2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期阶段性训练数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期阶段性训练数学试题

一、单选题

1．sin 390°的值为(　　)

A． B． C．－ D．－

【答案】A

【分析】直接利用诱导公式化简求值.

【详解】.

故答案为A.

【点睛】(1)本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.

2．已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m＝（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】由题意可得4＝2，解得，再求解f（16）即可．

【详解】由已知幂函数f（x）＝的图象经过点（4，2），则有4＝2，解得，则f（x）＝，

故f（16）＝，即m＝4.

故选：C

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

3．下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据相等函数得定义逐一分析判断即可得出答案.

【详解】解：对于A，，与对应关系不同，所以两函数不表示同一函数；

对于B，两函数的定义域都是R，且对应关系相同，所以两函数表示同一函数；

对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，故不表示同一函数；

对于D，函数的定义域是R，函数的定义域为，故不表示同一函数.

故选：B.

4．函数的零点所在的一个区间是（       ）

A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)

【答案】B

【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】解：函数在是连续不断的，

由，

，

所以函数的零点所在的一个区间是.

故选：B.

5．已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．

详解：∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则

点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键．

6．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

7．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．12 D．6

【答案】B

【分析】利用基本不等式乘“1”法计算可得；

【详解】解：由题意可得，则，

当且仅当即，时等号成立，故的最小值为9.

故选：B

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数的单调性可得，利用对数和指数幂运算可得，即得解

【详解】由题意，

故

故选：A

二、多选题

9．下列不等式成立的是（    ）

A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则

【答案】AD

【解析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.

【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；

对于B，当，时，，显然B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，，所以，，所以

所以，即成立，故D正确．

故选AD．

【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.

【详解】由 …①，以及  ，

对等式①两边取平方得 ， …②，

，，由②， ，

由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，

解得 ， ，

故A正确，B正确，C错误，D正确；

故选：ABD.

11．下列选项中，正确的是（    ）

A．函数（且）的图象恒过定点

B．若不等式的解集为，则

C．若，，则，

D．函数恰有1个零点．

【答案】CD

【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求解.

【详解】解：对A：函数（且）的图象恒过定点，故选项A错误；

对B：若不等式的解集为，则，且和是方程的两根，

所以，解得，所以，故选项B错误；

对C：若，，则，，故选项C正确；

对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.

故选：CD.

12．下列四个命题，其中为假命题的是（    ）

A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数

B．“”是“”的充分不必要条件

C．函数的单调递增区间是

D．若函数的值域是，则实数或

【答案】ABC

【分析】对于A：举例的单调性可判断；

对于B：由指数函数的单调性可判断；

对于C：函数的定义域为，结合对数函数和二次函数的单调性可判断；

对于D：根据二次函数的性质可判断.

【详解】对于A：如在上是增函数，在上也是增函数，

但不能说是增函数，故A是假命题；

对于B：由得，所以“”是“”的充要条件，故B假命题；

对于C：由，得，

又函数的对称轴为，

所以二次函数的递增区间为，递减区间为，

又在上单调递减，

所以函数的递增区间为，故C是假命题；

对于D：若函数的值域是，

则，

解得或，故D是正确命题，

故选：ABC.

三、填空题

13．半径为，圆心角为的孤长为___________.

【答案】##

【分析】根据弧长公式(：扇形圆心角，：扇形的半径)

【详解】

故答案为：

14．若函数，则______．

【答案】##0.5

【分析】首先计算，从而得到，即可得到答案.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

15．函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

所以该函数的定义域为，

故答案为：

四、双空题

16．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为______；最小值为______.

【答案】         

【分析】先根据值域端点值求解出对应的值,再根据函数的对称性得到函数定义域情况，由此计算出区间长度的最值.

【详解】由，得，由，得，

故满足题意的定义域可以为或，

故区间的最大长度为，最小长度为.

故答案为；.

【点睛】本题考查新定义背景下指数型函数的定义域和值域的关系，难度一般.

五、解答题

17．已知全集，集合，集合．

(1)求集合及；

(2)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.

（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围．

【详解】（1）由得：，所以，则，

由，所以，．

（2）因为且，

所以，解得．

所以的取值范围是．

18．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)112

(2)3

【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决；

（2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决.

【详解】（1）

（2）

19．己知函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）由和可直接构造方程求得，由此得到；

（2）将整理为，设，得到，由单调性定义可得结论.

【详解】（1），，，解得：，

.

（2）在上单调递增，证明如下：

由（1）得：，

设，则，

，，，

在上单调递增.

20．已知，其中是第四象限角．

(1)化简；

(2)若，求，．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；

（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；

【详解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，

∴

．

即；

（2）解：∵，∴，

∴．

21．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示．

(1)画出函数在y轴右侧的图像，并写出函数在上的单调增区间；

(2)求函数在上的解析式．

(3)结合图像分别直接写出：当m为何值时，关于x的方程有2个实根？3个实根？4个实根？0个实根？

【答案】(1)图象见详解，单调增区间为和

(2)

(3)时，关于x的方程有3个实根；或时，有2个实根；时，有4个实根；时，有0个实根.

【分析】（1）由函数是偶函数可得函数的图象关于y轴对称，进而可画出图象，得到单调递增区间.

（2）由即可求出时函数的解析式。

（3）把方程有根转化成两个函数图象有交点，通过数形结合即可得到答案.

【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数,所以函数的图象关于y轴对称，即只需把函数在y轴左侧翻折到y轴右侧就可以得到函数在y轴右侧的图象了.

图象如下图所示：

则函数在上的单调增区间为和.

（2）因为函数是定义在上的偶函数，且时，

所以当，，.

（3）关于x的方程有几个实根等价于函数的图象与直线有几个交点.

如图所示，

当，即时，函数的图象与直线有2个交点，则关于x的方程有3个实根.

当或，即或时，函数的图象与直线有2个交点，则关于x的方程有2个实根.

当，即时，函数的图象与直线有4个交点，则关于x的方程有4个实根.

当，即时，函数的图象与直线有0个交点，则关于x的方程有0个实根.

故：时，关于x的方程有3个实根；或时，有2个实根；时，有4个实根；时，有0个实根.

22．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨珍珠棉还需要投人其他成本万元.

(1)写出该公司本季度增加的利润万元与之间的函数关系；

(2)当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？

【答案】(1)y

(2)当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元

【分析】（1）根据题目中等量关系，列出函数关系式；（2）对函数进行变形，利用基本不等式求解最值.

【详解】（1）;

（2）.

，

，

当且仅当，即时等号成立，

，

当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.