山东省滨州市滨城区滨城区第三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

山东省滨州市滨城区滨城区第三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ）

A． B． C． D．

2．二次函数的图像的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

4．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

5．点在反比例函的图象上，则下列说法正确的是（    ）

A．函数图象位于第一、三象限 B．函数随的增大而增大

C．函数的图象经过点 D．函数的图象关于原点对称

6．如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ）

A． B． C． D．

7．如图，点分别在上，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．在解方程时，对方程进行配方，两位同学提供了如下两种方案．

对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ）

A．只有方案Ⅰ正确 B．方案Ⅰ、Ⅱ正确，方案III不正确

C．方案Ⅰ、III正确，方案Ⅱ不正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ、III都正确

9．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

10．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）

A． B． C．D．

11．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ）

A．与的函数关系式是

B．当时，

C．当时，

D．当时，的取值范围是

12．如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，且交于点．下列结论： 平分； ；当时，四边形的周长最大；当，四边形的面积为，正确的有（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知点与点是关于原点O的对称点，则___________．

14．是方程的一个根，则它的另一个根是__________．

15．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，则的度数为____．

16．如图，半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________．

17．如图，已知点，，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________

18．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．

三、解答题

19．解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

20．如图，点是正方形内的一点，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，的长为2．

(1)求的长；

(2)若，，求的度数．

21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．

(1)根据函数图象可知，当时，的取值范围是__________________；

(2)求反比例函数和一次函数的解析式；

(3)点是轴上一点且的面积为15，求点的坐标．

22．如图，是的直径，是弦，直线经过点C，于点D，．

(1)求证：是的切线；

(2)求证：；

(3)若的半径为6，，求图中阴影部分的面积．

23．东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

(1)以作为点的横坐标，作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，试求与的函数关系式；

(2)如果这种运动服的进价为每件50元，试求当卖出价格（元/件）为多少时，该商场的销售利润（元）达到最大，最大利润为多少？

24．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

参考答案

1．A

【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

【详解】A.是中心对称图形，符合题意；

B.不是中心对称图形，故不符合题意；

C.不是中心对称图形，故不符合题意；

D.不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．

2．B

【分析】根据二次函数表达式为，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数的图像的顶点坐标是，从而得到答案．

【详解】解：二次函数解析式的顶点式为，

二次函数图像的顶点坐标是，

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键．

3．D

【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可得出答案．

【详解】解：根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，

所以把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式为：，

故选：D．

【点睛】本题考查了抛物线图象的平移，熟记平移的规则：左加右减，上加下减，是答题的关键．

4．A

【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．

【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，

∴，

∴，

故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．

5．D

【分析】根据反比例函数图象的性质对进行判断，根据反比例函数图象上点的坐标特征对进行判断．

【详解】解：点在反比例函的图象上，

，

A. ，图象位于第二、四象限，故A错误，不符合题意；

B. ，图象在每一象限内在每一象限内随的增大而增大，故B错误，不符合题意；

C.点不在反比例函数的图象上，故C错误，不符合题意；

D. 函数的图象关于原点对称，故D说法正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．

6．A

【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得，即可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可进行解答．

【详解】解：∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】本题主要考查了圆的相关内容，解题的关键是熟练掌握：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．

7．C

【分析】利用两角相等的两个三角形相似即可得到，然后利用相似三角形的性质进行计算即可得到答案．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

8．D

【分析】根据等式的基本性质，进行判断即可．

【详解】解：三个方案的每一步，都有等式的基本性质作为依据，且最后都可以用直接开方法解方程，因此，三个方案都正确；

故选D．

【点睛】本题考查配方法．熟练掌握等式的基本性质，以及配方法，是解题的关键．

9．B

【分析】设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等圆圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．

【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，

根据题意得：，

解得：，

即该圆锥的侧面展开图的圆心角为，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线．

10．C

【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．

【详解】解：A．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项错误；

B．由抛物线不过原点，故本选项错误；

C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项正确；

D．由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．

11．C

【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．

【详解】解：设与的函数关系式为：，

该图像经过点，

，

，

与的函数关系式是，故选项A不符合题意；

当时，，解得，故选项B不符合题意；

，随的增大而减小，

当时，，故选项C符合题意；

当时，的取值范围是，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．

12．B

【分析】证明，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明正确；当时，四边形的周长最大，可判断正确；如图1，连接并延长交于，根据垂径定理可得，则，利用面积和可得四边形的面积，可知不正确．

【详解】解： 等腰内接于圆，是的直径，

，

，

，

平分，

故正确；

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

故正确；

，

当最大时，四边形的周长最大，

当时，四边形的周长最大，

故正确；

如图1，连接并延长交于，

在Rt中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形的面积，

故不正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键．

13．2

【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可求得结果．

【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点，

∴，

∴．

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．

14．1

【分析】将代入其方程求出m，再根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可．

【详解】解：将代入得，

解得，

∴方程为，

∵是该方程的一个根，设另一个根为，

∴，

∴，

故答案是：1．

【点睛】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，准确记住公式是解题关键．

15．##36度

【分析】连接，利用中心角的计算公式求出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可得解．

【详解】解：连接，正五边形内接于，

则：，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查正多边与圆．熟练掌握求中心角的度数的公式，以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键．

16．3

【分析】连接，先根据相似三角形的判定证明，可得，从而推出，即可得到答案．

【详解】解：如图所示，连接，

半圆与四边形的边都相切，切点分别为，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．

17．或

【分析】根据以为位似中心的位似变换的性质计算即可．

【详解】解: 以点为位似中心，按的比例把缩小，,

点的对应点的坐标为: 或,

即或,

故答案为: 或．

【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，比例为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

18．11

【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案．

【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

同理可得：，，

点在反比例函数上，

，

点在反比例函数上，

，

平行四边形的面积为：，

故答案为：11．

【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．

19．(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

【分析】（1）先移项和化系数为1，在用直接开平方法解方程即可；

（2）将原方程因式分解，即可得到方程的解；

（3）先将原方程进行整理，再对方程进行因式分解，即可算出答案；

（4）先移项，再采取提公因式法，解得方程的答案即可．

【详解】（1）解：移项得：，

化系数为1得：，

解得：，，

故答案为：，；

（2）解：因式分解得：，

或，

解得：，，

故答案为：，；

（3）解：将原方程整理得：，

因式分解得：，

或，

解得：，，

故答案为：，；

（4）解：移项得：，

提取公因式得：，即，

或，

解得：，，

故答案为：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择合适的解法去解一元二次方程是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质即可求解；

（2）由勾股定理的逆定理可求得，从而即可得到．

【详解】（1）解：绕点顺时针旋转得到，

，

为等腰直角三角形，

设，

则，

解得：，

故答案为：；

（2）解：绕点顺时针旋转得到，

，，

在中，，，

，

，

为直角三角形，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键．

21．(1)或

(2)，

(3)或

【分析】（1）根据函数图象，得出直线在反比例函数下方时的取值范围即可；

（2）分别将点和点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，确定出反比例函数的解析式，再将点和点的坐标代入一次函数解析式中即可求出一次函数解析式；

（3）设直线与轴交于点，可求出点的坐标，再根据，进而得出点的坐标即可．

【详解】（1）解：由图象可知，当，的取值范围是或，

故答案为：或；

（2）解：点和在反比例函数图象上，

，

解得：，

，，

反比例函数的解析式为：，

将点和点的坐标代入得

，

解得，

一次函数解析式为：，

故答案为：，；

（3）解：设直线与轴交于点，

则当时，解得，

点坐标为：，

，

，

，

点坐标为：或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的数学思想是解题的关键．

22．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)阴影部分的面积为

【分析】（1）连接，根据，得，得，得得证；

（2）证，对应边成比例，从而得证；

（3）先计算梯形的面积，再减去扇形的面积即得解．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是半径，

∴是的切线．

（2）证明：如图，连接，

∵是直径，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

在中，，

∴，

∴

．

【点睛】此题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，梯形的性质，扇形的面积等，能否熟练运用性质进行推理与计算是解题的关键．

23．(1)图见详解，

(2)当时，取得最大值，最大值为9000元

【分析】（1）根据表格描点、连线作出图象即可，根据画出的图象，易知是一次函数关系，由其中两点即可求出函数关系式；

（2）根据利润的计算方法求关系式，再运用函数的性质求出最值即可．

【详解】（1）解：根据题意，描点、连线画出图形如图所示，

观察图形可知：与是一次函数关系，

设，将和代入解析式得：

，

解得：，

与的函数关系式为：，

故答案为：；

（2）解：根据题意可得：

，

当时，取得最大值，最大值为9000元．

【点睛】本题考查了求一次函数的解析式和二次函数求最值，熟练掌握用待定系数法求解析式和将二次函数化成顶点式求最值是解题的关键．

24．(1)

(2)不存在，理由见解析

(3)，，

【分析】（1）根据待定系数法求解即可；

（2）假设成立，设，其中，根据建立关于t的方程，然后求解即可；

（3）先求直线解析式，设， ，由知，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只有，然后分两种情况：①；②或讨论即可．

【详解】（1）解：∵抛物线过点C（0，4），

∴①．

∵对称轴，

∴②．

∵抛物线过点，

∴③，

由①②③解得，，，，

∴抛物线的解析式为；

（2）解∶ 假设存在满足条件的点F，如图所示，连接、、，过点F作轴于点H，轴于点G．

设点F的坐标为，其中，

则，，

∴，

，

∴．

令，

即，

则，

∴方程无解，

故不存在满足条件的点F；

法二∶ ∵，，

∴，

过F点作x轴垂线，交于H，设F，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程无解，

故不存在满足条件的点F；

（3）解∶设直线的解析式为，

∵，，

∴，

解得，

∴直线的解析式为．

由，

∴顶点，

又点E在直线上，则点，

于是．

若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为，只须，

设点P的坐标是，则点Q的坐标是．

①当时，，

由，

解得：或3．

当时，线段与重合，舍去，

∴，．

②当或时，，

由，

解得，经检验适合题意，

此时，．

综上所述，满足题意的点P有三个，分别是，，．

法二：

∵，

∴当时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

设点P的坐标是，则点Q的坐标是．

∴，

∴或，

∴，，，，

经检验，当时，线段PQ与DE重合，故舍去．

∴，，．

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法，解方程组，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．