高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，易错辨析，典例剖析，∴BM⊥平面PAM，∴AN⊥平面PBM，随堂小测，解析①错②③对，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.理解直线与平面垂直的定义.2.理解直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明.4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题.5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
知识点一　直线与平面垂直的定义
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，直线与平面一定垂直吗？答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.
知识点三　直线与平面所成的角
知识点四　直线与平面垂直的性质定理
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
1.若直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　)2.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(　　)3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(　　)
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
例1　(多选)下列命题中，不正确的是A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
ABD解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
二　直线与平面垂直的判定
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明　∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥平面MBD.
证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.
四、求直线与平面所成的角
例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.
1.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
2.(多选)下列命题正确的是
3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为A.4 B.3 C.2 D.1
解析　如图，∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.
5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
1.知识清单：(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理.(3)直线与平面垂直的性质定理.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.