第18讲 一元一次方程中的新定义问题（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第18讲 一元一次方程中的新定义问题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 新运算型
典例1（2022春•唐河县月考）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求3※（﹣2）的值；
（2）若5※（x﹣2）＝11，求x的值．
思路引领：（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
解：（1）3※（﹣2）
＝3﹣2×（﹣2）
＝3+4
＝7；
（2）5※（x﹣2）＝11，
5﹣2（x﹣2）＝11，
5﹣2x+4＝11，
﹣2x＝11﹣5﹣4，
﹣2x＝2，
x＝﹣1．
解题秘籍：本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
典例2（2020秋•润州区校级月考）规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc．例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，请你计算5624的值；
（2）按照这个规定，当2x−42x+212=5时，求x的值．
思路引领：（1）根据题中给出的例子列式计算即可；
（2）根据题中给出的例子列方程计算即可．
解：（1）5624=5×4﹣2×6＝20﹣12＝8；
（2）根据题意可得：12(2x−4)−2(x+2)=5，
去括号得：x﹣2﹣2x﹣4＝5，
移项得：x﹣2x＝5+2+4，
合并同类项得：﹣x＝11，
系数化为1得：x＝﹣11．
解题秘籍：本题考查的是一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解答此题的关键．
针对训练1
1．（2021秋•南关区校级期末）阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．
（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为 　 　；
（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；
（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为 　 　；
（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，12☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为 　 　．
思路引领：（1）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（2）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（3）直接利用已知运算法则列方程解答即可；
（4）直接利用已知运算法则列方程解答即可．
解：（1）由题意可得：1☆2☆3＝1+2﹣1×3＝3﹣3＝0，
故答案为：0；
（2）由题意可得：
（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3
＝（x﹣1）+（x2﹣2）﹣3（x﹣1）
＝x﹣1+x2﹣2﹣3x+3
＝x2﹣2x；
（3）由题意可得：2+x﹣6＝4+1﹣4x，
移项，得x+4x＝4+1+6﹣2，
合并同类项，得5x＝9，
系数化为1，得x=95；
故答案为：95；
（4）由题意可得：1﹣x+2x+1+2（1﹣x）＝m，
解得m＝4﹣x，
∴12☆m☆（m﹣1）＝2可化为12☆（4﹣x）☆（3﹣x）＝2，
即12+4﹣x−12（3﹣x）＝2，
整理，得−12x=−1，
解得x＝2．
故答案为：2．
解题秘籍：此题主要考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2019秋•新郑市期末）规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求2x−13∗1+x2=1的解．
思路引领：首先根据题意，可得：2−2x−13−1+x2=1；然后根据解一元一次方程的方法，求出方程的解是多少即可．
解：∵a*b＝2﹣a﹣b，且2x−13∗1+x2=1，
∴2−2x−13−1+x2=1，
去分母，可得：12﹣2（2x﹣1）﹣3（1+x）＝6，
去括号，可得：12﹣4x+2﹣3﹣3x＝6，
移项，可得：﹣4x﹣3x＝6﹣12﹣2+3，
合并同类项，可得：﹣7x＝﹣5，
系数化为1，可得：x=57．
解题秘籍：此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
3．（2020秋•张家港市期中）规定“△”是一种新的运算法则，满足：a△b＝ab﹣3b．例如：2△（﹣3）＝2×（﹣3）﹣3×（﹣3）＝﹣6+9＝3．
（1）求﹣5△2的值；
（2）若﹣3△（x+1）＝x△（﹣2），求x的值．
思路引领：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
解：（1）﹣5△2＝﹣5×2﹣3×2
＝﹣10﹣6
＝﹣16；
（2）﹣3△（x+1）＝x△（﹣2），
可得：﹣3（x+1）﹣3（x+1）＝﹣2x﹣3×（﹣2），
﹣3x﹣3﹣3x﹣3＝﹣2x+6，
﹣3x﹣3x+2x＝6+3+3，
﹣4x＝12，
x＝﹣3．
解题秘籍：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
4．（2019秋•东湖区校级期中）我们定义一种新的运算“※”：对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对（x，y）与（a，b），并且规定：（x，y）※（a，b）＝ax﹣by．
例如：（1，2）※（3，4）＝3×1﹣4×2＝﹣5．
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算：（2，﹣3）※（3，﹣2）＝　 　．
（2）若有理数对（﹣2，3x﹣1）※（x+2，1）＝5，则x＝　 ．
（3）若有理数对（2x﹣1，﹣3）※（k，x+k）＝7+2k成立，则解得x是整数，求整数k的值．
思路引领：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，表示出x，根据x与k都为整数，确定出k的值即可．
解：（1）根据题中的新定义得：原式＝6﹣6＝0；
（2）根据题中的新定义化简得：﹣2（x+2）﹣（3x﹣1）＝5，
去括号得：﹣2x﹣4﹣3x+1＝5，
移项合并得：﹣5x＝8，
解得：x=−85；
（3）根据题中的新定义化简得：k（2x﹣1）+3（x+k）＝7+2k，
去括号得：2kx﹣k+3x+3k＝7+2k，
移项合并得：（2k+3）x＝7，
解得：x=72k+3，
由x为整数，得到2k+3＝±1，2k+3＝±7，
则整数k的值为﹣1，﹣2，﹣5，2．
故答案为：（1）0；（2）−85
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
类型二 新名称型
典例3 （2020秋•前郭县期末）一般情况下m2+n4=m+n2+4不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0．我们称使得m2+n4=m+n2+4成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）试说明（1，﹣4）是相伴数对；
（2）若（x，4）是相伴数对，求x的值．
思路引领：（1）根据定义即可判断；
（2）根据定义列出方程即可求出答案．
解：（1）由题意可知：m＝1，n＝﹣4，
∴12+−44=−12，
1−42+4=−12，
∴（1，﹣4）是相伴数对；
（2）由题意可知：x2+44=x+46，
解得：x＝﹣1
解题秘籍：本题考查等式的性质，解题的关键是正确理解相伴数对的定义，本题属于基础题型．
典例4 （2022春•淅川县期中）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程是“和解方程”．
例如：2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程是“和解方程”．
请根据上面的规定，解答下面的问题．
（1）3x＝4.5是否是“和解方程”？
（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是“和解方程”，求m的值．
思路引领：（1）先求出方程3x＝4.5，再判断即可；
（2）先求出5x＝m+1的解，根据题意得出关于m的方程，再求出方程的解即可．
解：（1）3x＝4.5，
x＝1.5，
∵4.5+3＝7.5≠1.5，
∴3x＝4.5不是“和解方程”；
（2）解方程5x＝m+1得：x=m+15，
∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是“和解方程”，
∴m+1+5=m+15，
解得：m=−294．
解题秘籍：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出每个方程的解是解此题的关键．
针对训练2
5．（2021春•新乡期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝2a+b，则称该方程为“合并式方程”．例如：2x＝﹣8的解为x＝﹣4，又﹣4＝2×2+（﹣8），所以2x＝﹣8是合并式方程．
（1）请判断12x＝1是不是合并式方程并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝m+1是合并式方程，求m的值．
思路引领：（1）先解12x＝1，再根据“合并式方程”的定义判断．
（2）先解关于x的一元一次方程3x＝m+1，再根据“合并式方程”的定义判断．
解：（1）12x=1是“合并式方程”，理由如下：
由12x＝1，得x＝2．
∵2=12×2+1，
∴12x=1是“合并式方程”．
（2）解3x＝m+1，得x=m+13．
∵关于x的一元一次方程3x＝m+1是合并式方程，
∴m+13=2×3+m+1．
∴m＝﹣10．
解题秘籍：本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．
6．（2021秋•黔西南州月考）我们规定；若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x=ba，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且x=42，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x=163是不是“商解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，求m的值．
思路引领：（1）先解出方程，再求出ba，根据“商解方程”的定义证明；
（2）根据“商解方程”的定义解答即可．
解：（1）4+x=163是“商解方程”，
理由如下：方程4+x=163的解为：x=43，
∵163÷4=43，
∴4+x=163是“商解方程”；
（2）6+x＝m+3，
x＝m﹣3，
∵一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，
∴m﹣3=m+36，
解得，m=215．
解题秘籍：本题考查的是一元一次方程的解法、“商解方程”的定义，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•来宾期末）若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．已知关于x的一元一次方程4x＝m+3是奇异方程，则m的值为（　　）
A．73 B．15 C．−15 D．−73
思路引领：先求出方程的解，根据方程为“奇异方程”得出关于m的方程，再求出方程的解即可．
解：∵4x＝m+3，
∴x=m+34，
∵关于x的一元一次方程4x＝m+3是奇异方程，
∴m+34=m+3﹣4，
解得：m=73，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
2．（2021秋•邵阳县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则称方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程3x＝2m﹣1是“差解方程”，则m的值为 　 ．
思路引领：先解含已知字母方程得出方程的解，再根据差解方程的定义列出关于m的方程，进行解答便可．
解∵方程3x＝2m﹣1的解是x=2m−13，
又∵方程3x＝2m﹣1是差解方程，
∴2m−13=2m﹣1﹣4，
∴m=72．
故答案为：72．
解题秘籍：本题是一个新定义题，主要考查了新定义，一元一次方程的解法与应用，关键是根据新定义，把题目转化为常规题进行解答．
3．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝　　．
思路引领：利用题中的新定义解答即可．
解：解关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x=b−a3，
∵关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，
3﹣（a﹣b）＝2×b−a3，
9+3（b﹣a）＝2（b﹣a），
∴b﹣a＝﹣9．
故答案为：﹣9．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2022春•蒸湘区校级月考）a、b、c、d为有理数，先规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc，如果24(1−x)5=18，则x＝　 　．
思路引领：根据abcd=ad﹣bc和24(1−x)5=18，可以写出相应的方程，然后求解即可．
解：∵abcd=ad﹣bc，24(1−x)5=18，
∴2×5﹣4（1﹣x）＝18，
解得x＝3，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
5．（2022春•普陀区校级期中）规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求2x−13*1+x2=1的解是 　x=57　．
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
解：根据题中的新定义化简得：2−2x−13−1+x2=1，
去分母得：12﹣2（2x﹣1）﹣3（1+x）＝6，
去括号得：12﹣4x+2﹣3﹣3x＝6，
移项合并得：﹣7x＝﹣5，
解得：x=57．
故答案为：x=57．
解题秘籍：此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．（2022春•新野县期中）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．
例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　　．（填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，n的值为 　　．
思路引领：（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解：（1）方程2x+1＝0，
解得：x=−12，
方程2x+3＝0，
解得：x=−32，
∵（−12）﹣（−32）=−12+32=1，
∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程；
故答案为：是；
（2）方程3x+m+n＝0，
解得：x=−m+n3，
方程3x+m＝0，
解得：x=−m3，
根据题意得：−m+n3−（−m3）＝1，
解得：n＝﹣3，
故答案为：3．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
7．（2021秋•江阴市校级月考）已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：abcd=ad−bc=ad﹣bc．求当241−x5=18时x的值 　　．
思路引领：根据新定义得出2×5﹣4（1﹣x）＝18，解一元一次方程即可得出答案．
解：∵abcd=ad−bc，241−x5=18，
∴2×5﹣4（1﹣x）＝18，
∴10﹣4+4x＝18，
∴4x＝12，
∴x＝3，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了解一元一次方程，根据新定义得出2×5﹣4（1﹣x）＝18是解决问题的关键．
8．（2021秋•瑶海区期中）定义一种新的运算：当a≤b时，a*b＝a2+b；当a＞b时，a*b＝2a﹣b；例如：1*4＝12+4＝5，那么：
①计算：（﹣3*2）*（﹣1）＝　 　；
②若（3*x）*3＝23，则x＝　 　．
思路引领：①根据新的运算列式计算；
②对于x的值要分情况讨论：（i）情况：3≤x，推9+x＞3，根据新的运算列式等式；（ii）情况：3＞x，根据新的运算列式等式，求出x的值，一定要和x的取值范围相对应．
解：①（﹣3*2）*（﹣1）
＝[（﹣3）2+2]*（﹣1）
＝11*（﹣1）
＝2×11﹣（﹣1）
＝23；
故答案为：23；
②（i）情况：3≤x，
（3*x）*3＝23，
（9+x）*3＝23，
∵3≤x，
∴9+x＞3
∴2×（9+x）+3＝23，
解得x＝4；
（ii）情况：3＞x，
∵（3*x）*3＝23，
∴（6﹣x）*3＝23，
当6﹣x＞3时，x＜3，
2×（6﹣x）﹣3＝23，
解得x＝﹣7，
当6﹣x≤3时，x≥3，不合题意，
综上所述：x＝4或x＝﹣7．
故答案为：x＝4或x＝﹣7．
解题秘籍：本题主要考查了解一元一次方程、有理数的加减混合运算、整式的加减，掌握这三个知识点的综合应用，对新定义的理解及分情况讨论是解题关键．
9．（2020秋•黄岛区校级月考）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a⊙b＝a（a+b）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13．
（1）计算3⊙（﹣2）；
（2）若（﹣1）⊙x＝5，求x的值．
思路引领：（1）直接利用已知运算法则计算得出答案；
（2）利用已知运算法则可得关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
解：（1）3⊙（﹣2）＝3×（3﹣2）﹣1＝2；
（2）由题意可得：
（﹣1）⊙x＝5，
﹣1×（﹣1+x）﹣1＝5，
则1﹣x﹣1＝5，
解得：x＝﹣5．
解题秘籍：本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，解一元一次方程ax+b＝0的步骤是：去分母（含有分母的一元一次方程），去括号，移项，合并同类项，系数化1．
10．（2022春•沙坪坝区期末）阅读材料：一个四位自然数的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，若关于x的一元一次方程ax+c＝d的解为x＝b，则称这个四位自然数为方程ax+c＝d的“顺承数”．如：方程2x+1＝7的解是x＝3，所以2317就是方程2x+1＝7的“顺承数”．
（1）判断4159，3227是否为某个方程的“顺承数”，说明理由；
（2）方程2x+c＝d的解是x＝b（0≤b，d≤4，0≤c≤9且b，c，d为整数），若m是该方程的“顺承数”，交换m的百位和个位数字得到新数m′，且m+m′能被5整除，求满足条件的所有m的值．
思路引领：（1）根据题目中给出的新定义即可求出答案；
（2）根据d的值可能是4，3，2，1，0，判断出四位数m，再根据m+m′能被5整除，可得结论．
解：（1）4159是“顺承数”，
理由：∵x＝1是方程4x+5＝9，
∴4159是“顺承数”；
（2）∵方程2x+c＝d的解是x＝b（0≤b，d≤4，0≤c≤9且b，c，d为整数），若m是该方程的“顺承数”，
∴四位数m是：2204，2124，2044，2113，2022，2102，2111，2000，
∴四位数m′是：2402，2421，2440，2311，2220，2201，2111，2000，
∵m+m′能被5整除，
∴四位数m是：2124，2000；
解题秘籍：本题主要考查了一元一次方程的解，正确理解题目中给出的新概念是解题的关键．
11．（2021秋•克东县期末）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求（﹣2）※5的值；
（2）若2※（x+1）＝10，求x的值．
思路引领：（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可．
解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）※5＝﹣2﹣2×5＝﹣2﹣10＝﹣12；
（2）根据题中的新定义得：
2﹣2（x+1）＝10，
2﹣2x﹣2＝10，
﹣2x＝10﹣2+2，
﹣2x＝10，
x＝﹣5．
解题秘籍：此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2022春•遂宁期末）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．
（1）若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；
（2）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式（mn+m）2﹣9（mn+n）2−32（m﹣n）的值．
思路引领：（1）根据新定义可得方程，求解即可；
（2）根据方程的解可得方程组，求解即可；
（3）根据新定义得mn+m＝4，mn+n=−34，m﹣n＝4﹣（−43）=163，然后代入计算即可．
解：（1）∵方程2x＝m是“郡园方程”，
∴2（m﹣2）＝m，
解得：m＝4．
∴若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，则m的值为4．
（2）∵方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，
∴2(mn+m−2)=mn+m2m=mn+m，
解得：m=2n=1．
∴若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，则m的值为2、n的值为1．
（3）∵方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，
∴2(mn+m−2)=mn+m−2(mn+n+2)=mn+n，
∴mn+m＝4，mn+n=−34，
∴m﹣n＝4﹣（−43）=163，
∴（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣3（m﹣n）＝42﹣9×（−43）2−32×163=−8．
解题秘籍：此题考查的是一元一次方程的解，掌握新定义是解决此题的关键．
13．（2021秋•江都区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠1）的解为x＝ab，则称该方程为“积解方程”．例如：2+x＝﹣2的解为x＝﹣2﹣2＝﹣4且x＝2×（﹣2）＝﹣4，则称方程2+x＝﹣2是“积解方程”，请回答下列问题：
（1）判断一元一次方程4+x=−43是不是“积解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程32+x＝m+4是“积解方程”，求m的值并求出该方程的解．
思路引领：（1）求出方程的解是x=−163，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于m的方程，最后求出方程的解即可．
解：（1）4+x=−43，
x=−163，
而−163=4×(−43)，
所以4+x=−43是“积解方程”；
（2）32+x＝m+4，
x＝m+52，
∵关于x的一元一次方程32+x＝m+4是“积解方程”，
∴m+52=32×(m+4)，
解得：m＝﹣7；
故原方程的解为：x=32×(−7+4)=−92．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
14．（2021秋•高邮市期末）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　　；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
思路引领：（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x=−12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n=−92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
解：（1）解方程3x+k＝0得：
x=−k3，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴−k3=3﹣k，
解得：k=92，
故答案为：92；
（2）解方程﹣2x＝mn+n得：
x=−12（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴−12（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n=−23，
把n=−23代入mn＝2得：m×（−23）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解方程3x＝mn+n得：
x=mn+n3，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴mn+n3=3+mn+n，
∴mn+n=−92，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（−92）
＝﹣9．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
15．（2021秋•吴兴区期末）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”．
（1）试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”；
（2）若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小．
思路引领：（1）化简﹣3x＝﹣4，然后根据新定义可以判断结论；
（2）利用“和谐方程”的定义求解可得答案；
（3）根据题意表示出p﹣q，然后根据差的正负性可得答案．
解：（1）∵﹣3x＝﹣4，
∴x=43，
又∵−3−(−4)=1≠43，
∴方程﹣3x＝﹣4不是“和谐方程”．
（2）当a＝2时，2x＝b，
∴x=b2，
假设有符合要求的“和谐方程”，则x＝2﹣b，
∴b2=2−b，
∴b=43；
（3）由题可得p＝1﹣m﹣（﹣3m2+5mn﹣n）＝1﹣m+3m2﹣5mn+n，q＝n+2﹣（﹣4m2+5mn+m）＝n+2+4m2﹣5mn﹣m，
∴p﹣q＝1﹣m+3m2﹣5mn+n﹣（n+2+4m2﹣5mm﹣m）
＝1﹣m+3m2﹣5mn+n﹣n﹣2﹣4m2+5mn+m
＝﹣1﹣m2＜0，
∴p＜q．
解题秘籍：此题考查的是一元一次方程的解、有理数的减法，正确理解“和谐方程”的定义是解决此题关键．
16．（2022•射洪市模拟）对于任意一个三位数m，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的2倍，则称这个三位数m为“共生数”，例如：m＝357，因为3+7＝2×5，所以357是“共生数”；m＝435，因为4+5≠2×3，所以435不是“共生数”．
（1）根据题设条件，请你举例说出两个“共生数”：　 　，　 　；
（2）若一个“共生数”的十位上的数字为4，设百位上的数字为x，则个位上的数字用x可表示为 　 　，那么这个“共生数”用x可表示为 　 　．（结果要化简）
（3）对于某个“共生数”，百位上的数字比个位上的数字小2，百位、十位与个位上的数字之和是9，求这个“共生数”是多少？
思路引领：（1）根据“共生数”的定义可得答案；
（2）根据“共生数”的定义列代数式可得答案；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是（7﹣2m），根据题意列方程可得答案．
解：（1）由“共生数”的定义可得，147、420等（答案不唯一），
故答案为：147，420（答案不唯一）；
（2）∵十位上的数字为4，百位上的数字为x（x≠0），
∴个位上的数字用x可表示为（8﹣x），
这个“共生数”可表示为100x+40+（8﹣x）＝99x+48（x≠0），
故答案为：（8﹣x），（99x+48）（x≠0）；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是9﹣m﹣（m+2）＝7﹣2m，
由题意得，m+（m+2）＝2（7﹣2m），
解得m＝2，
所以百位上的数是2，个位上的数是4，十位上的数是3，
所以这个“共生数”是234．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，正确理解“共生数”的概念是解题关键．
17．（2021秋•郴州期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）方程3x＝﹣6 　 　“和解方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元一次方程6x＝k是“和解方程”，求k的值；
（3）若关于x的一元一次方程﹣5x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
思路引领：（1）根据和解方程的定义判断即可；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
解：（1）解方程3x＝﹣6，得x＝﹣2，
∵﹣2≠﹣6+3，
∴方程3x＝﹣6不是和解方程”，
故答案为：不是；
（2）∵关于x的一元一次方程6x＝k是“和解方程”，
∴k+6是方程6x＝k的解．
即：k+6=k6，
解得：k=−365；
（3）∵关于x的一元一次方程﹣5x＝mn+n是“和解方程”，
∴x＝mn+n﹣5，
又∵x＝n，
∴mn＝5．
把x＝n代入方程，得﹣5n＝mn+n．
∴﹣5n＝5+n．
∴﹣6n＝5．
n=−56．
由mn＝5，得m＝﹣6．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．