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- 第06讲 有理数的乘方及有理数运算技巧（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版） 试卷 5 次下载
- 第05讲 有理数的加减乘除四则运算（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版） 试卷 5 次下载
- 第04讲 有理数的五大概念（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版） 试卷 5 次下载
- 第02讲 数轴核心考点归纳（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版） 试卷 5 次下载
- 第01讲 绝对值的重难点突破（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版） 试卷 8 次下载
第03讲 用数形结合思想解决与数轴有关的问题（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）
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这是一份第03讲 用数形结合思想解决与数轴有关的问题（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版），文件包含第3讲用数形结合思想解决与数轴有关的问题解析版docx、第3讲用数形结合思想解决与数轴有关的问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
综合性强，适合尖子生日常训练或期末整体复习
第3讲 用数形结合思想解决与数轴有关的问题（解析版）
第一部分 典例剖析—+针对训练
类型一 用数形结合思想找原点
典例1（2021秋•卧龙区期末）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果|c|＞|a|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点B与C之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A D．点A与B之间，靠近点B
思路引领：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
解：∵|c|＞|a|＞|b|，
∴点C到原点的距离最大，点a其次，点b最小，
又∵AB＝BC，
∴原点O的位置是在点A与B之间，靠近点B．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
针对训练1
1．（2022•馆陶县三模）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点O在点A的左侧 B．点O在点P的右侧
C．点O与点P重合 D．点O在线段AP上
思路引领：根据中点坐标公式可得P表示的数是12（x1+x2），再根据x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，可得A表示的数是负数，可得P表示的数是负数，从而求解．
解：∵AB的中点为P，
∴P表示的数是12（x1+x2），
∵x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，
∴A表示的数是负数，
∴P表示的数是负数，
∴点O在点P的右侧．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了数轴，中点坐标公式，有理数的加减法的知识点，需要熟练掌握．
2．（2021秋•曲阳县期末）如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则A，B分别对应数a，b，且b﹣2a＝7，那么数轴上原点的位置在 ．
思路引领：通过数轴表示出A，B之间的关系，然后结合题目给出的A，B关系式，进行求解即可得出结果．
解：∵数轴上每个刻度为1个单位长，A，B分别对应数a，b，
∴b＝a+3，
∵b﹣2a＝7，
∴a+3﹣2a＝7，
∴a＝﹣4，
∴点A对应的数为﹣4，
∵点C在点A右边4个单位长度，
∴点C表示的数为0，即原点．
解题秘籍：本题考查数轴、一元一次方程等知识点，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（2021秋•海沧区期末）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB＝BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置可能在 （填序号）．
①点A与点B之间（靠近A）；②点B与点C之间（靠近C）；③点A的左边；④点C的右边．
思路引领：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
解：∵|a|＞|b|＞|c|，
∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，
又∵AB＝BC，
∴原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方，
故答案为：②④．
解题秘籍：本题考查了绝对值与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
类型二 用数形结合思想求数轴上的点表示的数
典例2（2022春•泗水县期末）如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（ ）
A．﹣π+1 B．−π2+1 C．π+1 D．π﹣1
思路引领：根据数轴上的点表示的数解决此题．
解：由题意得，圆片的周长为π．
∴点A'表示的数是﹣1+π．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
针对训练2
4．（2022•金华模拟）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣3
思路引领：设点C表示的数为x，分两种情况：A′在线段CB的延长线上或线段CB上分别计算即可．
解：设点C表示的数为x，
当A′在线段CB的延长线上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6+4＝10，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝10﹣x，
解得：x＝1；
当A′在线段CB上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6﹣4＝2，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝2﹣x，
解得：x＝﹣3；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴，考查分类讨论，根据对折得到AC＝A′C是解题的关键，不要漏解．
5．（2022•市中区模拟）如图，A，B，C，D，E为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB＝BC＝CD＝DE，则点C所表示的数是（ ）
A．2 B．7 C．11 D．12
思路引领：先根据点A、E表示的数求出线段AE的长度，再根据长度相等的线段表示相同的单位长度求出AB、BC、CD、DE的长即可解答，
解：∵AE＝17﹣（﹣3）＝20，
又∵AB＝BC＝CD＝DE，AB+BC+CD+DE＝AE，
∴DE=14AE＝5，
∴D表示的数是17﹣5＝12，C表示的数是17﹣5×2＝7，
故选：B．
解题秘籍：本题考查数轴相关的内容，解题关键是根据相等的线段长度表示相同的单位长度．
类型三 用数形结合思想判断结论正误
典例3 （2022•东城区校级模拟）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④ba，其中值为负数的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
思路引领：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．
解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，
①2a﹣b＞0；②a+b＜0；
③|b|﹣|a|＞0；④ba＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
针对训练3
6．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①a+b+c＞0；②a•b•c＞0；③a+b﹣c＜0；④0＜ba＜1．其中，正确的有 个．
思路引领：先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．
解：由数轴可得：
a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，
∴a+b+c＜0，故①错误；
∵a，b，c中两负一正，
∴abc＞0，故②正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，
∴a+b﹣c＜0，故③正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1，
∴0＜ba＜1，故④正确，
∴正确的有②③④3个，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
类型四 用数形结合思想解决数轴上两点间距离的问题
典例4（2022•丰南区二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
思路引领：（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．
解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
故答案为：4，|x+2|；
（2）|a﹣1|＝6，
∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，
即a＝7或a＝﹣5，
故答案为：7或﹣5；
（3）有最小值，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，
所以当﹣2≤x≤4时，它的最小值为6．
解题秘籍：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
针对训练4
7．（2021秋•海州区校级期中）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
（1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 ．
（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x的和为 ．
思路引领：（1）由算式的几何意义可得，x是数轴上到表示2的点为5的点表示的数，即可求得符合题意的两个x的值；
（2）由算式的几何意义可得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，然后计算求和即可．
解：（1）∵|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5，
解得x＝﹣3，x＝7，
故答案为：﹣3或7；
（2）由题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，
即x的值为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，
∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9，
故答案为：9．
解题秘籍：此题考查了利用数形结合进行绝对值的运算能力，关键是能利用几何意义理解算式并进行准确计算．
8．（2021秋•沭阳县期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 ．若|x+3|＝4，则x＝ ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝ ．
（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 .则满足条件的所有整数x的和为 ．
（5）若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 ．
思路引领：（1）利用数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（3）根据绝对值几何意义即可得出结论．
（4）分情况讨论计算即可得出结论；
（5）|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，依此即可求解
解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；
数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．
故答案为：4，5；
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；
数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；
若|x+3|＝4，
则x+3＝4或﹣4，
∴x＝1或﹣7，
故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．
故答案为：5；
（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，
解得：x＝﹣1，
此时不符合x＜﹣1，舍去；
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，
此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，
解得：x＝3，
此时不符合x＞3，舍去．
∴x＝﹣1或0或1或2或3；
满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，
故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；
（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，
∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，
∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．
故答案为：3，6．
解题秘籍：考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，（5）中明确|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．
类型五 有数形结合思想解决数轴折叠问题
典例5（2021秋•正阳县期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣1
思路引领：求出折痕和数轴交点表示的数，对折后重合的每一对对应点到此交点距离相等即可求出答案．
解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合，
∴折痕和数轴交点表示的数是﹣3+1−(−3)2=−1，
而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4，
∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查数轴及折叠，解题的关键是找到折痕与数轴交点表示的数．
针对训练5
9．（2021秋•全州县期末）如图，数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，已知：b＞0，且b的倒数是它本身，且a，c满足（c﹣6）2+|a+2|＝0，若将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ﹣7 ．
思路引领：先利用非负性求出a和c的值，由倒数的相关概念求出b的值，再根据a、b的值确定出A、B的中点对应的值，进而求出与C点重合的点对应的数．
解：∵b＞0，且b的倒数是它本身，
∴b＝1．
∵（c﹣6）2+|a+2|＝0，
∴c﹣6＝0，a+2＝0，
∴a＝﹣2，c＝6．
∵将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，
∴折点为A、B的中点，对应的数为−2+12=−0.5，
∵c＝6，
设C点折叠后重合的点对应的数为x，
则x+62=−0.5，
解得x＝﹣7．
故答案为：﹣7．
解题秘籍：本题考查有绝对值，平方的非负性，数轴，解题关键是能结合题进行准确求解．
10．（2021秋•镇江期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是﹣7，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ．
思路引领：设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣7）＝x+7，BC＝3﹣x，由于以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，可得AC﹣BC＝2，即：x+7﹣（3﹣x）＝2，解方程即可得出答案．
解：设点C表示的数为x，
则AC＝x﹣（﹣7）＝x+7，BC＝3﹣x．
∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，
∴AC﹣BC＝2．
即：x+7﹣（3﹣x）＝2．
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题主要考查了数轴，解一元一次方程，借助数轴利用几何的方法解题直观简单，体现了数形结合的思想方法．
11．（2021秋•宝应县期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ；
（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是 ；
（3）若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M： ，N： ．
思路引领：（1）数轴上可以直接看出A：1，B：﹣4；
（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，可得答案；
（3）找到对称中心即可得答案；
（4）由题意知对称中心为﹣1，以及M，N两点间的距离为11，即可得M，N两点的位置．
解：（1）数轴上可以看出A：1，B：﹣4，
故答案为：1，﹣4；
（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，
∴这些点表示的数为：1﹣2＝﹣1，1+2＝3，
故答案为：﹣1或3；
（3）∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，
∴两点的对称中心是﹣1，
∴B点与数2重合，
故答案为：2；
（4）∵两点的对称中心是﹣1，数轴上M、N两点之间的距离为11，
∴M、N两点与对称中心的距离为112=5.5，
又∵M在N的左侧，
∴M、N两点表示的数分别是：﹣5.5﹣1＝﹣6.5，5.5﹣1＝4.5，
故答案为：﹣6.5，4.5．
解题秘籍：本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全．
类型六 用数形结合思想解决数轴上的动点问题
典例6（2020秋•苏州期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c（a＜b＜c），点A，B之间距离为12个单位长度，点B，C之间距离为n（n＞0）个单位长度．
（1）若a，b互为相反数，且c＝14，则n＝ 8 ；
（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．当P，Q两点到点B的距离相等时，求P，Q两点出发的时间．
思路引领：（1）根据a，b互为相反数和两点之间的距离可得a、b的值，再由c＝14可得n．
（2）设出发时间为x，首先用含x的代数式表示出P、Q两点，再分情况讨论即可．
解：（1）∵AB＝12，a，b互为相反数，
∴a＝﹣6，b＝6．
∵c＝14，
∴n＝14﹣6＝8．
故n＝8．
（2）由题意得：P表示的数是14﹣5t，Q表示的数是6﹣3t；
当P、Q两点在B的异侧时，14﹣5t﹣6＝6﹣（6﹣3t），
解得：t＝1；
当P、Q两点在B的同侧时，14﹣5t＝6﹣3t，
解得：t＝4；
所以P、Q两点出发的时间是1秒或4秒．
解题秘籍：本题考查数轴、相反数等知识，解题的关键是掌握用参数表示线段的长，属于中考常考题型．
针对训练6
12．（2021秋•朝阳区校级期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
思路引领：（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8
∴x＝﹣3
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8
∴x＝5
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2
AP＝t+6+3t＝4t+6
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
解题秘籍：本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
13．（2021秋•南皮县校级月考）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设点A，B，C所对应的数的和是m．
（1）若以C为原点，求m的值；
（2）若原点O在图中数轴上，且点C到原点O的距离为4，求m的值；
（3）若以B为原点，点P与点Q在数轴上作匀速运动，已知点P从点A出发，3秒后到达原点，点Q从点C出发，3.5秒后可以到达原点．假使点P与点Q分别从点A和点C同时出发，求两点相距2个单位长度时点P表示的数．
思路引领：（1）根据题意可知点C对应的数是0，再利用点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，分别求出点B，点A对应的数即可解答；
（2）分两种情况，原点O在点C的右侧，原点O在点C的左侧；
（3）分两种情况，P、Q两点相遇前相距2个单位长度，P、Q两点相遇后相距2个单位长度．
解：（1）由题意得：
点C对应的数是0，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣7，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣10，
∴m＝0+（﹣7）+（﹣10）＝﹣17；
（2）分两种情况：
当原点O在点C的右侧时，如图：
∵点C到原点O的距离为4，
∴点C对应的数是﹣4，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣11，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣14，
∴m＝﹣4+（﹣11）+（﹣14）＝﹣29，
当原点O在点C的左侧时，如图：
∵点C到原点O的距离为4，
∴点C对应的数是4，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣3，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣6，
∴m＝4+（﹣3）+（﹣6）＝﹣5，
∴m的值为：﹣29或﹣5；
（3）由题意得：点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度为2个单位长度/秒，
∵B为原点，
∴点B对应的数是0，
∵点C到点B的距离为7，
∴点C对应的数是7，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣3，
设运动的时间为t秒，则点P对应的数为：﹣3+t，点Q对应的数为：7﹣2t，
分两种情况：
当P、Q两点相遇前相距2个单位长度时，
由题意得：﹣3+t+2＝7﹣2t，
解得：t=83，
∴点P表示的数为：−13，
当P、Q两点相遇后相距2个单位长度时，
由题意得：﹣3+t﹣2＝7﹣2t，
解得：t＝4，
∴点P表示的数为：1，
∴点P表示的数为：−13或1．
解题秘籍：本题考查了数轴，两点间距离，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
第二部分 专题提优训练
1．（2021•思明区校级模拟）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
思路引领：先确定a，b的正负情况，再根据数轴上原点与正负数的位置关系确定原点的可能位置．
解：∵a•b＜0，且数轴上a在b的左侧，
∴a＜0，b＞0，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，
∴点B可能是原点，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了数轴及有理数加法、乘法的符号法则，判断a，b的符号和绝对值的大小关系是解决本题的关键．
2．（2021秋•武侯区期末）如图，数轴上点M，P，N分别表示数m，m+n，n，那么原点的位置是（ ）
A．在线段MP上 B．在线段PN上
C．在点M的左侧 D．在点N的右侧
思路引领：由点M，P，N的位置可知，m和n的符号相反，则m＜0＜n，且|m|＜|n|，结合数轴的定义，可知原点一定在MP上，且靠近点M．
解：由点M，P，N的位置可知，m＜0＜n，且PN＜PM，
∴n﹣（m+n）＜（m+n）﹣m，即﹣m＜n，
∴|m|＜|n|，
∴m+n＞0，
∴原点一定在PM上，且靠近点M．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查数轴的作用之一，数轴表示数，实数的加法法则等内容，本题的关键是利用有理数的加法法则得出m+n的符号是解题关键．
3．（2022•承德二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣4
思路引领：根据点B在点A的右边以及点B表示的数是4可得点A表示的数．
解：∵数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，
∴点A表示的数是4﹣6＝﹣2，
故选：C．
解题秘籍：此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．确定数轴的原点是解决本题的关键．
4．（2022•市北区二模）如图，在数轴上若两个不同的点A和B到原点的距离相等，则点B所表示的数是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．13
思路引领：到原点距离相等的点，要么互为相反数，要么是同一个数，但已知条件说是两个不同的点，所以，B与A互为相反数，即B只能是3．
解：设点B表示的数为x，
∵点A与点B到原点的距离相等，
∴|﹣3|＝|x|，
∴x＝±3，
∵点A与点B是不同的点，
∴x＝3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两个点到原点的距离，解题的关键是想到有两种情况，根据已知条件否定一种情况．
5．（2022•灞桥区校级模拟）如图，数轴上相邻两个刻度之间为1个单位长度，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：利用两点间的距离公式计算即可．
解：设点B表示的数是x，
∵AB＝4，
∴x﹣（﹣1）＝4，
∴x＝3，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是用右边的数减去左边的数．
6．（2022春•洛阳期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（ ）
A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1
思路引领：先求出圆的周长，再根据数轴的定义进行解答即可．
解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴该圆的周长为π，
∴当圆沿数轴向左滚动1周时，点A′表示的数是﹣π﹣1；
将圆沿数轴向右滚动1周时，点A′表示的数是π﹣1．
故选：D．
解题秘籍：本题考查实数与数轴的特点，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解答本题的关键．
7．（西湖区校级月考）若有理数m在数轴上对应的点为M．满足|m|＝﹣m，且m＞1m，则下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据绝对值的性质由|m|＝﹣m，可得m＜0；再由不等式的性质由m＞1m，可得﹣1＜m＜0，即可求解．
解：由|m|＝﹣m，则m＜0，
又由m＞1m，则﹣1＜m＜0，
结合选项可得D正确，
故选：D．
解题秘籍：本题考查数轴和绝对值的性质；熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质是解题的关键．
8．（椒江区校级月考）若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据绝对值的意义得到m＜﹣1，然后利用数轴表示数的方法对各选项进行判断．
解：∵|m|＞1，m＜0，
∴m＜﹣1，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
9．（2021秋•兰山区期末）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是 ．
思路引领：数轴上两点间的距离：数轴上表示两个点所对应的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数，本题由图中知A的值，又知道距离是2，可求出点B的值．
解：由图知：A＝﹣3，
|A﹣B|＝2，
得出B＝﹣5或﹣1．
故答案为：﹣5或﹣1．
解题秘籍：本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上表示两个点所对应的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数，比较简单．
10．（2021秋•长沙县期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 ﹣11 表示的点重合；
（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝ ，最小值为 ．
思路引领：（1）利用绝对值和偶次方的非负性，进行计算即可；
（2）利用数轴上两点间距离先求出折点表示的数，然后进行计算即可解答；
（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．
解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9，
故答案为：﹣3，9；
（2）设折点表示的数为x，
∵将数轴折叠，使得A点与B点重合，
∴1﹣x＝x﹣（﹣3），
∴x＝﹣1，
∴折点表示的数为：﹣1，
设点C与数y表示的点重合，
∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），
∴y＝﹣11，
∴点C与数﹣11表示的点重合，
故答案为：﹣11；
（3）由题意得：
代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，
当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，
即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，
最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|
＝4+0+8
＝12，
故答案为：1，12．
解题秘籍：本题考查了数轴，偶次方与绝对值的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
11．（2021秋•方城县期末）在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：
（1）A、B之间的距离是
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是： ；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M： N： ．
思路引领：（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣2表示的点相距4单位，其对称点为﹣1，由此得出与B点重合的点；
（4）对称点为﹣0.5，M点在对称点左边，离对称点2011÷2＝1005.5个单位，N点在对称点右边，离对称点1005.5个单位，由此求出M、N两点表示的数．
解：（1）A、B之间的距离是1+|﹣2|＝3．
故答案为：3；
（2）与点A的距离为5的点表示的数是：﹣4或6．
故答案为：﹣4或6；
（3）则A点与﹣3重合，则对称点是﹣1，则数B关于﹣1的对称点是：0．
故答案为：0，；
（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧）可知，
M点表示数﹣1007，N点表示数1005．
故答案为：﹣1007，1005．
解题秘籍：本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
12．（2018秋•新吴区期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
思路引领：（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；
（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x=163．
故相遇点M所对应的数是163．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
解题秘籍：本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
13．（2019秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．
思路引领：（1）根据题意，由P、Q两点的路程和为28列出方程求解即可；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．分点P在点O的左边，点P在点O的右边两种情况讨论即可求解；
（3）根据中点的定义得到AN＝PN=12AP＝t，可得CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，再代入计算即可求解．
解：（1）根据题意得2t+t＝28，
解得t=283，
∴AM=563＞10，
∴M在O的右侧，且OM=563−10=263，
∴当t=283时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是263；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．
若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t=173．
综上所述，t的值为3或173时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）∵N是AP的中点，
∴AN＝PN=12AP＝t，
∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，
2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度．
14．（2017秋•崇川区校级期末）【阅读理解】
如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段：AB，AC，BC．且AC≠BC，其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点C是线段AB的“定分点”．
【解决问题】
已知点A，B，C是数轴上的三个点（点A在点B的左侧），O为原点．
（1）若点A，B对应的数分别为﹣4，x，点O为线段AB的定分点，则x的值为 2或8 ；
（2）如图2，若点A，B，C对应的数分别为﹣6，2，6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴负方向运动，同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度速度沿数轴正方向运动，请探究A，B两点是否可能为线段PQ的定分点？说明你的理由．
思路引领：（1）由定义分情况讨论可得答案．（2）结合数轴，分AP＝2AQ，2AP＝AQ，BP＝2BQ三种情况讨论．
解：（1）2或8；
（2）点A和点B都可能是线段PO的定分点．
理由：设运动时间为ts，则AP＝2t，CQ＝t，
由题意得：QA＝12+t，BP＝8+2t，BO＝4+t．
若AP＝2AQ，则2t＝2（12+t），此情况不成立；
若2AP＝AQ，则2×2t＝12+t，即t＝4，当t＝4s时，AQ＝2AP，点A是线段PQ的定分点．
若BP＝2BQ，则8+2t＝2（4+t），此等式恒成立．则B始终是线段PQ的定分点．
综上所述，A，B均可能是PQ的定分点，当t＝4s时，点A是线段PQ的定分点；
BP＝2BQ，B始终是线段PQ的定分点．
解题秘籍：本题是数轴和中点以及行程问题的简单结合，主要要分情况讨论，找到线段的等量关系是关键．
15．（2021秋•翠屏区校级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝ ；PC＝ ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝ ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．
思路引领：（1）根据题意容易得出结果；
（2）①根据路程和＝20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PQ．
解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t；
故答案为：t，36﹣t；
（2）①有依题意有
t+3（t﹣16）﹣16＝20，
解得：t＝21，
t﹣16＝21﹣16＝5．
故当t＝21，点P、Q相遇，此时点Q运动了5秒．
故答案为：21，5；
②当16≤t≤21时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t；
当21＜t≤28时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84．
解题秘籍：本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解答（2）②题，对t分类讨论是解题关键．
综合性强，适合尖子生日常训练或期末整体复习
第3讲 用数形结合思想解决与数轴有关的问题（解析版）
第一部分 典例剖析—+针对训练
类型一 用数形结合思想找原点
典例1（2021秋•卧龙区期末）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果|c|＞|a|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点B与C之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A D．点A与B之间，靠近点B
思路引领：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
解：∵|c|＞|a|＞|b|，
∴点C到原点的距离最大，点a其次，点b最小，
又∵AB＝BC，
∴原点O的位置是在点A与B之间，靠近点B．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
针对训练1
1．（2022•馆陶县三模）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点O在点A的左侧 B．点O在点P的右侧
C．点O与点P重合 D．点O在线段AP上
思路引领：根据中点坐标公式可得P表示的数是12（x1+x2），再根据x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，可得A表示的数是负数，可得P表示的数是负数，从而求解．
解：∵AB的中点为P，
∴P表示的数是12（x1+x2），
∵x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，
∴A表示的数是负数，
∴P表示的数是负数，
∴点O在点P的右侧．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了数轴，中点坐标公式，有理数的加减法的知识点，需要熟练掌握．
2．（2021秋•曲阳县期末）如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则A，B分别对应数a，b，且b﹣2a＝7，那么数轴上原点的位置在 ．
思路引领：通过数轴表示出A，B之间的关系，然后结合题目给出的A，B关系式，进行求解即可得出结果．
解：∵数轴上每个刻度为1个单位长，A，B分别对应数a，b，
∴b＝a+3，
∵b﹣2a＝7，
∴a+3﹣2a＝7，
∴a＝﹣4，
∴点A对应的数为﹣4，
∵点C在点A右边4个单位长度，
∴点C表示的数为0，即原点．
解题秘籍：本题考查数轴、一元一次方程等知识点，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（2021秋•海沧区期末）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB＝BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置可能在 （填序号）．
①点A与点B之间（靠近A）；②点B与点C之间（靠近C）；③点A的左边；④点C的右边．
思路引领：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
解：∵|a|＞|b|＞|c|，
∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，
又∵AB＝BC，
∴原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方，
故答案为：②④．
解题秘籍：本题考查了绝对值与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
类型二 用数形结合思想求数轴上的点表示的数
典例2（2022春•泗水县期末）如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（ ）
A．﹣π+1 B．−π2+1 C．π+1 D．π﹣1
思路引领：根据数轴上的点表示的数解决此题．
解：由题意得，圆片的周长为π．
∴点A'表示的数是﹣1+π．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
针对训练2
4．（2022•金华模拟）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣3
思路引领：设点C表示的数为x，分两种情况：A′在线段CB的延长线上或线段CB上分别计算即可．
解：设点C表示的数为x，
当A′在线段CB的延长线上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6+4＝10，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝10﹣x，
解得：x＝1；
当A′在线段CB上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6﹣4＝2，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝2﹣x，
解得：x＝﹣3；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴，考查分类讨论，根据对折得到AC＝A′C是解题的关键，不要漏解．
5．（2022•市中区模拟）如图，A，B，C，D，E为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB＝BC＝CD＝DE，则点C所表示的数是（ ）
A．2 B．7 C．11 D．12
思路引领：先根据点A、E表示的数求出线段AE的长度，再根据长度相等的线段表示相同的单位长度求出AB、BC、CD、DE的长即可解答，
解：∵AE＝17﹣（﹣3）＝20，
又∵AB＝BC＝CD＝DE，AB+BC+CD+DE＝AE，
∴DE=14AE＝5，
∴D表示的数是17﹣5＝12，C表示的数是17﹣5×2＝7，
故选：B．
解题秘籍：本题考查数轴相关的内容，解题关键是根据相等的线段长度表示相同的单位长度．
类型三 用数形结合思想判断结论正误
典例3 （2022•东城区校级模拟）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④ba，其中值为负数的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
思路引领：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．
解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，
①2a﹣b＞0；②a+b＜0；
③|b|﹣|a|＞0；④ba＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
针对训练3
6．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①a+b+c＞0；②a•b•c＞0；③a+b﹣c＜0；④0＜ba＜1．其中，正确的有 个．
思路引领：先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．
解：由数轴可得：
a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，
∴a+b+c＜0，故①错误；
∵a，b，c中两负一正，
∴abc＞0，故②正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，
∴a+b﹣c＜0，故③正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1，
∴0＜ba＜1，故④正确，
∴正确的有②③④3个，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
类型四 用数形结合思想解决数轴上两点间距离的问题
典例4（2022•丰南区二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
思路引领：（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．
解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
故答案为：4，|x+2|；
（2）|a﹣1|＝6，
∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，
即a＝7或a＝﹣5，
故答案为：7或﹣5；
（3）有最小值，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，
所以当﹣2≤x≤4时，它的最小值为6．
解题秘籍：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
针对训练4
7．（2021秋•海州区校级期中）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
（1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 ．
（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x的和为 ．
思路引领：（1）由算式的几何意义可得，x是数轴上到表示2的点为5的点表示的数，即可求得符合题意的两个x的值；
（2）由算式的几何意义可得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，然后计算求和即可．
解：（1）∵|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5，
解得x＝﹣3，x＝7，
故答案为：﹣3或7；
（2）由题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，
即x的值为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，
∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9，
故答案为：9．
解题秘籍：此题考查了利用数形结合进行绝对值的运算能力，关键是能利用几何意义理解算式并进行准确计算．
8．（2021秋•沭阳县期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 ．若|x+3|＝4，则x＝ ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝ ．
（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 .则满足条件的所有整数x的和为 ．
（5）若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 ．
思路引领：（1）利用数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（3）根据绝对值几何意义即可得出结论．
（4）分情况讨论计算即可得出结论；
（5）|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，依此即可求解
解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；
数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．
故答案为：4，5；
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；
数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；
若|x+3|＝4，
则x+3＝4或﹣4，
∴x＝1或﹣7，
故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．
故答案为：5；
（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，
解得：x＝﹣1，
此时不符合x＜﹣1，舍去；
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，
此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，
解得：x＝3，
此时不符合x＞3，舍去．
∴x＝﹣1或0或1或2或3；
满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，
故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；
（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，
∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，
∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．
故答案为：3，6．
解题秘籍：考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，（5）中明确|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．
类型五 有数形结合思想解决数轴折叠问题
典例5（2021秋•正阳县期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣1
思路引领：求出折痕和数轴交点表示的数，对折后重合的每一对对应点到此交点距离相等即可求出答案．
解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合，
∴折痕和数轴交点表示的数是﹣3+1−(−3)2=−1，
而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4，
∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查数轴及折叠，解题的关键是找到折痕与数轴交点表示的数．
针对训练5
9．（2021秋•全州县期末）如图，数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，已知：b＞0，且b的倒数是它本身，且a，c满足（c﹣6）2+|a+2|＝0，若将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ﹣7 ．
思路引领：先利用非负性求出a和c的值，由倒数的相关概念求出b的值，再根据a、b的值确定出A、B的中点对应的值，进而求出与C点重合的点对应的数．
解：∵b＞0，且b的倒数是它本身，
∴b＝1．
∵（c﹣6）2+|a+2|＝0，
∴c﹣6＝0，a+2＝0，
∴a＝﹣2，c＝6．
∵将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，
∴折点为A、B的中点，对应的数为−2+12=−0.5，
∵c＝6，
设C点折叠后重合的点对应的数为x，
则x+62=−0.5，
解得x＝﹣7．
故答案为：﹣7．
解题秘籍：本题考查有绝对值，平方的非负性，数轴，解题关键是能结合题进行准确求解．
10．（2021秋•镇江期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是﹣7，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ．
思路引领：设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣7）＝x+7，BC＝3﹣x，由于以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，可得AC﹣BC＝2，即：x+7﹣（3﹣x）＝2，解方程即可得出答案．
解：设点C表示的数为x，
则AC＝x﹣（﹣7）＝x+7，BC＝3﹣x．
∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，
∴AC﹣BC＝2．
即：x+7﹣（3﹣x）＝2．
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题主要考查了数轴，解一元一次方程，借助数轴利用几何的方法解题直观简单，体现了数形结合的思想方法．
11．（2021秋•宝应县期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ；
（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是 ；
（3）若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M： ，N： ．
思路引领：（1）数轴上可以直接看出A：1，B：﹣4；
（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，可得答案；
（3）找到对称中心即可得答案；
（4）由题意知对称中心为﹣1，以及M，N两点间的距离为11，即可得M，N两点的位置．
解：（1）数轴上可以看出A：1，B：﹣4，
故答案为：1，﹣4；
（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，
∴这些点表示的数为：1﹣2＝﹣1，1+2＝3，
故答案为：﹣1或3；
（3）∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，
∴两点的对称中心是﹣1，
∴B点与数2重合，
故答案为：2；
（4）∵两点的对称中心是﹣1，数轴上M、N两点之间的距离为11，
∴M、N两点与对称中心的距离为112=5.5，
又∵M在N的左侧，
∴M、N两点表示的数分别是：﹣5.5﹣1＝﹣6.5，5.5﹣1＝4.5，
故答案为：﹣6.5，4.5．
解题秘籍：本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全．
类型六 用数形结合思想解决数轴上的动点问题
典例6（2020秋•苏州期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c（a＜b＜c），点A，B之间距离为12个单位长度，点B，C之间距离为n（n＞0）个单位长度．
（1）若a，b互为相反数，且c＝14，则n＝ 8 ；
（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．当P，Q两点到点B的距离相等时，求P，Q两点出发的时间．
思路引领：（1）根据a，b互为相反数和两点之间的距离可得a、b的值，再由c＝14可得n．
（2）设出发时间为x，首先用含x的代数式表示出P、Q两点，再分情况讨论即可．
解：（1）∵AB＝12，a，b互为相反数，
∴a＝﹣6，b＝6．
∵c＝14，
∴n＝14﹣6＝8．
故n＝8．
（2）由题意得：P表示的数是14﹣5t，Q表示的数是6﹣3t；
当P、Q两点在B的异侧时，14﹣5t﹣6＝6﹣（6﹣3t），
解得：t＝1；
当P、Q两点在B的同侧时，14﹣5t＝6﹣3t，
解得：t＝4；
所以P、Q两点出发的时间是1秒或4秒．
解题秘籍：本题考查数轴、相反数等知识，解题的关键是掌握用参数表示线段的长，属于中考常考题型．
针对训练6
12．（2021秋•朝阳区校级期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
思路引领：（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8
∴x＝﹣3
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8
∴x＝5
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2
AP＝t+6+3t＝4t+6
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
解题秘籍：本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
13．（2021秋•南皮县校级月考）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设点A，B，C所对应的数的和是m．
（1）若以C为原点，求m的值；
（2）若原点O在图中数轴上，且点C到原点O的距离为4，求m的值；
（3）若以B为原点，点P与点Q在数轴上作匀速运动，已知点P从点A出发，3秒后到达原点，点Q从点C出发，3.5秒后可以到达原点．假使点P与点Q分别从点A和点C同时出发，求两点相距2个单位长度时点P表示的数．
思路引领：（1）根据题意可知点C对应的数是0，再利用点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，分别求出点B，点A对应的数即可解答；
（2）分两种情况，原点O在点C的右侧，原点O在点C的左侧；
（3）分两种情况，P、Q两点相遇前相距2个单位长度，P、Q两点相遇后相距2个单位长度．
解：（1）由题意得：
点C对应的数是0，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣7，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣10，
∴m＝0+（﹣7）+（﹣10）＝﹣17；
（2）分两种情况：
当原点O在点C的右侧时，如图：
∵点C到原点O的距离为4，
∴点C对应的数是﹣4，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣11，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣14，
∴m＝﹣4+（﹣11）+（﹣14）＝﹣29，
当原点O在点C的左侧时，如图：
∵点C到原点O的距离为4，
∴点C对应的数是4，
∵点C到点B的距离为7，
∴点B对应的数是﹣3，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣6，
∴m＝4+（﹣3）+（﹣6）＝﹣5，
∴m的值为：﹣29或﹣5；
（3）由题意得：点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度为2个单位长度/秒，
∵B为原点，
∴点B对应的数是0，
∵点C到点B的距离为7，
∴点C对应的数是7，
∵点A到点B的距离为3，
∴点A对应的数是﹣3，
设运动的时间为t秒，则点P对应的数为：﹣3+t，点Q对应的数为：7﹣2t，
分两种情况：
当P、Q两点相遇前相距2个单位长度时，
由题意得：﹣3+t+2＝7﹣2t，
解得：t=83，
∴点P表示的数为：−13，
当P、Q两点相遇后相距2个单位长度时，
由题意得：﹣3+t﹣2＝7﹣2t，
解得：t＝4，
∴点P表示的数为：1，
∴点P表示的数为：−13或1．
解题秘籍：本题考查了数轴，两点间距离，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
第二部分 专题提优训练
1．（2021•思明区校级模拟）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
思路引领：先确定a，b的正负情况，再根据数轴上原点与正负数的位置关系确定原点的可能位置．
解：∵a•b＜0，且数轴上a在b的左侧，
∴a＜0，b＞0，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，
∴点B可能是原点，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了数轴及有理数加法、乘法的符号法则，判断a，b的符号和绝对值的大小关系是解决本题的关键．
2．（2021秋•武侯区期末）如图，数轴上点M，P，N分别表示数m，m+n，n，那么原点的位置是（ ）
A．在线段MP上 B．在线段PN上
C．在点M的左侧 D．在点N的右侧
思路引领：由点M，P，N的位置可知，m和n的符号相反，则m＜0＜n，且|m|＜|n|，结合数轴的定义，可知原点一定在MP上，且靠近点M．
解：由点M，P，N的位置可知，m＜0＜n，且PN＜PM，
∴n﹣（m+n）＜（m+n）﹣m，即﹣m＜n，
∴|m|＜|n|，
∴m+n＞0，
∴原点一定在PM上，且靠近点M．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查数轴的作用之一，数轴表示数，实数的加法法则等内容，本题的关键是利用有理数的加法法则得出m+n的符号是解题关键．
3．（2022•承德二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣4
思路引领：根据点B在点A的右边以及点B表示的数是4可得点A表示的数．
解：∵数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，
∴点A表示的数是4﹣6＝﹣2，
故选：C．
解题秘籍：此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．确定数轴的原点是解决本题的关键．
4．（2022•市北区二模）如图，在数轴上若两个不同的点A和B到原点的距离相等，则点B所表示的数是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．13
思路引领：到原点距离相等的点，要么互为相反数，要么是同一个数，但已知条件说是两个不同的点，所以，B与A互为相反数，即B只能是3．
解：设点B表示的数为x，
∵点A与点B到原点的距离相等，
∴|﹣3|＝|x|，
∴x＝±3，
∵点A与点B是不同的点，
∴x＝3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两个点到原点的距离，解题的关键是想到有两种情况，根据已知条件否定一种情况．
5．（2022•灞桥区校级模拟）如图，数轴上相邻两个刻度之间为1个单位长度，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：利用两点间的距离公式计算即可．
解：设点B表示的数是x，
∵AB＝4，
∴x﹣（﹣1）＝4，
∴x＝3，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是用右边的数减去左边的数．
6．（2022春•洛阳期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（ ）
A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1
思路引领：先求出圆的周长，再根据数轴的定义进行解答即可．
解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴该圆的周长为π，
∴当圆沿数轴向左滚动1周时，点A′表示的数是﹣π﹣1；
将圆沿数轴向右滚动1周时，点A′表示的数是π﹣1．
故选：D．
解题秘籍：本题考查实数与数轴的特点，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解答本题的关键．
7．（西湖区校级月考）若有理数m在数轴上对应的点为M．满足|m|＝﹣m，且m＞1m，则下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据绝对值的性质由|m|＝﹣m，可得m＜0；再由不等式的性质由m＞1m，可得﹣1＜m＜0，即可求解．
解：由|m|＝﹣m，则m＜0，
又由m＞1m，则﹣1＜m＜0，
结合选项可得D正确，
故选：D．
解题秘籍：本题考查数轴和绝对值的性质；熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质是解题的关键．
8．（椒江区校级月考）若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据绝对值的意义得到m＜﹣1，然后利用数轴表示数的方法对各选项进行判断．
解：∵|m|＞1，m＜0，
∴m＜﹣1，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
9．（2021秋•兰山区期末）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是 ．
思路引领：数轴上两点间的距离：数轴上表示两个点所对应的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数，本题由图中知A的值，又知道距离是2，可求出点B的值．
解：由图知：A＝﹣3，
|A﹣B|＝2，
得出B＝﹣5或﹣1．
故答案为：﹣5或﹣1．
解题秘籍：本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上表示两个点所对应的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数，比较简单．
10．（2021秋•长沙县期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 ﹣11 表示的点重合；
（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝ ，最小值为 ．
思路引领：（1）利用绝对值和偶次方的非负性，进行计算即可；
（2）利用数轴上两点间距离先求出折点表示的数，然后进行计算即可解答；
（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．
解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9，
故答案为：﹣3，9；
（2）设折点表示的数为x，
∵将数轴折叠，使得A点与B点重合，
∴1﹣x＝x﹣（﹣3），
∴x＝﹣1，
∴折点表示的数为：﹣1，
设点C与数y表示的点重合，
∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），
∴y＝﹣11，
∴点C与数﹣11表示的点重合，
故答案为：﹣11；
（3）由题意得：
代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，
当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，
即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，
最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|
＝4+0+8
＝12，
故答案为：1，12．
解题秘籍：本题考查了数轴，偶次方与绝对值的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
11．（2021秋•方城县期末）在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：
（1）A、B之间的距离是
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是： ；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M： N： ．
思路引领：（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣2表示的点相距4单位，其对称点为﹣1，由此得出与B点重合的点；
（4）对称点为﹣0.5，M点在对称点左边，离对称点2011÷2＝1005.5个单位，N点在对称点右边，离对称点1005.5个单位，由此求出M、N两点表示的数．
解：（1）A、B之间的距离是1+|﹣2|＝3．
故答案为：3；
（2）与点A的距离为5的点表示的数是：﹣4或6．
故答案为：﹣4或6；
（3）则A点与﹣3重合，则对称点是﹣1，则数B关于﹣1的对称点是：0．
故答案为：0，；
（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧）可知，
M点表示数﹣1007，N点表示数1005．
故答案为：﹣1007，1005．
解题秘籍：本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
12．（2018秋•新吴区期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
思路引领：（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；
（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x=163．
故相遇点M所对应的数是163．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
解题秘籍：本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
13．（2019秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．
思路引领：（1）根据题意，由P、Q两点的路程和为28列出方程求解即可；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．分点P在点O的左边，点P在点O的右边两种情况讨论即可求解；
（3）根据中点的定义得到AN＝PN=12AP＝t，可得CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，再代入计算即可求解．
解：（1）根据题意得2t+t＝28，
解得t=283，
∴AM=563＞10，
∴M在O的右侧，且OM=563−10=263，
∴当t=283时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是263；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．
若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t=173．
综上所述，t的值为3或173时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）∵N是AP的中点，
∴AN＝PN=12AP＝t，
∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，
2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度．
14．（2017秋•崇川区校级期末）【阅读理解】
如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段：AB，AC，BC．且AC≠BC，其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点C是线段AB的“定分点”．
【解决问题】
已知点A，B，C是数轴上的三个点（点A在点B的左侧），O为原点．
（1）若点A，B对应的数分别为﹣4，x，点O为线段AB的定分点，则x的值为 2或8 ；
（2）如图2，若点A，B，C对应的数分别为﹣6，2，6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴负方向运动，同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度速度沿数轴正方向运动，请探究A，B两点是否可能为线段PQ的定分点？说明你的理由．
思路引领：（1）由定义分情况讨论可得答案．（2）结合数轴，分AP＝2AQ，2AP＝AQ，BP＝2BQ三种情况讨论．
解：（1）2或8；
（2）点A和点B都可能是线段PO的定分点．
理由：设运动时间为ts，则AP＝2t，CQ＝t，
由题意得：QA＝12+t，BP＝8+2t，BO＝4+t．
若AP＝2AQ，则2t＝2（12+t），此情况不成立；
若2AP＝AQ，则2×2t＝12+t，即t＝4，当t＝4s时，AQ＝2AP，点A是线段PQ的定分点．
若BP＝2BQ，则8+2t＝2（4+t），此等式恒成立．则B始终是线段PQ的定分点．
综上所述，A，B均可能是PQ的定分点，当t＝4s时，点A是线段PQ的定分点；
BP＝2BQ，B始终是线段PQ的定分点．
解题秘籍：本题是数轴和中点以及行程问题的简单结合，主要要分情况讨论，找到线段的等量关系是关键．
15．（2021秋•翠屏区校级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝ ；PC＝ ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝ ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．
思路引领：（1）根据题意容易得出结果；
（2）①根据路程和＝20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PQ．
解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t；
故答案为：t，36﹣t；
（2）①有依题意有
t+3（t﹣16）﹣16＝20，
解得：t＝21，
t﹣16＝21﹣16＝5．
故当t＝21，点P、Q相遇，此时点Q运动了5秒．
故答案为：21，5；
②当16≤t≤21时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t；
当21＜t≤28时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84．
解题秘籍：本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解答（2）②题，对t分类讨论是解题关键．
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