2023年陕西省西安市经开一中中考数学二模试卷(含解析)

2023年陕西省西安市经开一中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，为菱形的对角线，已知，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知矩形中，为边上一点，于点，且，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  神舟十五号载人飞船于北京时间月日时分发射成功．它的飞行速度约每秒千米，每小时约飞行
公里，每分钟绕地球一圈．数用科学记数法可表示为______．

9.  如图，在正五边形中，连接，则的度数为______．

10.  数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为        ．

11.  如图，点是双曲线上的一点，点在轴上，且，，若，则______．

12.  如图，有一块四边形的铁板余料，经测量，，，且，若要从这块余料中裁出顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

13.  化简：

14.  某服装厂每天生产、两种品牌的服装共件，、两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产种品牌服装件，每天两种服装获利元．

请写出关于的函数关系式；
如果服装厂每天至少投入成本元，那么每天至少获利多少元？

四、解答题（本大题共11小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
如图，已知，请在边上求作一点，使点到点、的距离相等．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，，，点在上，且，求证：．

19.  本小题分
某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买，两种类型垃圾桶，用元可购进型垃圾桶个和型垃圾桶个，且购买个型垃圾桶的费用与购买个型垃圾桶的费用相同，求出型垃圾桶和型垃圾桶的单价．

20.  本小题分
现有、两个不透明的袋子，各装有三个小球，袋中的三个小球上分别标记数字，，；袋中的三个小球上分别标记数字，，这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为______；
分别将、两个袋子中的小球摇匀，然后从、袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率．

21.  本小题分
如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，已知米，小宏在点测得点的仰角为，再向教学楼前进米到达点，测得点的仰角为，若小宏的身高米，不考虑其它因素，求教学楼的高度结果精确到米参考数据：，，．

22.  本小题分
为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图图一和扇形统计图图二：

根据以上信息回答下列问题：
求        ，并补全条形统计图．
这组数据的众数        、中位数        ．
若该校共有名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于小时的人数．

23.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，，垂足为，平分．
判定直线与的位置关系，并说明你的理由；
若，，求圆的半径．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线，，三点．
求该抛物线的表达式与顶点坐标；
点在轴上，点在抛物线上，要使、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点的坐标．

25.  本小题分
【问题提出】如图，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则______，半径的长为______；
如图，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
求的度数；
连接，若正方形的边长为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形中间有一个圆．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项正确；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：．
直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

5.【答案】 

【解析】解：经过点，
，
解得：，
，
关于的不等式的解集是，
故选：．
首先利用待定系数法求出点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，
，，是的角平分线，
．
是的高线，
，
，
．
故选：．
在中，先根据角平分线的定义求出的度数，再根据是的高线可得出的度数，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，，
是等腰三角形，
．
故答案为：．
根据正五边形的性质得出和的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
．
故答案为：
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
作于点，

，
，
，
点的坐标为，
是双曲线上一点，
．
故答案为：．
利用余弦值可求得的长，作于点，利用的余弦值可求得长，利用正弦值可求得长，即为点的横坐标，那么等于点的横纵坐标的积．
解决本题的关键是利用相应的特殊的三角函数值得到点的坐标；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，延长、交于点，过点作于点，
交于点，如图，设矩形，

，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
设，
则，
当时，最大值为，
所以当时，矩形的最大面积为，
答：该矩形的面积为．
故答案为：．
延长、交于点，过点作于点，中位线的两端点在线段、上，在中，设，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，由∽，设，则，可得当时，最大值为，进而可得矩形的最大面积．
本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式
． 

【解析】本题考查的是分式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算，得到答案．
 

14.【答案】解：种品牌服装件，则种品牌服装件，依题意，得
；

种品牌服装件，则种品牌服装件，依题意，得
，解得，
每天至少获利 

【解析】种品牌服装件，则种品牌服装件；利润种品牌服装件数种品牌服装一件的利润种品牌服装件数种品牌服装一件的利润，列出函数关系式；
种品牌服装件，则种品牌服装件；成本种品牌服装件数种品牌服装一件的成本种品牌服装件数种品牌服装一件的成本，列出不等式，求的值，再代入求利润．
本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会用函数和不等式解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：



． 

【解析】先算零指数幂，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，再去绝对值符号，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上，根据数轴求得不等式的解集即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出结论．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：设型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元． 

【解析】设型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元，根据“用元可购进型垃圾桶个和型垃圾桶个，且购买个型垃圾桶的费用与购买个型垃圾桶的费用相同”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，
摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：连接并延长交于，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
设，
，
在中，
，
，
，
在中，，
，
，，
答：教学楼的高度是米． 

【解析】连接并延长交于，在中，求得，在中，，于是得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：名，小时的人数名．
条形图如图所示：

故答案为：；
这组数据的众数、中位数是．
故答案为：，；
名．
答：估计该校学生课外阅读时间不低于小时的人数约为名．
根据小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出小时的人数，画出条形图；
根据中位数，众数的定义判断即可；
用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：直线与相切，理由如下：
连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
点在上，
直线与相切；
连接，
为的直径，
，
，
，
，
∽，
：：，
，，
，
圆的半径为． 

【解析】根据，可得，根据角平分线的定义可得，进一步可证，所以，即可确定直线是圆的切线；
根据圆周角定理可知，可证∽，根据相似三角形的性质可得的长，进一步可得圆的半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，圆周角定理，与圆有关的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
 

24.【答案】解：设该抛物线的表达式为根据题意，
得：，
解之得，
所求抛物线的表达式为．
，，
顶点坐标为；
为边时，只要且即可．
又知点在轴上，
点的横坐标为或，这时符合条件的点有两个，分别记为，．
而当时，；
当时，，
此时、．
当为对角线时，只要线段与线段互相平分即可，
又知点在轴上，点横坐标为，且线段中点的横坐标为，
由中点坐标公式，得点的横坐标为，这时符合条件的只有一个记为．
而且当时，此时，
综上，满足条件的为、、． 

【解析】设出抛物线的表达式为，由于抛物线经过，，三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出、、即可知解析式，利用解析式顶点坐标求顶点坐标即可．
要分类讨论是边还是对角线两种情况，为边时，只要且即可，进而求出点坐标，当为对角线时，只要线段与线段互相平分即可，进而求出点坐标．
本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．
 

25.【答案】   

【解析】解：过点作于点，如图，

，
．
，
．
，，
．
在中，
，
．
故答案为：；；
点是的内心，
平分，平分，
，．
，
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
，
；
作的外接圆，连接，，，过点作，交的延长线于点，如图，

设的半径为，则的最小值为．
由“定弦定角”模型可知：，，
优弧的度数为，
优弧所对的大圆心角为，
．
，
为等腰直角三角形，
．
．
四边形为正方形，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
．
，
的最小值为：．
过点作于点，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
利用三角形的内心的性质和直角三角形的性质，求得的度数，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得的度数，利用周角的定义即可求得结论；
作的外接圆，连接，，，过点作，交的延长线于点，设的半径为，则的最小值为；由“定弦定角”模型可知：，，可求得，利用等腰直角三角形的性质求出的半径，利用平行线的判定与性质得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得的长，则结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，三角形的外接圆的性质，三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，连接题干中的定义与性质并熟练应用是解题的关键．