2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】，解得，所以，所以.故选：A2．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得，所以的定义域为.故选：C3．“”是“函数在内单调递减”的（    ）A．既不充分也不必要 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件【答案】D【分析】结合函数的单调性以及充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】二次函数在内单调递减，所以，所以“”是“函数在内单调递减”的充分而不必要条件.故选：D4．将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】函数的图象向左平移个单位后得到.故选：B5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义可求角的余弦，再根据二倍角的余弦公式可求.【详解】因为终边与单位圆相交于点，故，故，故选：A.6．若，则有（    ）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为 D．最大值为【答案】A【分析】利用基本不等式即得,【详解】∵，∴，∴，当且仅当即时取等号，∴有最小值为3.故选：A.7．已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简的解析式，根据反函数的知识确定正确答案.【详解】，，所以.所以与互为反函数，图像关于直线对称，所以D选项符合题意.故选：D8．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（       ）（参考数据：，）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.【详解】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以所求，由，即，所以，即，所以，因为，所以最小为，所以至少经过小时才可以驾车，故选：B. 二、多选题9．已知，，则下列结论正确的是（    ）A．的终边在第二象限 B．C． D．【答案】ABD【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得，由此确定正确答案.【详解】由两边平方得，，，D选项正确.由于，所以，所以，所以是第二象限角，A选项正确，，，所以，由解得，B选项正确，，C选项错误.故选：ABD10．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在上单调递增且图象关于y轴对称的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】判断与的对称性与单调性可判断AC；判断的对称性可判断B；求的定义域可判断D.【详解】对于A，的定义域为，且，所以的图象关于y轴对称.当时，单调递增，故A正确；对于B，的定义域为，且，所以的图象关于原点对称，故B错误；对于C，的定义域为，且，所以的图象关于y轴对称.当时，单调递增，故C正确；对于D，的定义域为,故其图象不关于y轴对称，故D错误.故选:AC.11．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.【详解】A选项，，，但，所以A选项错误.B选项，由于，，所以，所以，所以B选项正确.C选项，由于，，所以，，，所以，C选项正确.D选项，由于，，所以，D选项错误.故选： BC12．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由，得，再利用对数运算公式对进行，，运算，从而可判断各选项.【详解】由，得，则，选项A错误；，选项B正确，选项D错误；， ，， ，选项C正确.故选：BC. 三、填空题13．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______．【答案】##【分析】根据扇形的面积公式可求弧长.【详解】设弧长为，则.故答案为：.14．函数的部分图象如图所示，则______. 【答案】【解析】由图可得，利用周期求出，又函数过点，解得，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：，，解得，又函数过点，则，解得，故答案为：15．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为______．【答案】【分析】结合函数的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】是定义在上的奇函数，，由于在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，所以或时，；当或时，.所以不等式的解集为.故答案为： 四、双空题16．某房屋开发公司用37500万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高600元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为6000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成______层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为______元．【答案】          【分析】根据已知条件求得平均综合费用的表达式，利用基本不等式求得正确答案.【详解】设建层，，则平均综合费用：元，当且仅当时等号成立.所以为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成层，该楼房每平方米的平均综合费用最低为元.故答案为：； 五、解答题17．已知全集，集合，集合．(1)若集合A中有2个元素，求p的取值范围；(2)若，求．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据判别式列不等式，从而求得的取值范围.（2）先求得，由此求得，进而求得.【详解】（1）若集合中有个元素，所以，解得或.（2）由于，所以，解得.由解得或，所以.由解得或，所以.所以.18．已知．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简解析式，结合二倍角公式求得正确答案.（2）利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】（1），依题意，，所以.（2）依题意，由于，所以，所以，所以.19．已知．(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)证明函数在上为单调递增函数．(3)对于，，求，实数t的取值范围．【答案】(1)是奇函数，证明详见解析(2)证明详见解析(3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明.（2）根据函数单调性的定义进行证明.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，，从而求得的取值范围.【详解】（1）是奇函数，证明如下：，定义域为，，所以是奇函数.（2）任取，，其中，所以，所以在上单调递增.（3）由（2）可知，在上递增，由于奇函数，所以在上单调递增，取，由，得，所以，解得.20．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）化简的解析式，从而求得的最小正周期.（2）根据三角函数最值的求法求得在区间上的最大值和最小值．【详解】（1），所以的最小正周期为.（2），，所以的最大值为，最小值为.21．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．（1）求的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把代入即可求得的值；（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.【详解】（1）由题意可知，故；（2）因为，所以，又因为时，药物释放量对人体有害，所以或，解得或，所以，由，故对人体有害的时间为．22．设为实数，函数．（1）当时，求在区间上的最大值；（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；（3）求的最小值.【答案】（1）0（2）t（a）（3）12﹣8【分析】（1）a＝1时，函数f（x）＝（x﹣1）2﹣1，根据二次函数的性质即可求出它的值域；（2）化简g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，讨论确定函数的单调性，求出最大值，得出t（a）的解析式；（3）分别求出各段函数的最小值（或下确界），比较各个最小值，其中的最小值，即为求t（a）的最小值．【详解】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，在区间上的最大值为0；（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），故当0＜a＜22时，t（a）＝g（2）＝4﹣4a，当22≤a＜1时，t（a）＝g（a）＝a2，③当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）＝g（a）＝a2，④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）＝g（2）＝4a﹣4，故t（a）；（3）由（2）知，当a＜22时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数，，无最小值；当时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；当时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8．【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值问题的解法，含参以及含绝对值的二次函数在闭区间上的最值问题和分段函数的最值问题的解法，意在考查学生的分类讨论思想意识以及数学运算能力．