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    第14讲二次函数的图象及其性质(导学案+教案+精炼)

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    第14讲二次函数的图象及其性质

    一、知识梳理

    二次函数的概念

    定义

    一般地,如果____________ (abc是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数

    二次函数

    yax2bxc

    的结构特征

    等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2;

    二次项系数a≠0

    二次函数的图象及画法

    图象

    二次函数yax2bxc(a≠0)的图象是以____________为顶点,以直线______________为对称轴的抛物线

    用描点法画

    二次函数

    yax2bxc

    的图象的步骤

    (1)用配方法化成________________的形式;

    (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;

    (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

     

    考点3   二次函数的性质

    函数

    二次函数yax2bxc(abc为常数,a≠0)

    a>0

    a<0

    图象

    ______________

    ______________

    开口

    方向

    抛物线开口向上,并向上无限延伸

    抛物线开口向下,并向下无限延伸

    对称轴

    直线x=-

    直线x=-

    顶点坐标

    增减性

    在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而增大,简记左减右增

    在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记左增右减

     

    函数

    二次函数yax2bxc(abc为常数,a≠0)

    a>0

    a<0

    最值

    抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值

    抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值

    二次项系数a的特性

    的大小决定抛物线的开口大小;越大,抛物线的开口越小,越小,抛物线的开口越大

    常数项c的意义

    c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,yc

    用待定系数法求二次函数的解析式

    方法

    适用条件及求法

    1.一般式

    若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为yax2bxc,将已知三个点的坐标代入,求出abc的值

    2.顶点式

    若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为ya(xh)2k,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式

    3.交点式

    若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般形式

    二、题型、技巧归纳

    考点1二次函数的定义

    1若是二次函数,则m=(  )

    A.7            B.-1  

    C.-1或7      D.以上都不对

    技巧归纳:利用二次函数的定义,二次函数中自变量的最高次数是2,且二次项的系数不为0.

    考点2二次函数的图象与性质

    例2 

    (1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;

    (2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;

    (3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);

    (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来.

     

     

    技巧归纳:(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:配方法;顶点公式法,顶点坐标为.

    (2)画抛物线yax2bxc的草图,要确定五个方面,即开口方向;对称轴;顶点;y轴交点;x轴交点.

    考点3二次函数的解析式的求法

    例3   已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为 ,求二次函数的解析式.

     

    技巧归纳:

    二次函数的关系式有三种:

    1.一般式y=ax2+bx+c;

    2.顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;

    3.交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.此题属于第三种情形.

    三、随堂检测

    1、已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线x=-3;其图象的顶点坐标为(3,-1);当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有(  )

    A.1个  B.2个

    C.3个  D.4个

    2、设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )

    A.y1>y2>y3  B.y1>y3>y2

    C.y3>y2>y1  D.y3>y1>y2

    3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩,函数h=4.9t一3.5t2 (t的单位:s,h的单位:m)可以描述她跳跃时重心高度的变化,则她起跳后到重心最高时所用的时间是   (    ) 

    A. 0.71 s             B 0.70 s       C. 0.63 s         D 0.36 s

    4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是        cm2.

    5、二次函数的最小值是         .

    6、函数取得最大值时,______.

    7、 已知实数x、y满足x2-2x+4y=5,则x+2y的最大值为         .


    参考答案

    例1、A

    例2、解:(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1.

    (2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表:

    x

    0

    1

    2

    3

    4

     

    y

    3

    0

    -1

    0

    3

    描点作图如下图.

    (3)y1>y2.

    (4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根

    例3、抛物线与x轴的两个交点为A(-5,0),B(1,0),由对称性可知,它的对称轴为直线x==-2,抛物线的顶点为P,已知抛物线上的三点A(-5,0),B(1,0),P,设一般式,设y=ax2+bx+c,把A(-5,0),B(1,0),P的坐标代入,得

      解得

    所求抛物线的关系式为y=-x2-2x+.

    随堂检测

    1、A

    2、A

    3、B

    提示:利用顶点公式求解

    4、12.5

    提示:设分成x和(20-x)两段,则边长分别是,得函数求最大值

    5、-4

    提示:利用顶点公式求解

    6、

    提示:先化为一般形式,再用顶点公式求解

    7、

    提示:由,再利用顶点公式求解

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