2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期阶段二考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期阶段二考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期阶段二考数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据并集的概念运算可得结果.【详解】因为集合，所以.故选：A2．已知指数函数的图象过点，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.【详解】因为指数函数的图象过点，所以，即，所以，故选：C3．下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】先判断定义域是否相同，再判断化简以后的解析式是否相同.【详解】对于A，∵，x，对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，的定义域时，的定义域是，∴不是同一函数；对于C，两函数的定义域，对应法则相同，∴是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，不是同一函数．故选：C．4．若，，，则有（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数为增函数，则；对数函数为增函数，则，即；对数函数为增函数，则.因此，.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.5．不等式的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义确定正确选项.【详解】可化为，解得，由必要不充分条件的定义可得不等式的一个必要不充分条件是，故选：B6．已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，作出与，，的图象，如图所示，可知故选：C7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为．2020年12月29日19时19分在克罗地亚发生6.5级地震它所释放出来的能量大约是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生5.1级地震的（    ）倍A．65 B．100 C．126 D．349【答案】C【解析】计算，得出的大致范围，确定正确选项．【详解】由题意，从而得：，而，故选：C．8．已知函数， 若， 则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，又由，所以函数为奇函数，令，可得函数为单调递减函数，根据复合函数的单调性，可得函数为定义域上的单调递减函数，因为，即，则满足，解得.故选：B.【点睛】求解函数不等式的方法：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 二、多选题9．已知是第二象限角，则的终边位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】由是第二象限角，可得，再对分奇数与偶数两种情况讨论，进而可得答案.【详解】因为是第二象限角，所以，则，是偶数时，令，则，的终边位于第二象限，B正确；是奇数时，令，则，的终边位于第四象限，D正确．故选：BD.10．下列命题正确的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.【详解】对于A选项，当时，满足，但是，故A不正确；对于B选项，根据不等式的性质可知准确，故B正确；对于C选项，当时，满足，但是，故C不正确；对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：BD.11．关于函数，．下列说法正确的有（    ）A．的图像关于y轴对称B．在上单调递增，在上单调递减C．的值域为D．不等式的解集为【答案】ABC【分析】根据函数，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A，B，C均正确，而选项D也可由单调性转化为关于的二次不等式求解，解集应为，则D错误.【详解】因为函数，，则该函数为偶函数，其图像关于轴对称，故选项A说法正确；令，在单调递增，单调递减， 又在单调递增，则由复合函数的单调性可知在单调递增，单调递减，故选项B说法正确；由可得，即的值域为，故选项C说法也正确；由不等式即，则， 故的不等式解集为，选项D说法错误.故选：ABC.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（    ）A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D．有最大值无最小值【答案】BC【分析】根据的定义，将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质.【详解】由题意：，所以所以的图象如下图，由图象分析： ，所以A不正确；，所以B正确；在上单调递增，所以C正确；有最小值无最大值，所以D不正确.故选：BC. 三、填空题13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.【答案】（或，，答案不唯一）【分析】结合幂函数的图象与性质可得．【详解】由幂函数，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此，或，等等．故答案为：（或，，答案不唯一）．14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.【详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为则，则，即．因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．故答案为：.15．已知函数，若，则___________.【答案】##【分析】构造函数，判断出是奇函数，则，由此可计算．【详解】设，，则，，，即为奇函数，所以，，由得.故答案为：.16．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________．【答案】【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.【详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为a，b，所以，所以，即，且，，当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，，即，故答案为： 四、解答题17．计算：(1)(2).【答案】(1)(2) 【分析】根据指数和对数的运算性质，以及根式与分数指数的转化，即可化简求解.【详解】（1）解：原式 （2）解：原式18．已知函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合(1)求(2)若集合，且，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由函数定义域求出，由函数值域求出，从而求出交集；（2）由得到，分与两种情况，进行求解，最后求出数a的取值范围．【详解】（1）由得到，故，即，故，由，得到，即，故；（2），当时，即时，，满足条件；当时，即时，，要使，则，解得：，综上所述，实数a的取值范围为.19．已知定义在R上的二次函数满足，且对于定义域内的任意，恒成立.(1)求；(2)若函数且，求函数的最小值.【答案】(1)(2)函数无最小值. 【分析】（1）由已知利用待定系数法即可求解函数解析式；（2）先求出的解析式，然后根据解析式分当时，时，结合基本不等式得的取值情况，从而得最小值．【详解】（1）解：设，由题意得，所以，所以，，则，，，则；（2）解：由（1）得，因为，所以，，且所以当时，，当且仅当，即，取到最小值3；所以当时，，当且仅当，即，取到最大值，此时无最小值.综上，函数无最小值.20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)百辆，最大利润为万 【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【详解】（1）由题意得当时，，当时，，所以,（2）由（1）得当时，，当时，，当时， ，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.21．已知函数为奇函数.（1）求实数a的值并证明是增函数；（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，由定义，所以所以，∴.所以证明：任取，．，．，即．在定义域上为增函数．（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数所以.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．22．已知函数对一切实数，都有成立，且， .（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）在中，令可求得结果；（2）在中，令可得，从而可得的解析式；（3）令,结合函数的图象将关于x的方程有三个不同的实数解转化为方程在内有一个实根，在内有一实根，再利用二次函数图象列式可求得结果.【详解】（1）在中，令，得，又，所以.（2）在中，令，得，得，所以.（3）令，则，则函数的图象如图： 方程化为，即，即，因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知，方程有两个不等实根，不妨设，则，，令，则，此时解得，或，此时无解，综上所述：实数k的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.