数学-2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（湖南长沙专用）

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2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（湖南长沙专用）

数学

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分的）

1．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：A是轴对称图形，其余都不是轴对称图形。

答案：A．

2．要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线，

所以至少要钉上3根木条．

答案：C．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，

∴∠CAE＝∠AEC＝45°，

∵∠BAE＝15°，

∴∠CAB＝60°，

∴∠B＝30°，

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD＝ADAB，

∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，

∴AC＝DC＝CE，

∴∠CDE＝∠CED（180°﹣30°）＝75°．

答案：B．

4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF

解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，

∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；

当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；

当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．

答案：D．

5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝36，且BD：DC＝8：4，则点D到AB边的距离为（　　）

A．18 B．12 C．14 D．16

解：∵BC＝36，BD：DC＝8：4，

∴CD12，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴D到边AB的距离＝CD＝12．

答案：B．

6．计算的结果是（　　）

A． B． C．1 D．x+1

解：原式．

答案：A．

7．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（　　）

A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2

解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，

则单项式M可以是﹣5b2．

答案：D．

8．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（　　）

A． B． 

C． D．

解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．

答案：D．

9．有一块长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形纸片，剪去一个长为2a+4，宽为b的小长方形，则剩余部分面积是（　　）

A．4ab﹣3a﹣2 B．6ab﹣3a+4b 

C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2

解：剩余部分面积：

（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）

＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b

＝4ab﹣3a﹣2；

答案：A．

10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．7

解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CADBAC＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE＝60°，

∠DEC＝∠BAC＝120°，

∴∠AED＝60°，

∴∠ADE＝∠AED，

∴△ADE是等边三角形，

∴AE＝AD＝3，

∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，

答案：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若分式有意义，则x满足的条件是　x≠﹣1　．

解：由题意得：x+1≠0，

解得：x≠﹣1．

答案：x≠﹣1．

12．计算m4•（﹣m）2•m＝　m7　．

解：原式＝m4•m2•m

＝m4+2+1

＝m7．

答案：m7．

13．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为18cm，则它的最短边的为　5cm　．

解：设三边长分别为xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，由题意得，

x+x+1+x+2＝18，

解得：x＝5，

∴x+1＝6，x+2＝7，

∴这个三角形的三边长依次为5cm，6cm，7cm，

∴最短边为：5cm，

答案：5cm．

14．已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　10　．

解：∵a2﹣b2+2b+9

＝（a+b）（a﹣b）+2b+9

又∵a+b＝1，

∴原式＝a﹣b+2b+9

＝a+b+9

＝10．

答案：10．

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°，则∠AEC＝　115°　．

解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°．

∵∠B＝50°，

∴∠BAD＝40°．

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAC＝50°．

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE∠DAC＝25°．

∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝115°．

答案：115°．

16．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为　6　cm．

解：作PC′⊥OB于C′，

则PC′为PC的最小值，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，

∴OP＝2DM＝12cm，

∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，

∴∠DOP＝30°，

∴PDOP＝6cm，

∵P是∠AOB角平分线上的一点，PD⊥OA，PC′⊥OB，

∴PC′＝PD＝6cm，

答案：6．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．分解因式：2x3+12x2y+18xy2．

解：2x3+12x2y+18xy2

＝2x（x2+6xy+9y2）

＝2x（x+3y）2．

18．解方程：0．

解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：

4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．

去括号得：

4x﹣4﹣3x﹣3＝0，

移项，合并同类项得：

x＝7．

检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，

∴x＝7是原方程的根．

∴x＝7．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，

∴∠CBD＝130°．

∵BE是∠CBD的平分线，

∴∠CBE∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，

∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．

∵DF∥BE，

∴∠F＝∠CEB＝25°．

20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．

（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）计算△ABC的面积．

解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．A1（﹣2，﹣1），B1（﹣4，﹣5），C1，（﹣5，﹣2）；

（2）△ABC的面积＝3×41×31×32×4＝5．

21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．

（1）求证：∠EBD＝∠EDB．

（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．

（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠CBD＝∠EBD，

∵DE∥BC，

∴∠CBD＝∠EDB，

∴∠EBD＝∠EDB．

（2）解：CD＝ED，理由如下：

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，

∴CD＝BE，

由（1）得，∠EBD＝∠EDB，

∴BE＝DE，

∴CD＝ED．

22．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．

（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？

（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？

解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，

依题意得：10，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是方程的解，

1.5x＝1.5×80＝120．

答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；

（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，

依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，

解得：m≤100，

答：最多可以购买100个篮球．

23．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．

（1）求证：△AEC≌△ADB．

（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．

（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．

理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴CE⊥BD．

24．先阅读下列解答过程，然后再解题．

例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．

解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），

则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．

比较系数得，解得∴m．

解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算了取x，

2×（）3﹣（）2+m＝0，故m．

（1）已知多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，求m的值．

（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．

解：（1）∵多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，

∴设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算取x＝﹣2，

2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24；

（2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），

∴设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算取x＝2和x＝1，

代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，

解得：m＝﹣5，n＝20．

25．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．

（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；

（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．

（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD；

（2）解：结论BC＝CE+CD不成立，猜想BC＝CE﹣CD，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；

（3）解：BC＝CD﹣CE，CE⊥BC，理由如下：

如图3所示：

同（1）得：△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，

∵∠ABD＝135°，

∴∠ACE＝135°，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，

∴CE⊥BC．