2024届广东省广州市第九十七中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省广州市第九十七中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法、函数定义域的求法以及集合的补集、交集运算进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
因为，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法的运算法则求出复数，然后根据共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，所以.
故选：B.
3．已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直向量坐标所满足的条件计算即可
【详解】因为平面向量，，且，
所以，解得
故选：C
4．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.
【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D；
当时，，即，此时，排除C；
当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除B.
故选：A.
5．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解，进而将，，，代入解析式中即可求解时间．
【详解】由题意可得，，，，代入，
，解得，
故，解得．
故当，，，时，
将其代入得，解得，
故选：B
6．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
7．已知直线与圆相交于两点，且的长度始终为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的标准方程及点在直线上，结合基本不等式即可求解.
【详解】由，得圆的圆心坐标为，半径为，
由题意可知，直线经过圆的圆心，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：C.
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数 进而利用单调性即得.
【详解】，， 构造函数且
当时,此时;
当时,此时.
故当单调递减,当单调递增.
故 故
又 即
故
故选: B
二、多选题
9．以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．随机变量，，若，则
C．若，，，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A．，，故A错；
B．，故B对；
C．，，，故C对；
D．，，故D对．
故选：BCD
10．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由两边平方得，可得，
再由求出逐项判断可得答案.
【详解】因为，所以，
可得，
因为，所以，
由解得，
所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
11．已知向量，，函数的最小正周期是，则（ ）
A．的最小值为1
B．在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．取最大值时，x的取值集合为
【答案】BD
【分析】求得的最小值判断选项A；求得在上单调性判断选项B；验证法判断选项C；求得取最大值时，x的取值集合判断选项D.
【详解】，，
则
由，可得，则
选项A：的最小值为.判断错误；
选项B：由，可得，
由，得在上单调递减.判断正确；
选项C：由，
可得的图象关于点中心对称.判断错误；
选项D：由，可得
则取最大值时，x的取值集合为.判断正确.
故选：BD
12．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的.
三、填空题
13．已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性，建立方程与不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
14．曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】曲线在点处的斜率为：
根据点斜式写出直线方程为：.
故答案为.
15．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】的零点问题转化为方程根的个数，再看成两个函数的交点问题.
【详解】画出函数的图象，如图所示．
由于函数有3个零点，结合图象得，即．
故答案为:
【点睛】可变量分离的参数，参数的范围可转化为求函数在特定区域上的值域.
16．已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不等式关系，求解即可．
【详解】因为，所以，
依题意得，解得．
故答案为：.
四、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】（1）由csA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，再由a，c的值，利用正弦定理求出sinC，利用余弦定理求出b的值即可；
（2）原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将sin2A与cs2A的值代入计算即可求出值．
【详解】（Ⅰ）在中，由，可得．
又由及，，可得．
由，得.
因为，
故解得．
所以，．
（Ⅱ）由，，
得，，
所以 .
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．设数列的各项都为正数，且．
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，
得，即，
所以数列是以为公差的等差数列；
（2），由（1）得，
所以，则，
所以.
19．如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．

(1)证明：；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设，
所以，
所以.
（2）当时，，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设与平面所成角为，
则.

20．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”?
(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列与数学期望和方差.
【答案】(1)能在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”
(2)分布列见解析，，.
【分析】（1）根据的公式计算其结果，并对比参照表，即可得解；
（2）由已知得，每个男性周末上网的概率为，故，得的分布列和期望、方差.
【详解】（1）由列联表数据知，
故能在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”.
（2）由表中数据可知，每个男性周末上网的概率为，
故～，故，0，1，2，3，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
所以，.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
（2）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）因为，所以．
①当时，在单调递减；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，令得，列表得
所以，即，所以．
22．如图，椭圆经过点，且离心率为.
(I)求椭圆的方程；
(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），
问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
【答案】(1) (2)2
【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得
，
由已知，设，
则，
从而直线与的斜率之和
.
【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
休闲方式性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
0
1
2
3
P
a
1
0
单调递减
极小值
单调递增