第一章+第一课时+1.1.1+空间向量及其线性运算+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.1.1  空间向量及其线性运算

学习目标：

1．理解空间向量的概念．（难点）

2．掌握空间向量的线性运算．（重点）

3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．（重点、难点）

方法要点：

1．空间向量的概念问题

在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

2．利用数乘运算进行向量表示的注意点

（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．

3．向量共线的判定及应用

（1）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．

（2）判断或证明两向量，共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．

（3）判断或证明空间中的三点（如，，）共线的方法：是否存在实数，使＝；

4．解决向量共面的策略

（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

（2）证明三个向量共面方法：

①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面；

②寻找平面，证明这些向量与平面平行．

（3）证明空间四点，，，共面方法：

①；

②对空间任一点，；

③对空间任一点，；

④（或，或）．

典型例题：

题组一  向量概念的应用

例1  （1）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ）

A．方向相反的两个向量是相反向量

B．空间中任意两个单位向量必相等

C．若向量，满足，则

D．相等向量其方向必相同

（2）（多选）下列说法中正确的是（    ）

A．若，则，的长度相同，方向相同或相反

B．若向量是向量的相反向量，则

C．空间向量的加法满足结合律

D．任一向量与它的相反向量不相等

变式：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．

①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

②平行且模相等的两个向量是相等向量；

③若，则；

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

题组二  空间向量线性运算

例2  在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式．

（1）；

（2）．

变式：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A．     B．       C．       D．

题组三  向量共线判定及应用

例3  如图所示，已知四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是梯形．

变式：（1）已知，，三点共线，为直线外空间任意一点，若，则________．

（2）如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．求证：，，三点共线．

题组三  向量共面的判定

例4  已知，，三点不共线，平面外一点满足．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断是否在平面内．

变式（1）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：向量，，共面．

（2）已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，求证：

①，，，四点共面；

②平面．

当堂检测：

1．设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（    ）

A．空间四边形        B．平行四边形         C．等腰梯形          D．矩形

2．若空间中任意四点，，，满足，其中，则（    ）

A．直线

B．直线

C．点可能在直线上，也可能不在直线上

D．以上都不对

3．在下列条件中，使与、、一定共面的是（    ）

A．                   B．

C．                      D．

4．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（    ）

A．1                 B．0                  C．3                 D．

5．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．

参考答案

例1（1）答案  D

解析  A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D．

（2）答案  BC

解析  ，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量，故，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC．

变式：答案  ①

解析  根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当时，也有，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．

例2  解  （1）因为是的重心，所以，

所以，又因为，

所以由向量的加法法则，可知．

从而．

（2）如图所示，分别取，的中点，，连接，，

则四边形为平行四边形，且有，，而，，

所以．

变式答案  A

解析 

．

例3  证明  ∵，分别是，的中点，

∴，，

则

，

∴且．

又不在直线上，

∴四边形是梯形．

变式：（1）答案  1

解析  由于，，三点共线，所以存在实数，使得，即，

所以，所以，，

所以．

（2）证明  设，，，

因为，，

所以，，

所以，

，

所以

．

又，

所以，所以，，三点共线．

例4  解（1）∵，

∴，

∴，

∴向量，，共面．

（2）由（1）知，向量，，共面，而它们有共同的起点，且，，三点不共线，

∴，，，共面，即在平面内．

变式（1）证明  因为在上，且，

所以．

同理．

所以

．

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．

（2）证明  如图，连接，．

①因为，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即，，，四点共面．

②因为，所以．

又平面，平面，所以平面．

当堂检测：

1．【答案】B

【解析】

【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形．

【详解】由已知得，即，是相等向量，因此，的模相等，方向相同，即四边形是平行四边形．故选B．

【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．

2．【答案】A

【解析】

【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点，即可判断得解．

【详解】因为，所以，

所以，

即，

即，所以与共线．

又，有公共起点，所以，，三点在同一直线上，即直线．

故选：A

3．【答案】C

【解析】

【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果．

【详解】空间的四点、、、四点共面，

只需满足，

且即可，

对于A，中，故此时四点、、、四点不共面；

对于B，中，此时四点、、、四点不共面；

对于C，，，

即，，此时四点、、、四点共面；

对于D，，则，，此时四点、、、四点不共面；

故选：C

【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可．

4．【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为，且，，，四点共面，所以必有，解得，故选D．

考点：空间向量的共面问题．

5．【答案】

【解析】

【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解．

【详解】若与共线，

则

因为非零向量，不共线，

所以，即，所以，

故答案为：