初中数学华师大版八年级下册1. 矩形的性质同步训练题
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19.1.2矩形的判定同步练习华师大版初中数学八年级下册
一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)
- 如图,将一个边长为4、8的矩形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是
A.
B.
C.
D.
- 下列说法正确的是
A. 矩形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的邻边一定相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 有三个角为直角的四边形为矩形
- 如图,在等腰直角中,,点D是内部一点,,,垂足分别为E,F,若,,,则
A. 8
B. 10
C.
D. 15
- 如图,牧童在A处放牛,牧童家在B处,A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m,且C,D两点的距离为500m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家,那么牧童最少要走的距离为
A. 1000m B. 1200m C. 1300m D. 1700m
- 如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使,连接EB,EC,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是
A. B. C. D.
- 如图,将矩形ABCD的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH,,,则边AD的长是
A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 28cm
- ▱ABCD添加下列条件后,仍不能使它成为矩形的是
A. B. C. D.
- 已知▱ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是
A. B. C. D.
- 如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是
A. B.
C. D.
- 如图,在四边形ABCD中,,,且,连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,下列说法错误的是
A. 四边形EFGH是矩形
B. 四边形ABCD的面积是92
C. 四边形EFGH的面积是48
D. 四边形EFGH的周长是28
- 如图,在中,且,,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作于点M,于点N,连接MN,则线段MN的最小值为
A. B. C. 3 D. 4
- 如图,在中,,,,P为边BC上一动点,于E,于F,M为EF中点,则EF的最小值为
A. B. 5 C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
- 已知的四个顶点都在某一个矩形上,其中BD为这个矩形的对角线,若,,,则这个矩形的周长是______.
- 如图,中,,,,点P为AC上一点,将沿直线BP翻折,点C落在处,连接,若,那么CP的长为______.
|
- 如图,在矩形ABCD中,,矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形若点B的对应点落在边CD上,连接,则的面积为______.
|
- 如图,在中,,,,D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作于点M,于点N,连接MN,则线段MN长的最小值为______.
- 如图所示,在ABC中,C,AC,BC,P为AB上一动点不与A、B重合,作PEAC于点E,PFBC于点F,连接EF,则EF的最小值是_____.
三、解答题(本大题共6小题,共48.0分)
- 如图,中,,于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.
- 如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AD和BC上,且,连接AF,CE,分别交DC,BA的延长线于点H,G.
求证:≌;
当满足什么条件时,四边形AHCG是矩形?请说明理由.
|
- 如图,在中,点O是AC边的中点,过点O作BC的平行线交的平分线于点E,交的外角平分线于点F.
求证:四边形CEAF是矩形.
若,,,,求四边形ABCF的面积.
- 在平面直角坐标系中,点,,,,,仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图,画图过程用虚线表示,并回答下列问题.
四边形ABCD的形状为______;
在AD上找点F,使;
分别在CD上找点M,BC上找点N,使四边形EFMN为矩形;
将沿某条直线翻折后,点A,C,F的对应点均落在四边形ABCD的边上,请直接写出该直线的解析式为______.
- 已知:如图,在▱ABCD中,,的平分线交AB于点E,作于F,交DE于G点,延长BC至H使,连接DH.
试证明AFHD是矩形;
当时,猜想线段AB、AG、BF的数量关系,并证明.
- 如图,在中,,AD是的角平分线,四边形AEDC是平行四边形.求证:四边形AEBD是矩形.
|
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了折叠的性质,解题的关键是掌握折叠的性质,注意折叠前后图形是全等的,注意折叠中的对应关系.
根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等和勾股定理求解.
【解答】
解:根据折叠的性质知,四边形AFEB与四边形CEFD全等,有,
在矩形ABCD中,,
,
即,
解得,,
作于点G,
四边形AGEB是矩形,
,,,
由勾股定理得.
故选D.
2.【答案】D
【解析】解:A、矩形的对角线互相平分且相等,
选项A不符合题意;
B、矩形的邻边一定垂直,不一定相等,
选项B不符合题意;
C、对角线相等的平行四边形是矩形,
选项C不符合题意;
D、有三个角为直角的四边形为矩形,
选项D符合题意;
故选:D.
由矩形的性质和判定分别对各个选项进行判断即可.
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识;熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:,,
,
为等腰直角三角形,,
,
四边形DEBF为矩形,
,,
设,则,
,
,,
,
,
,
,
,
解得,
,
故选:C.
先证四边形DEBF为矩形,得,,设,则,得,,然后由得出方程,解方程即可.
本题考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识;熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用,要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用,体现了数学在解决简单生活问题时的作用将此题转化为轴对称问题,作出A点关于河岸的对称点,根据两点之间线段最短得出的长即为牧童要走的最短路程,利用勾股定理解答即可.
【解答】
解:作A点关于河岸的对称点,连接交河岸与P,则最短,
作,且,
,,,
四边形是矩形,
,
在中,
连接,则,
.
故选C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定,首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键.先证明四边形BCDE为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.
【解答】
解:四边形ABCD是平行四边形,
,,,
,
又,
,
四边形DBCE是平行四边形.
若,则,则平行四边形DBCE是矩形.
若,则平行四边形DBCE是菱形.
若,即,则平行四边形DBCE是矩形.
若,则,则平行四边形DBCE是矩形.
故选B.
6.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识,得出四边形EFGH为矩形是解题关键.利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形,那么由折叠可得HF的长即为边AD的长.
【解答】
解:如图示,
,,
,
同理可得:,
四边形EFGH为矩形,
,
,
在和中,
≌,
,
,
,
.
故选C.
7.【答案】D
【解析】解:A、,
,
四边形ABCD是平行四边形,
▱ABCD是矩形,故选项A不符合题意;
B、四边形ABD是平行四边形,,
▱ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
C、四边形ABCD是平行四边形,
,
,
,
,
▱ABCD是矩形,故选项C不符合题意;
D、四边形ABCD是平行四边形,,
▱ABCD是菱形,故选项D符合题意;
故选:D.
根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可.
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定;熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:A、四边形ABCD是平行四边形,
,
,
,
,
▱ABCD为矩形,故选项A不符合题意;
B、不能判定▱ABCD为矩形,故选项B符合题意;
C、四边形ABCD是平行四边形,,
▱ABCD是矩形,故选项C不符合题意;
D、,
,
▱ABCD为矩形,故选项D不符合题意;
故选:B.
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.
本题主要考查的是矩形的判定、平行四边形的性质等知识,熟记矩形的判定方法是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】证明:四边形ABCD是平行四边形,
,
对角线BD上的两点M、N满足,
,即,
四边形AMCN是平行四边形,
,
,
四边形AMCN是矩形.
故选:A.
由平行四边形的性质可知:,,再证明即可证明四边形AMCN是平行四边形.
本题考查了矩形的判定,平行四边形的判定与性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
10.【答案】B
【解析】解:点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
,,
,同理
四边形EFGH是平行四边形;
又对角线AC、BD互相垂直,
与FG垂直.
四边形EFGH是矩形,故选项A正确,不符合题意;
,,且,
四边形ABCD的面积,故选项B错误,符合题意;
四边形EFGH是矩形,且,,
四边形EFGH的面积,故选项C正确,不符合题意;
,,
四边形EFGH的周长,所以选项D正确,不符合题意,
故选:B.
利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形,然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确;由,,且,可求出四边形EFGH和ABCD的面积,由此可判断选项B、C是否正确;题目给出的数据求出四边形EFGH的周长,判断D是否正确.
本题考查了中点四边形的知识,解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理,平行四边形的判断及矩形的判断进行证明,是一道综合题.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.由勾股定理求出BC的长,再证明四边形DMAN是矩形,可得,根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题.
【解答】
解:,且,,
,
,,
,
四边形DMAN是矩形,
,
当时,AD的值最小,
此时,的面积,
,
的最小值为,
故选A.
12.【答案】D
【解析】解:,,,
,
,
于E,于F,
四边形AEPF是矩形,
,AP互相平分.且,
当AP的值最小时,EF的值就最小,
当时,AP的值最小,即EF的值最小.
,
.
,,,
,
,
的最小值为;
故选:D.
先根据矩形的判定得出四边形AEPF是矩形,再根据矩形的性质得出EF,AP互相平分,且,再根据垂线段最短的性质就可以得出时,AP的值最小,即EF的值最小,根据面积关系建立等式求出其解即可.
本题考查了矩形的判定和性质,垂线段最短,勾股定理的逆定理,推出当时,AP的值最小,即EF的值最小是解题的关键.
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质等知识点,能求出符合的所有情况是解此题的关键.
分为两种情况,画出图形,解直角三角形求出AG和DG,再求出矩形的周长即可;解直角三角形求出BE和AE,再求出矩形的周长即可.
【解答】解:分为两种情况:
如图,分别过D、B作,,垂足分别为G、H;
则四边形BHDG为矩形,
所以,,,
,
,
则,由勾股定理得:
矩形BHDG的周长;
如图,分别过B、D作,,垂足分别为E、F;
则四边形BEDF为矩形;
所以,,,
,
,
则;,
矩形BEDF的周长,
故答案为:或.
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题是翻折变换,考查了矩形的判定和性质,折叠的性质,勾股定理,添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.
过点作于点D,通过题意可证四边形是矩形,可得,,根据勾股定理可求,即,根据勾股定理可求CP的长.
【解答】
解:过点作于点D,
,,
,
又,
四边形是矩形,
,,
沿直线BP翻折,
,,
在中,,
,
,
在中,,
,
,
故答案为.
15.【答案】
【解析】解:如图,过点作于点E,
,,由旋转的性质可得,
在中,由勾股定理可得,
又,
,
,
,
,
在中,由勾股定理,得,
.
故答案为:.
如图,过点作于点E,求出,可得结论.
本题考查了旋转的性质,矩形的性质.解题时,根据旋转的性质得到是解题的关键.
16.【答案】
【解析】解:,且,,
,
,,
,
四边形DMAN是矩形,
,
当时,AD的值最小,
此时,的面积,
,
的最小值为,
故答案为:.
由勾股定理求出BC的长,再证明四边形DMAN是矩形,可得,根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题.
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定与性质和垂线段最短的性质以及勾股定理,判断出时,线段EF的值最小是解题的关键,难点在于利用三角形的面积列出方程.连接CP,利用勾股定理列式求出AB,判断出四边形CFPE是矩形,根据矩形的对角线相等可得,再根据垂线段最短可得时,线段EF的值最小,然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【解答】
解:如图,连接CP,
,,,
,
,,,
四边形CFPE是矩形,
,
由垂线段最短可得时,线段EF的值最小,
此时,,
即,
解得.
故答案为.
18.【答案】证明:,,
,.
在▱DBCE中,,,
,.
四边形ADCE是平行四边形.
又,
四边形ADCE是矩形.
【解析】先证得四边形ADCE是平行四边形;然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论.
考查了矩形的判定,平行四边形的性质,等腰三角形的性质.主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法,解题的关键是牢记矩形的三种判定方法,难度不大.
19.【答案】证明:四边形ABCD是平行四边形,
,,,
,
,
即,
在与中,
,
≌;
解:当时,四边形AHCG是矩形,
理由:,
,
≌,
,
,
,
,
即,
四边形AHCG是平行四边形,
,
,
四边形AHCG是矩形.
【解析】根据平行四边形的性质得到,,,根据线段的和差得到,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
根据平行线的性质得到,根据全等三角形的性质得到,推出,得到四边形AHCG是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论.
本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,证得≌是解题的关键.
20.【答案】解:证明:,
.
平分,
.
,
.
同理,
.
又是AC的中点,
.
四边形CEAF是平行四边形.
,
.
.
四边形CEAF是矩形.
四边形CEAF是矩形,
.
在中,
,,
.
,,
.
.
.
【解析】见答案.
21.【答案】菱形 或
【解析】解:,,,
,
四边形ABCD是菱形.
故答案为:菱形.
如图,点F即为所求.
如图,四边形EFMN即为所求.
沿菱形ABCD的对角线翻折后,点A,C,F的对应点均落在四边形ABCD的边上,
对角线的解析式为或.
故答案为:或.
求出AD,CD,BC,AB即可判断.
连接DE,AC交于点J,连接BJ,延长BJ交AD于F,点F即为所求.
在CD上取M,使得,取格点P,连接PM交BC于N,连接EF,EM,EN,四边形EFMN即为所求.
沿菱形ABCD的对角线翻折后,点A,C,F的对应点均落在四边形ABCD的边上,求出菱形的对角线所在直线的解析式即可.
本题考查作图复杂作图,一次函数的性质,矩形的判定和性质,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
22.【答案】证明:四边形ABCD是平行四边形,
,,
,
,
,
四边形AFHD是平行四边形,
,
,
平行四边形AFHD是矩形;
解:猜想:,证明如下:
如图,延长BF到M,使,连接DM,
四边形ABCD是平行四边形,
,
,
平分,
,
,
,
,
,
四边形AFHD是正方形,
,,
在和中,
,
≌,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
.
【解析】由平行四边形的性质得出,,求出,再证四边形AFHD是平行四边形,然后由矩形的判定得出即可;
由平行四边形的性质得出,求出,推出,再由正方形的判定和性质得出,然后证≌,得出,,求出,即可解决问题.
本题考查了正方形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,角平分线的定义,平行线的性质,矩形的判定和性质等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.
23.【答案】证明:四边形AEDC是平行四边形,
,,
,AD是的角平分线,
,,
,,
,
四边形AEBD是平行四边形,
又,
平行四边形AEBD是矩形.
【解析】先证四边形AEBD是平行四边形,再由,即可得出结论.
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握矩形的判定,由等腰三角形的性质证明,是解题的关键.
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