2022-2023学年广东省广州市协和中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市协和中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得答案为D.

【详解】命题：，的否定是，.

故选：D.

3．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依次判断每个选项：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数，得到答案.

【详解】根据图像观察知：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数

故选：

【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.

4．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质确定，再根据同向不等式的可加性即得答案.

【详解】因为，所以，

故,

故选：B

5．设函数，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.

【详解】解：，

则，得，解得．

故选：D

6．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．

【详解】解：函数在其定义域上单调递增，

（2），（1），

（2）（1）．

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，

故选．

【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．

7．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.

【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，

所以当或时，，当时，．

所以等价于或 ，

解得或，所以不等式的解集为，

故选：B．

8．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为有解，利用换元法，令，进一步将问题转化为在时有解，根据可得范围.

【详解】根据“局部奇函数”定义知：有解，

即方程有解，

则有解；

设，则（当且仅当时取等号），

方程等价于在时有解，在时有解；

在上单调递增，，，

即实数的取值范围为.

故选：B.

二、多选题

9．下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】AB

【分析】函数相同的要求:定义域相同，值域相同，解析式相同.

【详解】和的定义域均为，值域均为，解析式一致，A正确．

和的定义域和值域均为，解析式一致，B正确．

和的定义域和值域均为，但解析式不同，C错误．

的定义域为，的定义域为，D错误．

故选:AB

10．下列判断正确的有（    ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

【答案】ABD

【分析】对选项A，利用幂函数的单调性和指数函数的单调性即可判断A正确，对选项B，利用指数幂运算即可判断B正确，对选项C，D，根据基本不等式即可判断C错误，D正确.

【详解】对选项A，函数单调递增，，

又单调递减，，故A正确；

对于选项B，，，，

所以，故B正确；

对于C：，等号成立当且仅当时，

故C错误；

对于，当且仅当时，

即，时取等号，故正确.

故选：ABD

11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】ABC

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以

解得.

故ABC正确，D错误

故选：ABC.

12．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．为奇函数

C．在区间上有最大值

D．的解集为

【答案】ABD

【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，

根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；

对于C选项，任取，，且，则，，

所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；

对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．函数的定义域为_________.

【答案】

【详解】要使函数有意义，则，得，即且，

即函数的定义域为.

14．设，则函数的值域是____________.

【答案】

【分析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为，比较端点值可得最大值，对称轴处取得最小值，从而得解.

【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为，

所以当时，函数取到最小值，

当时，，当时，，

所以函数的最大值为，

所以值域为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了二次函数值域的求解，属于基础题.

15．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息________元．(参考数据：，，

【答案】

【分析】分别计算将存入微信零钱通或者支付宝的余额宝、和存入银行所得的利息，即可求解.

【详解】将元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，

则存满年后的本息和为元，

故共得利息元，

将元存入银行，则存满年后的本息和为，

即获利息元， 故可以多获利息元，

故答案为：.

16．已知函数满足对于任意的，恒有成立，且，则集合中最小的元素为____________.

【答案】

【分析】根据题意得，再解对数方程即可得答案.

【详解】解：已知对任意，恒有，且，

故，

显然，当时，无解，

当时，无解，

所以有，即，

故当时，由，解得，

所以集合中最小的元素为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合，

(1)求，；

(2)求，

【答案】(1)；

(2)；

【分析】（1）化简集合，结合交集并集概念即可求解；

（2）由交并补的混合运算即可求解.

【详解】（1），故；

（2），，所以，.

18．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解即可；

（2）利用指数的运算性质求解即可.

【详解】（1）

.

（2）

19．已知幂函数在上单调递增，．

(1)求实数的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用幂函数定义性质即可求解.(2)先求出和的值域，

再将命题是命题的必要不充分条件转化为集合间的关系，进而求出的取值范围

【详解】（1）为幂函数，则，解得或，

又幂函数在上单调递增，，得.

（2）由第一问得，在上递增，所以的值域为，即集合，

而在上递减，所以的值域为，即，

由命题是命题的必要不充分条件可得，所以，得，

的取值范围为.

20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为，总造价为（元）.

（1）将表示为关于的函数；

（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.

【答案】（1）；（2）当时，总造价最低且最低为.

【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；

（2）利用基本不等式可求何时取何最值.

【详解】（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，

绿化的面积为，

中间区域硬化地面的面积为，

故，

整理得到，

由可得，

故.

（2）由基本不等式可得

，

当且仅当时等号成立，

故当时，总造价最低且最低为.

【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取.

21．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）在上单调递增；（3）或.

【分析】（1）根据条件可得，解不等式组即可；

（2）将a，b的值代入中，利用定义证明的单调性即可；

（3）根据的单调性和，可得，解不等式即可.

【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，

则，解得；

（2）由（1）可知当时，，

当时，

任取，且，

且，则

于是，所以在上单调递增.

（3）由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，

则在上单调递增，

所以的解为，

解得或，

∴不等式的解集为或．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定与证明，以及函数性质的应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，合理利用函数的单调性转化不等关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

22．已知二次函数（其中）满足下列三个条件：① 图象过坐标原点；②对于任意都成立；③方程有两个相等的实数根．

(1)求函数的解析式；

(2)令（其中，求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)当时，在单调递减，在上单调递增；

当，时，在上单调递增，

时，在单调递减，在上单调递增

【分析】(1)由①可知c的值，②可判断二次函数的对称轴，③转化为一个一元二次方程，利用判别式为0即可求解各字母的值，即可求出二次函数解析式

(2)先分类讨论去掉绝对值，转化成一个分段函数，每一个分段函数都是一个二次函数，再利用二次函数对称轴和结合x的范围来确定的单调区间

【详解】（1）因为图象过坐标原点，所以得，即，又因为对于任意都

成立，可得对称轴，即，得，

又由有两个相等的实数根，整理，，

，函数解析式为.

（2）由，

当时，对称轴，由二次函数图像性质

则在单调递减，在上单调递增；

当时，对称轴，若，即时，

在上单调递增，若，即时，在单调递减，

在上单调递增.

综上所述当时，在单调递减，在上单调递增；

当，时，在上单调递增，时，在单调递减，

在上单调递增.