丰富的图形世界（二）

【教学目标】

一、正方体的展开与折叠专题提高

【知识点】：1、正方体的平面展开图：11种

1-4-1型

2-3-1型

3-3型                          2-2-2型

2、正方体展开图判断口诀：

一线不过四，田凹应弃之。

相间Z端是对面，

间二拐角邻面知。

【例题讲解】★☆☆例题1.如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是（　　）

A．“战” B．“疫” C．“情” D．“颂”

★☆☆练习1．2020年是不寻常的一年，病毒无情人有情，很多最美逆行者奔赴疫情的前线，不顾自己的安危令我们感动．宜传委员小明在一个正方体的每个面上分别写上一个汉字，组成“共同抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与汉字“抗”相对的面上的汉字是（　　）

A．共 B．同 C．疫 D．情

★☆☆练习2．下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）

A． B． 

C． D．

【例题讲解】★★☆例题2. 某正方体的平面展开图如图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（　　）

A． B． C． D．

★★☆练习1．如图所示，正方体的展开图为（　　）

A． B． 

C． D．

★★☆练习2.将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（　　）

A． B． C． D．

【例题讲解】★★★例题3. 如图，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B点的位置为（　　）

A．B1 B．B2 C．B3 D．B4

★★★练习1.如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（　　）

A．9和13 B．2和9 C．1和13 D．2和8

★★★练习2.如图表示一个正方体的平面展开图，把它折成一个正方体时，与顶点K重合的点是（　　）

A．点F、点N B．点F、点B C．点F、点M D．点F、点A

【例题讲解】★★☆例题4. 有一个正方体，将它的各个面上标上字母a、b、c、d、e、f．有甲、乙、丙三个同学站在不同的角度观察，结果如图．问这个正方体各个面上的字母各是什么字母．即：

写出a，d，f的对面分别是　 　，　 　，　 　．

★★☆练习1.一个正方体6个面分别写着1、2、3、4、5、6，根据下列摆放的三种情况，那么每个数对面上的数是几？

★★☆练习2.有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？

【例题讲解】★★☆例题5.如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．

★★☆练习1．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．

（1）共有　 　种弥补方法；

（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；

（3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）

★★☆练习2．如图是一个正方体纸盒的展开图，如果这个正方体纸盒相对两个面上的代数式相等，求x，y，z的值．

【考点，知识点，易错点总结】：

正方体展开与折叠，熟练判断展开图形式是否正确，以及展开中邻对面是否符合要求，以及对空间几何的想能力的考察；

二、三视图常考巩固题型及面积、体积问题

【知识点】：三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

【例题讲解】★☆☆例题1：图中为某几何体的分别从上面、前面、左边看到的三个图形，该几何体是（　　）

A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥

★☆☆练习1．已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（　　）

A． B． 

C． D．

★☆☆练习2．如图所示的主视图对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．

【例题讲解】★★☆例题2.如图，是由大小一样的小立方块摆成的立体图形的三视图，则摆成这个立体图形所需的小立方块的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

★★☆练习1．如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是　 　个．

★★☆练习2.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将从正面、左面、上面看这堆货物得到的平面图形画了出来．你能根据这三个图形帮他清点一下箱子的数量吗？

【例题讲解】★★☆例题3. 如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

★★☆练习1．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

★★☆练习2.一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．

（1）求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；

（2）这个几何体是由多少块小立方体组成的？

【例题讲解】★★☆例题4.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由　 　个这样的正方体组成．

★★☆练习1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从左面看到的图形如图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为　　，最少为　    ．

★★☆练习2．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体需要小正方体最多几块？最少几块？

答：最多　 　 块； 最少　 　块．

【例题讲解】★★☆例题5. 棱长为a的正方体摆放成如图的形状，问：

（1）如图摆放成的几何体，共有几个正方体？表面积是多少？

（2）如果将正方体按如图的方式摆放4层，共有几个正方体？表面积是多少？

（3）若摆放成n层，那么几何体表面积又是多少．

★★☆练习1.10个棱长为acm的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是多少？

★★☆练习2. 由8个边长为1的相同小立方块搭成的几何体如图所示：

（1）请画出它的三视图？

（2）请计算它的表面积？

【例题讲解】★★☆例题6．用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．

（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体．观察其中三面被涂色的有a个，如图①，那么a等于　  　；

（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有a个，各面都没有涂色的b个，如图②，那么a+b＝　  　；

（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③，那么b+c＝　  　．

★★☆练习1．如图是一个我们喜欢玩的魔方，它是由若干个小正方体组成的一个大正方体，在这个大正方体的六个面上，分别涂有6种不同的颜色，根据你的观察与想象，回答下列问题：

（1）有几个小正方体只有一个面被涂有颜色？

（2）有几个小正方体有两个面被涂有颜色？

（3）有几个小正方体有三个面被涂有颜色？

★★☆练习2．探究：将一个正方体表面全部涂上颜色

（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为Xi，那么X3＝　 　，X2＝　 　，X1＝　   　，X0＝　  　；

（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么X3＝　 　，X2＝　  　，Xl＝　  　，X0＝　 　；

（3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n3个小正方体，那么：X3＝　 　，X2＝　    　，X1＝　    　，X0＝　   　；

【例题讲解】★★☆例题7．如图是一个几何体的三视图．

（1）判断这个几何体的形状；

（2）根据图中数据（单位：cm），求它的表面积和体积．

★★☆练习1．如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．

（1）这个几何体的名称是　　；

（2）根据图中尺寸，求这个几何体的表面积．（结果保留π）

★★☆练习2．如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．

（1）写出这个几何体的名称；

（2）画出它的一种表面展开图；

（3）若从正面看的高为4cm，从上面看三角形的边长都为3cm，求这个几何体的侧面积．

【考点，知识点，易错点总结】：

根据三视图判断正方体的个数，以及最多最少问题，先看俯视图，再看主视图填数，最后看左视图去多余（主视图，左视图顺序根据情况可调换顺序）

正方体涂色问题，根据实图以及三视图，确定能够看到的面，以及被挡道的面，确定露在外面的面。

根据三视图求立体面积或体积，根据视图先确定长宽高等信息，再带入公式求解。

【课后练习】

【巩固练习】

1.★★☆图1是一个小正方体的表面展开图，小正方形从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是　　．

2★★☆.如图，若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求x+y+z的值．

3★★☆.一个物体是由棱长为3cm的正方体模型堆砌而成的，其视图如图：

（1）请在俯视图上标出小正方体的个数

（2）求出该物体的体积是多少．

（3）该物体的表面积是多少？

4．★★☆一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，则该几何体从左面看到的形状图不可能是（　　）

A． B． 

C． D．

5．★★☆如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成？（　　）

A．12个 B．13个 C．14个 D．15个

6. ★★☆一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则该几何体最少是用　  　个小立方块搭成的．

7. ★★☆如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）

A．   B．  C． D．

8. ★★☆下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（　　）

A． B． C． D．

9. ★★☆一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如图所示，则该正方体可能是（　　）

A． B． C． D．

10．★★☆如图是正方体的表面展开图，则在原正方体中，与“中”字相对的面上的字是（　　）

A．国 B．必 C．胜 D．疫

11．★★☆如图，这是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，请你求出x﹣y的值．

12．★★☆如图是一个正方体纸盒的展开图，请把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．

13★☆☆．如图，是一个几何体的主视图和左视图，则这个几何体可能为（　　）

A． B． C． D．

14．★☆☆诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．如图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（　　）

A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管 

B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管 

C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管 

D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管

15．★☆☆如图是某工厂要设计生产的零件的主视图，这个零件可能是（　　）

A． B． C． D．

16．★☆☆如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（　　）

A． B． C． D．

17．★★☆如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（　　）

A．6 B．9 C．12 D．18

18．★★☆如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（　　）

A． B． 

C． D．

19. ★★☆图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点A重合的点为（　　）

A．点C和点N B．点B和点M C．点C和点M D．点B和点N

20．★★☆图2是图1所示正方体的平面展开图，若正方体上的A点在平面展开图上对应位置如图2所示，则正方体上B点在平面展开图上的位置是（　　）

A．B． C．D．

21．★★☆如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图．

（1）画出这个几何体的一种表面展开图；

（2）求该正六角螺母的侧面积．

22．★★★由8个边长为1的相同小立方块搭成的几何体如图所示：

（1）请画出它的三视图？

（2）请计算它的表面积？

23．★★☆一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：

（1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；

（2）求该几何体的体积．

24．★★☆如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积（不取近似值）

25. ★★☆（1）根据物体的三视图描述物体的形状；

（2）要给物体的表面全部涂上防腐材料，根据图上数据计算需要涂上防腐材料的面积．（精确到1cm2）

26．★★☆一个几何体的三视图如图所示．求该几何体的表面积．