初中数学华师大版八年级下册2. 矩形的判定第2课时学案

19.1.2 矩形的判定

学习目标：

1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达.

2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.

【课前预习案】

一、旧知回顾

1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.

2、矩形是轴对称图形，它有    条对称轴。

3、平行四边形的判定有哪些？分别从边、角、对角线几个方面考虑。

【课内合作探究案】

A类探究点

 问题1：回顾矩形的定义和性质

答案：（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

     （2）矩形的性质：

          角：矩形的四个角都是直角

           对角线：矩形对角线相等

问题2：仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？

答案：1、定义可以作为判定

2、  四个角都是直角的四边形

3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等四边形

关于2和3你能写出证明过程吗

四个角都是直角的四边形

如图，在四边形ABCD中，因为,

所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

   有三个角是直角的四边形是矩形吗？说明理由。

答案：是。有三个角是直角说明第四个角也是直角，根据上面探究的结论即可确定这个四边形为矩形。

归纳总结：三（四）个角都是直角的四边形是矩形

B类探究点

对角线相等的平行四边形是矩形

问题：你能将上述命题转

化为符号语言吗？并写出证明过程。

   答案：能。已知：如图，在□ ABCD中，若AC=DB，则□ ABCD是矩形                                            

      证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，又∵AC=DB,

BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB.又∵AB∥DC ,        

∴∠ABC+∠DCB=，∴∠ABC=，∴□ ABCD是矩形.

问题：对角线相等的四边形一定是矩形吗？如果不一定，对角线还需要满足什么条件？

答案：不一定是，还需要满足对角线互相平分，即对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

归纳总结：矩形的判定方法有：（1）定义法.（2）三个角都是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

 例4. 如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.

求证:四边形EFGH是矩形.

分析： 根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证。

证明: ∵四边形ABCD是平行四边形

           ∴AC=BD （矩形的对角线相等）

              AO=BO=CO=DO （矩形的对角线互相平分）

           ∵AE=BF =CG=DH,

           ∴OE=OF=OG=OH                            

           ∴四边形EFGH是平行四边形

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

           ∵EO+OG=OF+OH,

            即EG=FH,

           ∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.

   归纳总结 ：

1.知识网络         

矩形的判定  

角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

            （2）四个角都是直角的四边形是矩形

对角线：                                                       

            （1）对角线相等的平行四边形是矩形    

            （2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形

2.思想方法：本节主要学习了矩形几种判定方法，在使用各种判定方法时，一定要注意看清楚给出的是平行四边形还是四边形。主要数学思想：类比，转化思想。

【训练案】

A类训练题

1.下列说法正确的是（   ）

A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形  

B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C.对角线互相平分的四边形是矩形        

D.对角互补的平行四边形是矩形

2. 满足下列条件（   ）的四边形是矩形

A.有三个角相等                         B.有一个角是直角

C.对角线相等且互相垂直                 D.对角线相等且互相平分

3. 矩形各角平分线围成的四边形是（   ）

   A.平行四边形       B.矩形        C.菱形        D.正方形

4.下列判定矩形的说法是否正确

  （1）有一个角是直角的四边形是矩形         （    ）

  （2）四个角都是直角的四边形是矩形         （    ）

（3）四个角都相等的四边形是矩形           （    ）

（4）对角线相等的四边形是矩形             （    ）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形   （    ）

（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形   （    ）

B类训练题

 1.已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。

答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，

      所以DA=DC=DB,又因为DE=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。