高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质复习练习题

这是一份高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质复习练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.2（附加）函数的周期性与对称性
一、单选题
1．已知是R上的奇函数，且，当时，，则（       ）
A．3 B． C．255 D．
【答案】B
【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.
【解析】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，
故选：B
2．已知是上的奇函数，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意求得函数是周期为4的周期函数，得到，结合，得到，进而求得的值，即可求解.
【解析】由题意，函数为上的奇函数，可得，
所以，所以是周期为4的周期函数，
所以，
因为，令，得，
因为为上的奇函数，所以，
所以.
故选：A.
3．已知定义在上的偶函数满足，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意, 分析可得函数是周期为4的周期函数, 由此可得，，用赋值法求出的值, 由此计算即可得答案.
【解析】根据题意, 函数满足, 则,
又由为偶函数，则有,
则有,
即函数是周期为4的周期函数,
，令可得.
，，
所以
故选：B
4．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
【答案】B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
5．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（       ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】C
【分析】对于A：根据题意结合奇函数可得，结合对称中心结论，则关于成中心对称理解判断；对于B：根据对称轴的结论：，则关于成轴对称，结合题意理解判断；对于C：根据题意可得：在内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D：整理可得，则的周期为4，结合单调性整理分析．
【解析】，即，故关于成中心对称，不正确；
∵，则关于成轴对称，错误；
根据题意可得：在内单调递增
∵关于成轴对称，（2，0）中心对称，则在内单调递减；正确；
又∵，则
∴，可知的周期为4
则错误
故选：C．
6．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
7．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合函数对称性可求出，进而求得结果.
【解析】解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，
若，则.
故，即.
故选：C.
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用奇函数求得的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合的对称性，有在中，或恒成立，进而求a的范围.
【解析】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，
∴当时，，即，而；
当时，，即，而；
∴综上，有，可得如下函数图象，

∴对任意的有成立，
即在中，或或恒成立，
∴或恒成立，即有或.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由已知求得的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.

二、多选题
9．设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（       ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．的一个周期为8
【答案】ABD
【分析】由、可推出的周期为8，利用对称性、周期性求、判断奇偶性及时的单调性，即可得答案.
【解析】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，D正确；
，A正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；
由时递增，则时递增，显然C错误.
故选：ABD
10．已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，则下列结论正确的是（       ）
A．在上为减函数
B．在上
C．在上为增函数
D．关于对称
【答案】BD
【分析】由已知可得的图象关于中心对称，且关于轴对称，周期为，则可依次判断每个选项正误.
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
所以，
又，
所以，
所以函数的周期为，其图象关于轴对称，
当时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，故A错误，
因为当时，，
在小于0，根据对称性可得在小于0，故B正确；
的图象关于轴对称，所以，，
所以不可能在上为增函数，故C错误；
因为，，
所以
所以的图象关于轴对称，
因为的周期为，所以关于对称，故D正确.
故选：BD.
11．已知函数，其中表示不大于的最大整数，如：，，则（       ）
A．是增函数 B．是周期函数
C．的值域为 D．是偶函数
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用题中的定义求出函数的值域，可判断C选项.
【解析】对于A选项，因为，，所以，函数不是增函数，A错；
对于B选项，对任意的，存在，使得，则，
所以，，则，
所以，，
故函数为周期函数，且周期为，B对；
对于C选项，对任意的，存在，使得，则，
所以，，C对；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
因为，
，
所以，，故函数不是偶函数，D错.
故选：BC.
12．已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（       ）
A．函数是偶函数 B．函数在上单调递增
C．x=2是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;
【解析】因为定义在R上的函数 满足，即，
故函数是奇函数，故A错误；
因为，故，而，
所以，即的图象关于对称，
则x=2是函数的对称轴，故C正确；
因为，所以，
故12是函数的周期；
对任意的 ，当 时，都有 ，
即，
故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，
又因为的图象关于对称，故时，单调递增，
因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，
故函数在上单调递增，故B正确，
作出函数的大致图象如图示：

结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.

三、填空题
13．对，函数都有，则___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由已知关系式可知关于点对称，由此可得函数解析式.
【解析】，图象关于点对称，则.
故答案为：（答案不唯一）.
14．已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
【答案】①③④
【分析】由可得的图像关于直线对称，然后结合为偶函数可判断出答案.
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，故①正确，②错误；
因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，
又，所以，
所以，故③正确；
因为且为偶函数，所以为偶函数，故④正确．
故答案为：①③④
15．已知函数的图像关于对称，则t的值是_______
【答案】5
【分析】函数的图像关于对称，则，代入即可求解．
【解析】又因为函数的图像关于对称，
所以，则
所以
故答案为：
16．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数b的最大值为______．
【答案】##
【分析】根据题设条件可得的图象关于呈中心对称，再根据奇偶性求出在上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.
【解析】解：因为，故的图象关于呈中心对称，
因为当时，，
当时，，
故的图象如图所示：

结合图象可得：只需当时，即可，
即，故，
故答案为：.

四、解答题
17．已知是定义在上的函数，满足.
(1)若，求；
(2)求证：的周期为4；
(3)当时，，求在时的解析式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出，然后再求即可；
（2）利用函数周期性的定义，即可证明；
（3）根据以及题设条件，先求出，再根据，即可解出在时的解析式．
(1)
∵，
∴.
(2)
∵对任意的，满足
∴，
∴函数是以4为周期的周期函数.
(3)
设，则，
∵当时，，
∴当时，，
又∵，
∴
∴.
18．定义域为R的函数满足：对任意实数x，y，均有，且，当时，.
(1)求，的值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法求解（2）当时，，则，再结合已知求解.
（1）
（1）令，则，解得.       
令，则，解得，
令，，则，解得.
（2）
（2）当时，，则.
因为，
所以.
19．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；
（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【解析】（1）证明：，．
是周期为4的周期函数．
（2）当，时，，，由已知得，
又是奇函数，，．
又当，时，，，．
又是周期为4的周期函数，
．
从而求得，时，．
（3），（2），（1），（3）．又是周期为4的周期函数，
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

．
而，
所以.
20．已知二次函数的图象与y轴交于点，且满足.
（1）求的解析式，并求在上的最大值；
（2）若在上为增函数，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】根据二次函数的图象与y轴交于点，求得c，根据，得函数关于对称，即可求得a，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；
（2）根据二次函数得单调性即可的解.
【解析】解：（1）因为二次函数为的图象与y轴交于点，故，
又因为函数满足，
所以函数关于对称，即，所以，
故二次函数的解析式为：
由在单调递减，在单调递增，
又，
所以；
（2）因为函数在上为增函数，且函数图象的对称轴为，
即二次函数在上递增，
所以，故.
21．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.
（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；
（2）对于整数，当时，求函数的解析式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明成立得解；（2）先求解时，，再通过周期为2得可求解当时函数的解析式
【解析】解：（1）因为，
所以：是以2为周期的函数；
（2）∵当时，，函数是定义在上的偶函数
∴当时，，
∴时，，
∵是以2为周期的函数，即，
设，则，
，
即.
22．已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.
(1)
解：因为，
所以函数的对称轴为：，
函数的对称轴为：，所以有，
即.
(2)
解：，
该函数的对称轴为：，
当时，函数在上单调递减，解得 ；
当时，函数在上单调递增，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
23．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
(1)求证：点是函数图象的对称中心；
(2)已知函数，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)8.
【分析】（1）令，利用单调性的定义证明是奇函数即可；
（2）根据条件可得，即，将数字直接代入计算即可.
(1)
证明：因为，令，
所以

即，
所以是奇函数．
由题意，点是函数图象的对称中心．
(2)
由（1）知函数的图像的对称中心为，
所以，
所以，
所以，
所以．
24．设函数.
(1)若对任意实数，有成立，且当时，；
①判断函数的增减性，并证明；
②解不等式：；
(2)证明：“图象关于直线对称”的充要条件是“任意给定的，”.
【答案】(1)①函数为R上增函数，证明见解析；②
(2)证明见解析
【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到，再利用单调性和进行变形求解；
（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.
(1)
解：①函数为R上增函数，证明如下：
由，
得，
对于，且，则，
则，
所以当时，有，
所以函数为R上增函数.
②由①得：可化为，
取，得，解得，
又因为函数为R上增函数，
所以，解得
即的解集为.
(2)
证明：因为图象关于直线对称，
所以，令，
则，，
所以，即成立；
若，令，则，
即，即成立，
即图象关于直线对称；
所以“图象关于直线对称”的充要条件
是“任意给定的，”.
25．已知函数.
(1)利用函数单调性定义证明在区间上的单调性；
(2)请利用（1）的结论，说出在区间上的单调性（不用证明）；
(3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数在区间上的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)在区间上单调递增
(3)
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；
（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.
(1)
设，是区间上的任意两个实数，且，则

由，得，
所以，即.
故在区间上单调递增.
(2)
由反比例函数向左平移得到
所以图像关于点对称
由（1）知在区间上单调递增
所以在区间上单调递增.
(3)
因为，
由（1）（2）知在区间上单调递增
所以，.
即在区间上的值域为.
26．已知是定义在上的函数，满足.
（1）若，求；
（2）证明：2是函数的周期；
（3）当时，，求在时的解析式，并写出在时的解析式.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当时，；当时，.
【分析】（1）先求出，再计算即可；
（2）令取代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；
（3）由得，求出代入化简后求出，即可求出一个周期上的解析式，利用函数的周期性求出在时的解析式；
【解析】（1），，
；
（2）因为，令取得，
所以，
所以，2是函数的周期.
（3）当时，，则，
又，即，解得.
所以，当时，.
所以，.
因为的周期为2，所以当时，
.
【点睛】本题考查函数周期性的应用，解题的关键是正确计算出函数的周期，并能正确利用函数的周期进行计算和求解.
27．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可知对任意的，，根据对称中心的定义即可证明结果；
（2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则，根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出结果.
(1)
解： ，.
.
即对任意的，都有成立.
函数的图像关于点对称.
(2)
解：若对任意的，总存在，使得成立，
则.
，易知在上单调递增..
时，，
，即函数的图象过对称中心.
当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增.函数在上单调递增.
，，即.
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.
由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
或.，，
易知.即时符合条件.
当，即时，函数在上单调递减.
由对称性，知在上单调递减.函数在上单调递减.
，，即.
综上，实数的取值范围为.