初中数学华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形2. 矩形的判定精品习题

华师大版数学八年级下册课时练习

19.1.2《矩形的判定》

一              、选择题

1.对角线相等且互相平分的四边形是(  　　)

A.一般四边形                     B.平行四边形                        C.矩形                       D.菱形

2.在▱ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是(    )

A.AB＝AD           B.OA＝OB             C.AC＝BD              D.DC⊥BC

3.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.如果再增加条件AC＝BD，此四边形一定是(　　)

A.正方形                      B.矩形                         C.菱形                        D.都有可能

4.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是(　　)

A.AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD

B.AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°

C.∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD

D.∠A＝∠B＝90°，AC＝BD

5.下列命题中，假命题是(　　)

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　)

A.AB＝BE                          B.BE⊥DC                     C.∠ADB＝90°                       D.CE⊥DE

7.下列关于矩形的说法中正确的是(　　)

A.对角线相等的四边形是矩形

B.矩形的对角线相等且互相平分

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.矩形的对角线互相垂直且平分

8.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)

A.4≥x＞2.4      B.4≥x≥2.4    C.4＞x＞2.4     D.4＞x≥2.4

二              、填空题

9.如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有(填写序号)　　　　　　．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.

当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.

11.如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是________．

12.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为____度时，四边形ABFE为矩形.

13.如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．

三              、解答题

14.如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．

15.如图所示，在▱ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形.

求证：▱ABCD是矩形.

16.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)求证：四边形BFDE为矩形．

17.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

(1)求证D是BC的中点；

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD是什么四边形，并证明你的结论．

18.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF.

(1)求证：△BOE≌△DOF；

(2)若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论.

19.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．

20.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.

(1)求证：OE＝OF；

(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

答案

1.C.

2.A

3.B.

4.C.

5.C.

6.B.

7.B.

8.C.

9.答案为：①④.

10.答案为：60．

11.答案为：矩形.

12.答案为：60．

13.答案为：4.

14.证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，AD＝CD．

∵四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴BE＝CD，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∴▱BECD是矩形．

15.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠D＋∠A＝180°，

∵E是AD边的中点，

∴AE＝DE，

∵△CBE是等边三角形，

∴BE＝CE，

在△ABE和△DCE中，

AB＝DC；AE＝DE；BE＝CE，

∴△ABE≌△DCE(SSS)，

∴∠A＝∠D，

∵∠D＋∠A＝90°，

∴∠D＝∠A＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴▱ABCD是矩形.

16.证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF(AAS)；

(2)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠CDE＋∠DEB＝180°，

∵∠DEB＝90°，

∴∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，

则四边形BFDE为矩形．

17.证明：(1)∵AF∥BD，

∴∠AFE＝∠DCE．

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE． 

又∵∠AEF＝∠DEC，

∴△AEF≌△DEC(AAS)．

∴DC＝AF． 

又∵AF＝BD，

∴BD＝DC．

∴D是BC的中点．    

(2)四边形AFBD是矩形． 

证明：∵AF＝BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．  

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°． 

∴四边形AFBD是矩形．

18.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，AO＝OC，

∵AE＝CF，

∴AO﹣AE＝OC﹣CF，即：OE＝OF，

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(SAS)；

(2)矩形，证明：∵BO＝DO，OE＝OF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BD＝EF，

∴平行四边形BEDF是矩形.

19.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF，

∴AF＝BF＝EF，

∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，

在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，

∴∠BAF＋∠FAE＝90°，

又四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为矩形.

(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，

∵F为BE的中点，FG⊥BE，

∴BG＝GE，

∵S△BFG＝5，CD＝4，

∴S△BGE＝10＝0.5BGEH，

∴BG＝GE＝5，

在Rt△EGH中，GH＝3，

在Rt△BEH中，BE＝4＝BC，

∴CG＝BC﹣BG＝4﹣5．

20.证明：(1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，

∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.

∴OF＝OC，

同理可证：OC＝OE，

∴OE＝OF.

(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，

∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.

∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，

而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，

∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，

∴EF＝13.

∴OC＝EF＝6.5.

(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.

理由：由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，

∴四边形AECF为平行四边形.

又∵∠ECF＝90°，

∴四边形AECF为矩形.