第二章 二次函数【过关测试原卷版+解析版】-2022-2023学年九年级数学下册单元复习（北师大版）

第二章  二次函数 

过关测试

【知识梳理】

知识点1 二次函数的定义

知识点一、二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
知识点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

知识点2 二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：

2. 抛物线的三要素：
   　　开口方向、对称轴、顶点.
   　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
   　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线

知识点3二次函数的解析式

　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

知识点诠释：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点4 二次函数的图象与系数的关系

抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则

知识点5 二次函数与方程的综合

函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
 

知识点6 用图象法去求方程的根

　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

知识点诠释：

    二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

　  (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
 

知识点7二次函数的应用

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

知识点诠释：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
 

【过关练习】

一、单选题

1．关于抛物线，下列说法错误的是（    ）

A．该抛物线经过原点

B．该抛物线的对称轴是直线

C．该抛物线的最大值为1

D．当时，随增大而减小

2．在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

3．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）

A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3

4．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线，那么此抛物线是（    ）．

A． B．

C． D．

5．直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．已知二次函数的解析式为，若函数图象过和两点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）

A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞

8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数y＝x2、y＝ax2分别交于A、B和C、D，若CD＝2AB，则a为（　　）

A．4 B． C．2 D．

9．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）

A． B．

C．周长的最小值是 D．是的一个根

10．直线经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（    ）

A．

B．反比例函数，当时的函数值随增大而减小

C．一元二次方程的两根之和大于零

D．抛物线的对称轴过第一、四象限

11．已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3)．不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2

12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1.5，与x轴的一个交点在(﹣4，0)和(﹣3，0)之间，有以下结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a﹣b＝0；④4b+3c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___．

14．用，，表示二次函数（其中，，为常数且）的顶点坐标为（_，_）．

15．抛物线（为常数）与轴交点的个数是______．

16．在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线，若对于任意，都有，则m的取值范围为________．

17．对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．

18．已知抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根是_______．

19．若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．

20．已知抛物线经过点，点和点，现将该抛物线向右平移m个单位后与直线有且只有一个交点，则______．

21．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论：

①无论取何实数，的值都小于0；

②该抛物线的顶点始终在直线上；

③当时，随的增大而增大，则；

④该抛物线上有两点，，若，，则．其中一定正确的是______（填序号即可）．

22．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．

23．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

对于下列结论：

①抛物线开口向下；

②抛物线的对称轴为直线；

③方程的两根为0和2；

④当时，x的取值范围是或．

正确的是__________．

24．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则，正确的结论是________．（填写序号）

三、解答题

25．某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表：

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？

26．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　     　；

（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　     　．

27．用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)

（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；

（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积.

28．已知二次函数的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线 ． 

（1）求m、n的值；

（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．

29．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；

（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

30．如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．

（1）求m的值和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；

（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

31．已知，二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)

（1）当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；

（2）已知点()，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；

（3）已知a＞0，若点A（b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围．

32．若抛物线对应方程的一个根为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，若抛物线与x轴的一个交点是A（左交点），与y轴交于点C，点P是线段上一动点，过点P作平行于y轴的直线与交于点Q，设的面积为S，求S的最大值及取得最大值时点P的坐标；

（3）若点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D，M在线段上，点N在线段上，是的垂直平分线，求点M的坐标．