第22讲相似三角形及其应用（导学案+教案+精炼）

第22讲: 相似三角形及其应用

一、复习目标

1. 复习相似三角形的概念。

2. 复习相似三角形的性质。

3. 复习相似三角形的判定。

4. 复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题。

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。

难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题。

四、教学过程

（一）知识梳理

相似图形的有关概念

比例线段

平行线分线段成比例定理

相似三角形的判定

相似三角形及相似多边形的性质

位似

相似三角形的应用

（二）题型、技巧归纳

考点1比例线段

技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键

考点2相似三角形的性质及其应用

技巧归纳：1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 利用相似三角形性质探求比值关系．

考点3三角形相似的判定方法及其应用

技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．

考点4位似

技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。

（三）典例精讲

例1 如图已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)

A．7　　　B．7.5　　

C．8　　　D．8.5

[解析] 因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.

例2  如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.

(1)求证：

 (2)求这个矩形EFGH的周长．

[解析] (1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．

(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．

解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，

∴EF∥GH.

∴∠AHG＝∠ABC.

又∵∠HAG＝∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，∴ ＝.

(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.

可得＝，解得x＝12，2x＝24.

所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．

例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)求EF的长．

[解析] (1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；

(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.

∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；

(2)∵△ABE∽△DEF，

∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，

∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，

∴＝，

解得EF＝.

例4  如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(　　)

A、         B、            C、        D、

[解析] 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．

∵在正方形ABCD中，AC＝3，

∴BC＝AB＝3.

延长A′B′交BC于点E，

∵点A′的坐标为(1，2)，

∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，

∴正方形A′B′C′D′的边长为1，

∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.

故选B.

（四）归纳小结

本部分内容要求熟练掌握相似三角形的概念、性质、判定。

（五）随堂检测

1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__2.3__m.

2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．

3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为 2．

五、板书设计

相似三角形

六、作业布置

相似三角形及其应用课时作业

七、教学反思

借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。