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2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二数学试题（解析版）
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2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二数学试题一、单选题1．已知，直线，则直线l的斜率k等于（ ）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根据，由求解.【详解】解：因为，所以，因为直线，所以，故选：B2．已知直线的倾斜角为，在x轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题中条件，先得出直线过点，由倾斜角得出斜率，进而可得出结果.【详解】因为直线的倾斜角为，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率为，且该直线过点，所以该直线的方程为.故选：B.【点睛】本题主要考查求直线的方程，属于基础题型.3．已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p的大小求得其标准方程.【详解】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，所以抛物线的标准方程是，又，所以抛物线方程为，故选C.【点睛】该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p的值求得抛物线的标准方程.4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.5．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解.【详解】因为，，所以，因为平面的法向量为，所以点P到平面的距离为，故选：A.6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数a的取值范围为，故选：A．7．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.二、多选题9．[多选]向量，则下列说法正确的是（ ）A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；【详解】因为 ，所以，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，与方向相反，故B正确；由上可知，故C错误．故选：ABD10．已知直线和圆，则（ ）A．直线l恒过定点B．存在k使得直线l与直线垂直C．直线l与圆O相交D．若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】BC【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.11．（多选）已知方程表示曲线，则（ ）A．当时，曲线一定是椭圆B．当或时，曲线一定是双曲线C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则【答案】BD【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选BD．12．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（ ）A．的范围是 B．存在点，使C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为【答案】AC【分析】对于选项A，利用两点间距离公式表示出后可得答案.对于选项B，问题等价于以为直径的圆与椭圆C是否有交点.对于选项C，将直线AB方程与椭圆C方程联立，通过弦长公式得答案.对于选项D，分析面积表达式可得答案.【详解】由题，设椭圆半焦距为c，则.则，.对于选项A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，则.得，又注意到，则.当P为椭圆左顶点，即时，最小为当P为椭圆右顶点，即时，最大为，故A正确.对于选项B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.则点P存在等价于有解，消去得.则方程组无解，故相应的P不存在，B错误.对于选项C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x有，设，又则.故.当时，即AB垂直于x时，最小为3，故C正确.对于选项D，设点.则，故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.故D错误.故选：AC【点睛】结论点睛，本题考查椭圆中的常见结论，本题涉及的相关结论有（只考虑焦点在x轴上的情况.）:（1）椭圆上的点到焦点的距离最短为（点为离焦点较近的左右顶点），最长为（点为离焦点较远的左右顶点）.（2）若，椭圆上不存在点P，使;，这样的点P有两个;,这样的点有四个.（3）过椭圆焦点的弦中，垂直于x轴的最短.三、填空题13．等差数列，，，的第四项等于_____【答案】9【解析】利用等差中项求出，从求出数列的公差即可求解.【详解】由题得.所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的基本量计算，属于基础题.14．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________．【答案】【分析】求得直线在轴上的截距，则可得，再求得，则离心率得解.【详解】对直线，令，解得；令，解得，故椭圆的右焦点坐标为，上顶点坐标为，则，则，故椭圆离心率.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及直线方程截距的求解，属综合基础题.15．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.【答案】2【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得.所以，经过点的双曲线方程为：，故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，所以，焦点到一条渐近线的距离是，故答案为：16．函数满足，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是___________．【答案】【分析】根据函数的对称性和周期性，作图，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】由，整理可得，则函数关于成中心对称；由，整理可得，则函数关于直线成轴对称；故函数的周期，由题意作在与函数的图象，如下图：由，当时，，在上，函数与函数的图象有三个交点；在上，函数与函数的图象有两个交点；在上，除了第一个周期上有三个交点，其他周期内有两个交点，，则在上，共有505个周期和半个周期，则，即在上，函数与函数的图象有1011个交点，故方程在上的解的个数是.故答案为：.四、解答题17．直线l经过两点(2,1)、(6,3).(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．【答案】（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1【详解】试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方程；（2）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为． （2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以， 所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为【解析】1．直线方程；2．圆的方程18．记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并指出当的取得最小值时对应的n的值.【答案】（1）；（2）；取最小值-60时，n等于5或6.【分析】（1）由等差数列通项公式的求法可得；（2）由等差数列前n项和公式可得，再结合二次函数的最值的求法即可得解.【详解】解：（1）设数列的公差为d,则，，，解得：， ； （2）由（1）得，， 由于，于是，当n取值或时，取最小值，故当n取值或时，取最小值，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n项和及最值，属基础题.19．在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）解：由，可得，则.【解析】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.20．如图，在长方体中，，，，点是棱BC的中点，点在棱上，且（为实数）．(1)求二面角的余弦值；(2)当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小．【答案】(1)；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量及其夹角，即可求得结果；（2）根据（1）中所求平面的法向量以及的坐标，再用向量法求解即可.【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系．则，，，，设平面的法向量为，则，．即，．令，则．∴平面的一个法向量．又平面DAC的一个法向量为，故，即二面角的余弦值为．（2）当时，，，，．设直线EF与平面所成角为，则，即直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．21．已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.【答案】(1)，对称中心为，．(2)单调递减区间为；，．【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】（1）解：根据函数，，的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，，，故有．根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，即，令，，解得，，可得的减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．又，故当，时，取得最大值，即；当，时，取得最小值，即．22．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若恰好被平分，求面积的最大值【答案】(1)4(2)．【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．【详解】（1）在椭圆中，， 所以，；（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，设，中点为，则，，，， 设，则，两式相减得，所以，，，所以，解得，点在椭圆内部，所以，得，因为，所以或，，时，，时，，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二数学试题一、单选题1．已知，直线，则直线l的斜率k等于（ ）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根据，由求解.【详解】解：因为，所以，因为直线，所以，故选：B2．已知直线的倾斜角为，在x轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题中条件，先得出直线过点，由倾斜角得出斜率，进而可得出结果.【详解】因为直线的倾斜角为，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率为，且该直线过点，所以该直线的方程为.故选：B.【点睛】本题主要考查求直线的方程，属于基础题型.3．已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p的大小求得其标准方程.【详解】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，所以抛物线的标准方程是，又，所以抛物线方程为，故选C.【点睛】该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p的值求得抛物线的标准方程.4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.5．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解.【详解】因为，，所以，因为平面的法向量为，所以点P到平面的距离为，故选：A.6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数a的取值范围为，故选：A．7．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.二、多选题9．[多选]向量，则下列说法正确的是（ ）A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；【详解】因为 ，所以，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，与方向相反，故B正确；由上可知，故C错误．故选：ABD10．已知直线和圆，则（ ）A．直线l恒过定点B．存在k使得直线l与直线垂直C．直线l与圆O相交D．若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】BC【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.11．（多选）已知方程表示曲线，则（ ）A．当时，曲线一定是椭圆B．当或时，曲线一定是双曲线C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则【答案】BD【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选BD．12．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（ ）A．的范围是 B．存在点，使C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为【答案】AC【分析】对于选项A，利用两点间距离公式表示出后可得答案.对于选项B，问题等价于以为直径的圆与椭圆C是否有交点.对于选项C，将直线AB方程与椭圆C方程联立，通过弦长公式得答案.对于选项D，分析面积表达式可得答案.【详解】由题，设椭圆半焦距为c，则.则，.对于选项A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，则.得，又注意到，则.当P为椭圆左顶点，即时，最小为当P为椭圆右顶点，即时，最大为，故A正确.对于选项B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.则点P存在等价于有解，消去得.则方程组无解，故相应的P不存在，B错误.对于选项C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x有，设，又则.故.当时，即AB垂直于x时，最小为3，故C正确.对于选项D，设点.则，故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.故D错误.故选：AC【点睛】结论点睛，本题考查椭圆中的常见结论，本题涉及的相关结论有（只考虑焦点在x轴上的情况.）:（1）椭圆上的点到焦点的距离最短为（点为离焦点较近的左右顶点），最长为（点为离焦点较远的左右顶点）.（2）若，椭圆上不存在点P，使;，这样的点P有两个;,这样的点有四个.（3）过椭圆焦点的弦中，垂直于x轴的最短.三、填空题13．等差数列，，，的第四项等于_____【答案】9【解析】利用等差中项求出，从求出数列的公差即可求解.【详解】由题得.所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的基本量计算，属于基础题.14．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________．【答案】【分析】求得直线在轴上的截距，则可得，再求得，则离心率得解.【详解】对直线，令，解得；令，解得，故椭圆的右焦点坐标为，上顶点坐标为，则，则，故椭圆离心率.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及直线方程截距的求解，属综合基础题.15．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.【答案】2【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得.所以，经过点的双曲线方程为：，故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，所以，焦点到一条渐近线的距离是，故答案为：16．函数满足，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是___________．【答案】【分析】根据函数的对称性和周期性，作图，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】由，整理可得，则函数关于成中心对称；由，整理可得，则函数关于直线成轴对称；故函数的周期，由题意作在与函数的图象，如下图：由，当时，，在上，函数与函数的图象有三个交点；在上，函数与函数的图象有两个交点；在上，除了第一个周期上有三个交点，其他周期内有两个交点，，则在上，共有505个周期和半个周期，则，即在上，函数与函数的图象有1011个交点，故方程在上的解的个数是.故答案为：.四、解答题17．直线l经过两点(2,1)、(6,3).(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．【答案】（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1【详解】试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方程；（2）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为． （2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以， 所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为【解析】1．直线方程；2．圆的方程18．记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并指出当的取得最小值时对应的n的值.【答案】（1）；（2）；取最小值-60时，n等于5或6.【分析】（1）由等差数列通项公式的求法可得；（2）由等差数列前n项和公式可得，再结合二次函数的最值的求法即可得解.【详解】解：（1）设数列的公差为d,则，，，解得：， ； （2）由（1）得，， 由于，于是，当n取值或时，取最小值，故当n取值或时，取最小值，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n项和及最值，属基础题.19．在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）解：由，可得，则.【解析】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.20．如图，在长方体中，，，，点是棱BC的中点，点在棱上，且（为实数）．(1)求二面角的余弦值；(2)当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小．【答案】(1)；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量及其夹角，即可求得结果；（2）根据（1）中所求平面的法向量以及的坐标，再用向量法求解即可.【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系．则，，，，设平面的法向量为，则，．即，．令，则．∴平面的一个法向量．又平面DAC的一个法向量为，故，即二面角的余弦值为．（2）当时，，，，．设直线EF与平面所成角为，则，即直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．21．已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.【答案】(1)，对称中心为，．(2)单调递减区间为；，．【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】（1）解：根据函数，，的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，，，故有．根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，即，令，，解得，，可得的减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．又，故当，时，取得最大值，即；当，时，取得最小值，即．22．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若恰好被平分，求面积的最大值【答案】(1)4(2)．【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．【详解】（1）在椭圆中，， 所以，；（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，设，中点为，则，，，， 设，则，两式相减得，所以，，，所以，解得，点在椭圆内部，所以，得，因为，所以或，，时，，时，，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
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