意抽取一张，那么抽到非负数的概率是______ ．
15.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为______．
16.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)、B(4,6)，那么此抛物线的对称轴是______ ．
17.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转44°得到△AB′C′，连接C′C，若C′C/​/AB，则∠CAB′的大小为______ ．
18.如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______ 秒钟，△PBQ与△ABC相似．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程：x2−4x−3=0．
(2)用公式法解方程.3x2+8x−4=0．
20.(本小题10分)
甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是______；
(2)随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A(−1,2)、点B(−4,n)
(1)求此一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
22.(本小题10分)
某商店购进一种商品，每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的售量y(件)与每件销售价x(元的关系数据如下：
(1)已知y与x之间满足一次函数关系，根据上表求y与x之间的关系式(不必要写出自变量x的取值范围)；
(2)如果商店销售这种商品每天要获得的利润为192元，那么每件商品的销售价应定为多少元？
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元)，求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
23.(本小题10分)
如图，AB为⊙O直径点E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D，直线CD与射线AB交于点P．
(1)求证：直线DC为⊙O切线；
(2)若线段DC=2，AC=2 5，求⊙O半径长．
24.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(−9,10)，AC/​/x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：线段是中心对称图形；等边三角形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；圆是中心对称图形；
则是中心对称图形的有3个．
故选：C．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形的概念．注意：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、x2+1=2x变形为x2−2x+1=0，此时Δ=4−4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A，符合题意；
B、x2+2=0中Δ=0−8=−8<0，此时方程无实数根，故选项B，不符合题意；
C、x2−2x=8整理为x2−2x−8=0，此时Δ=4+32=36>0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项，不符合题意；
D、x2−3x=0中，Δ=9>0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D，不符合题意
故选：A．
根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、顶点坐标是(2,1)，说法正确；
B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；
C、开口向上，故原题说法错误；
D、与x轴没有交点，故原题说法错误；
故选：A．
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标(h,k)，对称轴为x=h．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．
【解答】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°−40°−40°=100°，
∴∠A=12∠BOC=50°．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数×月平均增长率×月平均增长率，可得方程：2(1+x)2=2.88．
故选：C．
根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数×月平均增长率×月平均增长率，即可解出此题．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y=2x2先向左平移3个单位得到的抛物线解析式为y=2(x+3)2，
再向下平移5个单位得到的抛物线解析式为y=2(x+3)2−5．
故选：B．
根据二次函数平移的规律即可求解
本题主要考察二次函数与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP′Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O=90°，∠QOQ′=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】
解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P(2,3)，
∴PQ=2，OQ=3，
∵点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP′Q′，
∴∠P′Q′O=90°，∠QOQ′=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，
∴点P′的坐标为(3,−2)．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵AE=2ED，∴AD=3ED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3ED，AD//BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴BFDF=CFEF=BCED=3EDED=3，
∴BF=3DF，CF=3EF，
∴△BCF的周长△DEF的周长=BC+BF+CFDE+DF+EF=3(DE+DF+EF)DE+DF+EF=3，
故选：A．
由平行四边形的性质得出BC=AD=3ED，AD//BC，证明△BCF∽△DEF，得出BFDF=CFEF=BCED=3EDED=3，证出BF=3DF，CF=3EF，由相似三角形的性质即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵A(x1,y1)在反比例函数y=−3x图象图象上，x1<0，
∴y1>0，
对于反比例函数y=−3x，在第四象限，y随x的增大而增大，
∵0∴y2∴y2故选：C．
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：观察函数图象可知：a<0，b>0，c<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a<0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a<0、b>0、c<0是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段A′B′，
∴端点A′的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A(6,8)，
∴端点A′的坐标为(3,4)；
若在第三象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段A′B′，同理可得端点A′的坐标为(−3,−4)．
故选：B．
利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出A′点坐标．
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定等，将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．根据A、C的坐标分别是(0,3)、(3、0)可知OA=OC=3，进而可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是(0,3)、(3、0)，
∴OA=OC=3，
在Rt△AOC中，AC= OA2+OC2=3 2，
又∵AC=2BC，
∴BC=3 22，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，
∴CD=BD=3 22× 22=32，
∴OD=3+32=92
∴B(92,32)代入y=kx得：k=274．
故选D．
13.【答案】x1=0，x2=5
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
【解答】
解：x(x−5)=0，
x=0或x−5=0，
所以x1=0，x2=5．
故答案为x1=0，x2=5．
14.【答案】35
【解析】解：|−3|=3， 9=3
∴0、|−3|、−2、 9、−5中非负数有三个，
∴抽到非负数的概率是35，
故答案为：35．
先化简绝对值，计算算术平方根，然后根据概率公式进行计算即可求解．
本题考查了化简绝对值，算术平方根，根据概率公式求概率，掌握以上知识是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵∠A=120°，
∴∠ODC=180°−∠A=60°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠DOC=180°−2×60°=60°，
∴∠P=90°−∠DOC=30°；
故答案为：30°．
连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°−∠A=60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=60°，求出∠DOC=60°，由直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】直线x=2
【解析】解：∵点A(0,6)、B(4,6)的纵坐标都是6，
∴抛物线的对称轴为直线x=0+42=2，
故答案为：直线x=2．
先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
本题考查二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上的两点坐标的关系是解答本题的关键．
17.【答案】24°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转44°得到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠CAC′=44°，∠BAC=∠B′AC′
∴∠C′CA=∠CC′A=180°−44°2=68°，
∵C′C//AB，
∴∠BAC=∠C′CA=68°，则∠BAC=∠B′AC′=68°，
∴∠CAB′=∠B′AC′−∠CAC′=24°，
故答案为：24°．
根据旋转的性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C′CA的度数，再由平行线的性质即可得到∠BAC的大小，进而可得∠B′AC′，利用和差关系即可得结果．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18.【答案】2或5
【解析】解：设P、Q运动时间为t秒，
根据题意，AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(10−t)cm，
当△PBQ∽△ABC时，则BPAB=BQBC，
即10−t10=2t20，
解得：t=5；
当△QBP∽△ABC时，则BPBC=BQAB，
即10−t20=2t10，
解得：t=2，
综上，当经过2或5秒钟，△PBQ与△ABC相似．
故答案为：2或5．
分△PBQ∽△ABC和△QBP∽△ABC两种情况解答即可．
本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键．
19.【答案】解：(1)移项得，x2−4x=3．
配方得，x2−4x+22=3+22，(x−2)2=7，
∴x−2=± 7，
∴原方程的解为x1=2+ 7，x1=2− 7．
(2)∵a=3，b=8，c=−4，
∴Δ=b2−4ac=82+4×3×4=112>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x=−b± b2−4ac2a=−8± 1126，
即x1=−43+4 73，x2=−43−4 73．
【解析】(1)利用配方法进行解方程即可；
(2)利用公式法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)13；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率=612=12．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=13；
故答案为13；
(2)见答案．
21.【答案】解：(1)将点A(−1,2)代入y=mx中，2=m−1；
∴m=−2．
∴反比例函数解析式为y=−2x.(2分)
将B(−4,n)代入y=−2x中，n=−2−4；
∴n=12．
∴B点坐标为(−4,12).(3分)
将A(−1,2)、B(−4,12)的坐标分别代入y=kx+b中，
得−k+b=2−4k+b=12，解得k=12b=52．
∴一次函数的解析式为y=12x+52；
(2)当y=0时，12x+52=0，x=−5；
∴C点坐标(−5,0)，∴OC=5．
S△AOC=12⋅OC⋅|yA|=12×5×2=5．
S△BOC=12⋅OC⋅|yB|=12×5×12=54．
S△AOB=S△AOC−S△BOC=5−54=154．
【解析】(1)先根据点A求出k值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式；
(2)利用三角形的面积差求解．S△AOB=S△AOC−S△BOC=5−54=154．
主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=kx中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
22.【答案】解：(1)设该函数的表达式为y=kx+b，
根据题意，得40=30k+b36=32k+b，
解得k=−2b=100，
故该函数的表达式为y=−2x+100；
(2)根据题意，得(−2x+100)(x−30)=192，
解这个方程，得x1=38，x2=42，
故每件商品的销售价定为38元或42元时日利润为192元；
(3)根据题意，得w=(−2x+100)(x−30)=−2x2+160x−3000=−2(x−40)2+200，
∵a=−2<0，则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=40时，w的值最大，
∴当销售单价为40元时获得的利润最大．
【解析】(1)设一次函数解析式，将表格中任意两组x，y值代入解出k，b，即可求出该解析式；
(2)利润等于单件利润乘以销售量，而单件利润又等于每件商品的销售价减去进价，从而建立每件商品的销售价与利润的一元二次方程求解；
(3)将w替换上题中的192元，建立w与x的二次函数，化成一般式，看二次项系数，讨论x取值，从而确定每件商品销售价定为多少元时利润最大．
本题考查了一次函数的应用，一元二次方程，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的知识．
23.【答案】解(1)如图，连结OC，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC/​/AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴DC为⊙O切线．

(2)如图，连结BC，
在Rt△ACD中，CD=2，AC=2 5，
∴AD= AC2−CD2=4，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AD，
则∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD～Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
即2 5：AB=4：2 5，
∴AB=5，
∴⊙O半径长为52．

【解析】(1)连结OC，然后证明OC//AD，可推得OC⊥CD，即可证明结论．
(2)连结BC，根据勾股定理求出AD，最后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质和勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，
∴c=127−9b+c=10，
解得b=2c=1，
∴抛物线的解析式为y=13x2+2x+1，
(2)∵AC//x轴，A(0,1)
∴13x2+2x+1=1，
∴x1=−6，x2=0，
∴点C的坐标(−6,1)，
∵点A(0,1).B(−9,10)，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
设点P(m,13m2+2m+1)
∴E(m,−m+1)
∴PE=−m+1−(13m2+2m+1)=−13m2−3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
=12AC×EF+12AC×PF
=12AC×(EF+PF)
=12AC×PE
=12×6×(−13m2−3m)
=−m2−9m
=−(m+92)2+814，
∵−6∴当m=−92时，四边形AECP的面积的最大值是814，
此时点P(−92,−54).
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)设点P(m,13m2+2m+1)，表示出PE=−13m2−3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=12AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，几何图形面积的求法(用割补法)，解本题的关键是求函数解析式．x
30
32
33
34
y
40
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