第21讲直角三角形与勾股定理（导学案+教案+精炼）

第21讲直角三角形与勾股定理

一、知识梳理

直角三角形的概念、性质与判定

勾股定理及逆定理

互逆命题

命题、定义、定理、公理

二、题型、技巧归纳

考点1利用勾股定理求线段的长度

例1   将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为(　　)

A、3CM                                  B、6CM

C、CM                               D、CM

技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．

考点2实际问题中勾股定理的应用

例2  一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

(3)求点B1到最短路径的距离．

技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．

考点3勾股定理逆定理的应用

例3  已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(　　)

A．②       B．①②        C．①③  D．②③

技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．

考点4定义、命题、定理、反证法

例4  下列命题为假命题的是(　　)

A．三角形三个内角的和等于180°

B．三角形两边之和大于第三边

C．三角形两边的平方和等于第三边的平方

D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半

技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．

三、随堂检测

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)

A.      B.      C.     D.

2、下列命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号)

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

3、如图以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．

4、已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．

参考答案

例1、 D

例2、解：

(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝＝.

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝＝.

l1>l2，最短路径的长是l2＝.

(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝·AA1＝·5＝

例3、②③[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．

①∵22＋32＝13≠42，

∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；

②∵32＋42＝52 ，

∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；

③∵12＋(√3)2＝22，

∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．

故构成直角三角形的有②③.

故选D.

例4、C [解析]  选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选.

随堂检测

1、

在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，

根据勾股定理得：AB＝＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，

又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

∴CD＝＝＝，

则点C到AB的距离是.

故选A.

2、①④

3、解：记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1＋S2＝S3.理由如下：

S1＝π＝πBC2；S2＝π＝πAC2；

S3＝π＝πAB2.

而由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，

于是可得S1＋S2＝S3.

4、[解析] 第1个三角形的面积为，第2个三角形的面积为×()2＝1，第3个三角形的面积为×22＝2，第4个三角形的面积为×()2＝4，第5个三角形的面积为×42＝8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为＋1＋2＋4＋8＝.