2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高一上学期10月阶段数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高一上学期10月阶段数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求得集合.

【详解】由已知可得.

故选：B.

2．命题P：的否定正确的是 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断求解即可.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题P：的否定正确的是，

故选：C

3．下列函数中，既是偶函数，又在上递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数定义判断各选项奇偶性，再根据图像或函数单调性判断各选项的趋势.

【详解】对于A. ,不是偶函数，故A不符合题意；

对于B. ,不是偶函数，故B不符合题意；

对于C. ，是偶函数，但在上递增，故C不符合题意；

对于D. ，是偶函数，在上递减，故D正确；

故选:D

4．“”的必要不充分条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，，即可得到A正确，其他选项均错误.

【详解】对于A，，，

所以是的必要不充分条件，A正确；

对于B，，，

所以是的充分不必要条件，B错误；

对于C，，

所以是的既不充分也不必要条件，C错误；

对于D，，

所以是的既不充分也不必要条件，D错误；

故选：A

5．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据题意可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】函数的对称轴为直线，由题意可知，，解得.

故选：A.

6．已知，下列各项一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于A根据作差法判断；对于BD举反例判断即可；对于C根据不等式的性质判断即可；

【详解】因为，所以，所以，A错误；

当时， B错误；

因为，所以，C正确；

当时不成立，D错误；

故选：C

7．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值.

【详解】方程有实根，故，

解得或.

方程有实根，故，

解得.

综上所述，，只有D选项符合.

若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，

则，两式相减得，

由于，所以，

所以.

当时，两个方程分别为、，

方程的两个根为；

方程的两个根为；

即方程与有一个公共实数根.

综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.

故选：D

8．定义为上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】由奇函数的性质可得，分析函数的单调性，分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】因为函数为上的奇函数，则，

由可得.

因为函数在上单调递减，则函数在上单调递减，

当时，由可得；

当时，由可得.

故原不等式的解集为或.

故选：B.

二、多选题

9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为 B．存在最值

C．是减函数 D．不具有奇偶性

【答案】CD

【分析】采用待定系数法，由可求得解析式；根据幂函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断方法可得结果.

【详解】设，则，解得：，；

对于A，的定义域为，A错误；

对于B，的值域为，无最值，B错误；

对于C，，在上是减函数，C正确；

对于D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，D正确.

故选：CD.

10．下列各项说法正确的有（    ）

A．可以表示y是x的函数 B．与是相同函数

C． 是奇函数 D． 在定义域内是减函数

【答案】BC

【分析】对于A，B，由函数定义可判断；对于C，由奇函数的定义可判断；对于D，由函数单调性可判断.

【详解】对于A，一个x对应两个y，所以y不是x的函数，故A项错误；

对于B，由两函数的对应法则和定义域都相同，即为相同函数，故B项正确；

对于C，由解析式知定义域关于原点对称，且则，有知：是奇函数，故C项正确；

对于D，函数在和上单调递减，但在定义域内不具有单调性，故D项错误.

故选：BC

11．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．，的最小值为0 B．，在上有零点

C．若，则在上单调递增 D．若的图象关于直线对称，则

【答案】ACD

【分析】对于A，由绝对值的意义可判断；对于B，由单调性可判断；对于C，由绝对值的意义可判断 对于D，由函数图象可判断.

【详解】对于A，由绝对值意义知：f(x)≥0，所以f(x)最小值为0，故A项正确；

对于B，函数在区间（，+∞）单调递增，又，所以f(x)在（0，+∞）上没有零点，故B项错误；

对于C，当a=1时，在（，+∞）上，f(x)=|x+1|=x+1在（，+∞）上单调递增，故C项正确；

对于D，f(x)的图象关于直线x=1对称，则1+a=0，所以a=－1，故D项正确.

故选：ACD

12．已知，为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为1 B．的最大值为3

C．的最小值为2 D．的最小值为4

【答案】AC

【分析】转化为，利用基本不等式进行和积互化，逐个选项进行判断.

【详解】对于A，用基本不等式消去，构建关于的一元二次不等式，得，解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，故A项正确；

对于B，特值验证：取满足条件，但的值显然大于3，故B项错误；

对于C，用基本不等式消去，构建关于的一元二次不等式，得，解得，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为2，故C项正确；

对于D，特值验证：取满足条件，但，所取值显然小于4，故D项错误；

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域是__________．

【答案】

【详解】函数有意义，则：，

求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为

点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

14．已知，则________．

【答案】

【分析】根据分段函数解析式逐步求值即可

【详解】，

，

故答案为：

15．若函数f (x)满足以下三个条件：①f (x)是奇函数，②f (x)是减函数，③f (x)在定义域内有最值；则这样的f (x)的函数解析式可以是f (x)=___________．（填上一个正确答案即可）

【答案】；

【分析】由题意可知：是奇函数，可设，再由是减函数，所以，可令，再根据条件定义的范围可得结果.

【详解】解：由①：是奇函数，可设，又是减函数，所以，可令，因为在定义域内有最值，所以加上对称且为闭区间的定义域即可，所以可得.

故答案为：.（答案不唯一）

16．已知函数,若,都有,则实数的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据题意即为当时,恒成立,分离参数得对恒成立,根据基本不等式即可得到结果.

【详解】根据题意得当时,恒成立,

即对恒成立,

,

当且仅当即时等号成立,

.

故答案为:.

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)若全集，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）先求出，再根据全集，求出补集.

（2）分别求出，根据，得到的取值范围.

【详解】（1）由解得，；

∴

∵全集，

∴或

（2）∵，，

或，

或即为所求．

18．（1）已知是一次函数，满足，求的解析式；

（2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式．

【答案】（1）或 ；（2）．

【分析】（1）根据题意，设一次函数表达式代入恒成立，构造方程解得答案；

（2）利用函数表达式已知，设转化为已知条件，再根据为奇函数解得答案.

【详解】（1）由已知设，

则

∴解得或

∴或者；

（2）①当时，，

由已知得，，

∵是奇函数，∴，

即，

②当时，，即，

综上所述，即为所求．

19．已知函数

(1)记，画出函数的图像（要求标注关键点）；

(2)试用解析法表示（1）中的函数，并写出其单调递增区间和值域．

【答案】(1)作图见解析

(2)；函数的单调递增区间是（－∞，0]，[1，2]；值域为（－∞，1]

【分析】（1）直接画图即可；

（2）根据函数的定义作出图象，结合图象写出单调区间与值域.

【详解】（1）如图所示即为所求：

（2）由（1）得，当时，；

当时，；

当时，；

综上所述用解析法表示，函数

由图可知，函数的单调递增区间是（－∞，0]，[1，2]；

当或时，函数取得最大值，且最大值为1；

由二次函数知识知，函数没有最小值，故值域为（－∞，1]．

20．函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地刻画一类事物中的变量关系和规律．

(1)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式描述．

(2)求第（1）问中的函数的最大值，并解释其实际意义．

【答案】(1)答案见解析；

(2)最大值2，实际意义见解析.

【分析】（1）根据解析式，赋予现实意义并满足解析即可；

（2）利用二次函数求最值.

【详解】（1）由可构建如下情境：

已知的两条直角边之和为4，分别设两直角边为，面积即为y；．

则该直角三角形的面积为，其中；．

（说明：本题还可以构建的情境有：任意三角形，矩形，菱形，梯形，平行四边形等平面多边形的面积，只要所给情境能用该函数描述即可（答案不唯一））

（2）∵

∴当时，；此时AB=AC=2；

即当该直角三角形的两条直角边相等时，三角形的面积取最大值2．

21．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(2)当时，求函数在区间上的最大值；

【答案】(1)函数是奇函数；证明见解析.

(2).

【详解】（1）定义域为；

∵，都有

且.

∴函数是奇函数．

（2）设，．

∵

．

由及得，

∴，即．

∴函数在区间上单调递增；

∴当时，函数取最大值，最大值为

22．已知函数是奇函数．

(1)求实数、的值；

(2)解不等式；

(3)若，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数的奇偶性，利用赋值法求参数值；

（2）分情况解不等式即可；

（3），使得成立，即，求函数的最大值，即可得参数的取值范围.

【详解】（1）由函数为奇函数，

则，，

即，，

解得，，经检验符合题意；

（2）由（1）得，，

即或，

解得：或，

所以的解集为；

（3），使得成立，只需，，

当时，，此时当或时，；

当时，，此时当时，；

综上所述，当时，，

故只需，解得.