2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高一上学期12月阶段训练数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高一上学期12月阶段训练数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【分析】解出集合B，求，根据中元素个数，得的子集个数.
【详解】集合，因为，
所以，集合中共两个元素，
故子集有，，，共个.
故选：C.
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.
【详解】解:由题知,
由于均为单调递增,
所以随着的增大也增大,故在单调递增,
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选:C
3．下列函数中，既在上单调递减，又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数、一次函数、指数函数、幂函数的奇偶性和单调性即可判断正误.
【详解】解：对于A，反比例函数是奇函数，但定义域为，A选项错误；
对于B，令，，
所以函数是奇函数，
取，则，
，
，即，
所以函数在上单调递减，又是奇函数，
所以函数在上单调递减，B选项正确；
对于C，一次函数在上单调递减，但不关于原点对称，不是奇函数，C选项错误；
对于D，指数函数在上单调递减，但不关于原点对称，不是奇函数，D选项错误；
故选：B.
4．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性计算三个数的取值范围，比较出大小.
【详解】因为为增函数，所以，即；
因为为减函数，所以，即；
因为为减函数，所以，即，所以.
故选：A.
5．已知角的终边经过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正切函数的定义可得，再根据余弦函数的定义求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
解得，
所以.
故选：B.
6．已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．2B．4C．2或4D．1或4
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长为6，面积为2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：D.
7．若函数（且）的图像恒过定点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据真数为1求解定点可得，进而可得
【详解】函数过定点，
由图象所过的定点，知：，解得，且，
所以.
故选：A
8．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】D
【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得，对ABD，根据作差法判断即可；对C，举反例判断即可.
【详解】已知，，则.
对A，由题意，，故，即成立，故A正确；
对B，，即，故B正确；
对C，当时，满足题设，但不成立，故C错误；
对D，，故，故D正确；
故选：ABD
10．下列几种说法中，正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，则的解集是
D．“”是“不等式对一切都成立”的充要条件
【答案】BCD
【分析】根据命题的推断关系判断是否是充要条件，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，对选项中的命题进行计算和化简，判断选项的正误.
【详解】对于A，即或，所以“”能推断出“”， “”不能推出“”， “”是“”的充分不必要条件，A错误.
对于B，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，“，”的否定是“，”，B正确.
对于C，不等式的解集是，则，得，，
所以即，解集为，C正确.
对于D，若，不等式可化为对一切x都成立，合题意；
若，因为对一切x都成立，所以，
解得，综上，，所以D正确.
故选：BCD.
11．下列函数中,最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据基本不等式以及其取等条件即可判断选项A,B的正误,根据,可判断选项C的范围,进而判断正误,对二次函数进行配方即可得二次函数的最小值,进而判断选项D的正误.
【详解】解:由题知关于选项A:
,
,
当且仅当,即时取等,
,
故等号取不到,
所以选项A错误;
关于选项B:
,
,
当且仅当,即时取等,
,
所以选项B正确;
关于选项C:
,
,
所以最小值取不到4,
所以选项C错误;
关于选项D:
,
当时,,
所以选项D正确.
故选:BD
12．已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，有1个零点
C．当时，有3个零点
D．当时，的所有零点之和为
【答案】BC
【分析】作出分段函数的图象，判断函数的单调性，将的零点问题，转化为的图象与的交点问题.
【详解】根据解析式作出函数的图象如下图所示，
则函数在上不是单调增函数，A错误；
当时，直线与函数的图象有一个交点，即有一个解，有1个零点，B正确；
当时，直线与函数的图象有3个交点，即有3个解，有3个零点，C正确；
当时，解方程，即或，
解得或1，所以的所有零点之和为，D错误.
故选：BC.
【点睛】数形结合，可以从图象中直观判断取不同值时，函数的零点个数.
三、填空题
13．函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据对数与分式、根式的定义域求解即可.
【详解】由题意，，解得，故定义域为.
故答案为：
14．已知，则______．
【答案】##-0.2
【分析】先根据诱导公式进行化简，求出的值，再将分母写为，再将分子分母同除以化为关于的式子，代入即可求出值.
【详解】解:由题知，
即，
，且，
.
故答案为:
15．若函数，当时，有最大值，则实数的取值范围______．
【答案】
【分析】作出函数的图象，由函数需在开区间上有最大值，数形结合，求出a的取值范围.
【详解】作出函数的图象，如下图所示，
函数在和上单调递减，在上单调递增，
，令，解得，
因为时，函数有最大值，则最大值应为，则.
故答案为：.
16．设为实数，若关于的方程有实数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】令，则关于的方程有实数解转化为关于的方程有正根，列出系数需满足的不等式组，解出a的范围.
【详解】令，则，因为关于的方程有实数解，
所以关于的方程有正根，
因为方程有根，则，
设两根分别为，，因为，两根同号，
所以要使得方程有正根，需，
即，解得.
故答案为：.
【点睛】注意换元后关于的方程需有正根，根据韦达定理可以分析根的符号情况，得到已知两个根符号相同的前提下进而可以列出满足题意的不等式组，降低计算难度.
四、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】根据指数幂运算律和对数式运算律进行运算，得到结果.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知全集，集合，．
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）代入，再分别求解集合，进而求得和即可；
（2）因式分解可得，再根据区间端点列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，，.
故，.
（2），又，故则，解得.
19．已知．
(1)化简,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;
(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断正负,对平方再开方,代入即可得所求.
【详解】（1）解:由题知
,
;
（2）,,
,且,
,
故.
20．已知函数．
(1)证明：函数是减函数；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义，在定义域范围内取，得出，即可证明函数是减函数；
（2）将不等式对恒成立，转化为在上恒成立，利用单调性求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）证明：在上任取，且，
则，
，
，，，
则，即，
在上是减函数.
（2）解：对恒成立，
在上恒成立，需，
由（1）可知上单调递减，
，
，即实数的取值范围是.
21．某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金万元，且生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000(单位：元/台)时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完.
（1）求2021年该款摩托车的年利润(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式；
（2）当2021年该款摩托车的年产量x为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？(注：年利润销售所得投入资金设备改造费)
【答案】（1）；（2）年产量为万台时，有最大年利润为万元.
【分析】（1）先根据的值计算出的值，根据年利润的计算公式分别求解出、时的年利润，由此得到的解析式；
（2）当时，利用二次函数的单调性求解出的最大值；当时，利用基本不等式求解出的最大值，比较两次求解出的最大值，取其中较大者，由此可确定出能获得最大年利润的年产量的值以及最大年利润的值.
【详解】解：（1）由题意，所以，
当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，，
所以当时，.
当时，，
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，所以当时，，
因为，
所以，当年该款摩托车的年产量为万台时，年利润最大，最大年利润是万元.
22．已知函数与有相同的定义域.
（1）解关于x的不等式；
（2）若方程有两个相异实数根，且在区间上单调递减，证明：.(参考结论：)
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先根据的定义域求解出的定义域，然后根据与的大小关系分类讨论不等式的解集；
（2）根据已知条件先判断出的取值范围，然后根据的单调性将转化为，根据的值化简并结合参考结论进行证明即可.
【详解】解：（1）已知函数与有相同的定义域，
所以与的定义域都是.
方程的判别式.
①当即时，在上恒成立.
②当即时，的根为，
所以的解集为且.
③当即时，的两根为，，
若，则，
所以的解集为或；
若，则，所以的解集为.
综上所述：
当时，的解集为；
当时，的解集为或；
当时，的解集为且；
当时，的解集为.
（2）由（1）知，若方程有两个相异实数根，
则，且，，
因为在上是减函数，所以，
所以
.
因为时，，
又因为，所以.
因为
，
且，
所以.
所以
所以.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的证明问题的关键在于化简，一方面需要利用单调性去掉绝对值符号，另一方面需要利用韦达定理以及对数参考结论进行化简，不仅对计算有着较高要求，同时在变形转化方面也需要重点注意.