第16讲 一元一次方程的实际应用（行程、工程、利润、调配及配套问题）（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第16讲 一元一次方程的实际应用（行程、工程、利润、调配及配套问题）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】行程问题
题型一 一般行程问题
典例1（2022春•杨浦区期末）甲以每小时30千米的速度由A地行驶到B地，如果以比原速度多20%的速度行驶，则甲花了原来时间的12多20分钟到达B地，求甲原来需要行驶的时间与A、B两地间的距离．
思路引领：设甲原来需要行驶的时间为x小时，利用提速前后所行驶的路程不变列出方程，解方程即可得出答案．
解：30×（1+20%）＝36（千米/时），
设甲原来需要行驶的时间为x小时，
由题意得：30x＝36（12x+13），
解得：x＝1，
30×1＝30（千米），
答：甲原来需要行驶的时间是1小时，A、B两地间的距离30千米．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，利用提速前后所行驶的路程不变列出方程是解决问题的关键．
针对训练1
1．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

思路引领：设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h．
解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
题型二 相遇问题
典例2（2022春•绥棱县期末）甲乙两地相距350千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，3.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是3：2，这两列火车的速度分别是多少？
思路引领：设快车的速度是3x千米/小时，则慢车的速度是2x千米/小时，根据甲乙两地相距350千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，3.5小时后相遇，列出方程计算即可求解．
解：设快车的速度是3x千米/小时，则慢车的速度是2x千米/小时，
依题意得：3.5（3x+2x）＝350，
解得：x＝20，
则3x＝3×20＝60，
2x＝2×20＝40．
故快车的速度是60千米/小时，慢车的速度是40千米/小时．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练2
2．（2022•灞桥区校级模拟）甲、乙两人同时从A地到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车．甲、乙时速之比为5：1，甲先到达B地以后立即返回A地．在返回途中遇见乙，此时，距他们出发时间为2小时15分．若A地、B地相距67.5千米，求甲、乙两人的速度各是多少．
思路引领：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为5x千米/时，利用甲、乙的速度之后×相遇时间＝A，B两地间的路程的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出乙的速度，再将其代入5x中即可求出甲的速度．
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为5x千米/时，
依题意得：94×（5x+x）＝67.5×2，
解得：x＝10，
∴5x＝5×10＝50．
答：甲的速度为50千米/时，乙的速度为10千米/时．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

题型三 追及问题
典例3（2022春•金沙县期末）修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约160km，其中古蔺至金沙段全长近40km，设计时速100km的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以100km/h的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以80km/h的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？（列一元一次方程解）
思路引领：设小轿车xh追上客车，根据速度差×时间＝路程差，依此列出方程计算即可求解．
解：设小轿车xh追上客车，依题意有：
（100﹣80）（x−1560）＝40﹣100×1560，
解得x＝1，
160﹣100×1＝60（km）．
故小轿车能在到达贵阳之前追上客车，追上时距离目的地贵阳还有60km远．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
针对训练3
3．（2022春•社旗县期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】
（1）根据题意，请画出示意图；
（2）相等关系为（请填空）：　 　；
【建模解答】
（请你完整解答本题）．
思路引领：根据“队伍走的路程＝通讯员走的路程”，列方程求解．
解：【自主思考】
（1）示意图如下：

（2）因为都是从学校出发的，所以路程相等，
故答案为：队伍走的路程＝通讯员走的路程．
【建模解答】
设通信员用多少小时可以追上队伍，
依题意可得：4（x+0.5）＝12x，
解得：x＝0.25，0.25×60＝15，
答：设通信员用15分钟可以追上队伍．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
题型四 流水问题与上、下坡问题
典例4（2022春•让胡路区校级期末）轮船在静水中的航行速度25km/h，水流速度为5km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．
思路引领：设甲、乙两码头间的距离为xkm，根据时间＝路程÷速度结合往返共用6小时，列出一元一次方程，解方程即可．
解：设甲、乙两码头间的距离为xkm，
依题意，得：x25+5+x25−5=6，
解得：x＝72，
答：甲、乙两码头间的距离为72km．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练4
4．（2022春•南阳期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．
思路引领：设船在静水中的平均速度为xkm/h，利用航程＝航速×时间，结合甲、乙两码头间的航程不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，
依题意得：3（x+3）＝4（x﹣3），
解得：x＝21．
答：船在静水中的平均速度为21km/h．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【模块二】工程问题
题型一 有具体数量作为工作量
典例5（2022•运城一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲，乙工程队每天各施工多少米？
思路引领：设乙工程队每天施工x米，则甲工程队每天施工（x+5）米，利用工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙工程队每天施工的长度，再将其代入（x+5）中即可求出甲工程队每天施工长度．
解：设乙工程队每天施工x米，则甲工程队每天施工（x+5）米，
依题意得：（2+4）（x+5）+4x＝400﹣70，
解得：x＝30，
∴x+5＝30+5＝35．
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练5
5．（2021秋•泰山区期末）为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每处需安装相同长度的排污治理管道），一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．
（1）求每个排污治理点需铺设的管道长度；
（2）已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天按一天算）．若要使总费用最少，应选择哪种方案？请通过计算说明．
思路引领：（1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，根据每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用工作时间＝工作总量÷每队每天完成的工作量，可分别求出选择各方案所需时间，利用总费用＝每名工人每天所需费用×该队人数×工作时间，可分别求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，
依题意得：5x−603−5x+404=20，
解得：x＝120．
答：每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．
（2）选择方案一所需时间为120×50+5880120×5−60=22（天），
∴选择方案一所需总费用为500×3×22＝33000（元）；
选择方案二所需时间为120×50+5880120×5+40=18.5625（天），18+1＝19（天），
选择方案二所需总费用为400×4×19＝30400（元）．
∵33000＞30400，
∴若要使总费用最少，应选择方案二．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案所需总费用．
题型二 没有具体数量作为工作量
典例6（2022春•南召县期中）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工，如果单独用A型设备，需要45天做完；如果单独用B型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
（1）填空：A型设备的工作效率是 　 　，B型设备的工作效率是 　 　；
（2）若两台设备同时加工10天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，如果由A型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
思路引领：（1）利用工作效率＝工作总量÷工作时间，可得出A，B两台设备的工作效率；
（2）设还需要x天完成，利用A型设备完成的工作量+B型设备完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵如果单独用A型设备，需要45天做完；如果单独用B型设备，需要30天做完，
∴A型设备的工作效率是这批冬季校服数量的145，B型设备的工作效率是这批冬季校服数量的130．
故答案为：这批冬季校服数量的145；这批冬季校服数量的130．
（2）设还需要x天完成，
依题意得：10+x45+1030=1，
解得：x＝20．
答：还需要20天完成．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练6
6．（2022春•仁寿县期中）一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？
思路引领：设甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设甲做了x天，
依题意得：x20+1215=1，
解得：x＝4．
答：甲做了4天．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【模块三】调配及配套问题
题型一 调配问题
典例7（2021秋•潜江期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的人数之比为2：3：4．设支援后在甲处植树的有2x人．
（1）根据信息填表：

甲处
乙处
丙处
原有人数
6
10
8
支援的人数
2x﹣6
　3x﹣10　
　4x﹣8　
支援后的人数
2x
　3x　
　4x　
（2）已知支援丙处的人数是支援乙处人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？
思路引领：（1）根据信息填表即可；
（2）根据“支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍”列出方程并解答．
解：（1）依题意得：乙处支援后的总人数：3x，支援的人数为：3x﹣10；
丙处支援后的总人数：4x，支援的人数为：4x﹣8．
故答案是：

甲处
乙处
丙处
原有人数
6
10
8
支援的人数
2x﹣6
3x﹣10
4x﹣8
支援后的人数
2x
3x
4x
（2）依题意得4x﹣8＝2（3x﹣10），
解得x＝6，
所以2x﹣6＝6，3x﹣10＝8，4x﹣8＝16．
答：支援甲、乙、丙三处各有6人、8人、16人．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准题中的等量关系并列出方程．
针对训练7
7．（老河口市期末）甲车间有32人，乙车间有28人，现从乙车间抽调部分人到甲车间，请用列方程的方法解答下列问题：
（1）调人后甲车间人数是乙车间人数的2倍，求抽调的人数；
（2）若每人每天能加工A零件300个或B零件140个，3个A零件和一个B零件刚好配成一套，甲车间负责加工A零件，乙车间负责加工B零件，为了使每天加工的零件刚好完全配套，求抽调的人数．
思路引领：（1）设抽调了x人，根据“调人后甲车间人数是乙车间人数的2倍”列方程并求解；
（2）设抽调了y 人，根据“3个A零件和一个B零件刚好配成一套”列出方程并解答．
解：（1）设抽调了x人，
根据题意，得32+x＝2（28﹣x）．
解这个方程，得x＝8．
答：抽调了8人．
（2）设抽调了y 人，
根据题意，得300（32+y）＝3×140（28﹣y ）．
解这个方程，得x＝3．
答：抽调了3人．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
题型二 配套问题
典例8（2022春•闵行区期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
思路引领：设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数．
解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，
依题意得：100x12=75(34−x)8，
解得：x＝18，
∴34﹣x＝34﹣18＝16．
答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练8
8．（2022春•鲤城区校级期末）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．
（1）若用5张白铁皮制作盒底，需要用 张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成 　 　个罐头盒．
（2）现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
思路引领：（1）利用制作盒身所需白铁皮的数量＝制作盒底的数量÷2÷25，即可求出制作盒身所需白铁皮的数量；利用做成罐头盒的数量＝制作盒底的数量÷2，即可求出做成罐头盒的数量；
（2）设用x张制盒身，则用（36﹣x）张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）40×5÷2÷25＝4（张），
40×5÷2＝100（个）．
故答案为：4；100．
（2）设用x张制盒身，则用（36﹣x）张制盒底，
依题意得：2×25x＝40（36﹣x），
解得：x＝16，
∴36﹣x＝36﹣16＝20．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【模块四】利润问题
题型一 销售问题
典例9某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是多少？
思路引领：设参数出原进价为a元，设出这种商品原来的利润率为x，利用利润率=售价−进价进价列出方程解得即可．
解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，
a(1+x)−a(1−6.4%)a(1−6.4%)=x+8%，
解得x＝17%．
解题秘籍：此题考查利润率的计算公式：利润率=售价−进价进价，分析题意找出售价、进价、利润就可以解决问题．
针对训练9
9．（2022•海曙区校级开学）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：
（1）降价前每件衬衫的利润率为多少？
（2）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
思路引领：（1）根据利润率公式计算即可求解；
（2）每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，根据销售收入﹣进货成本＝利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）（120﹣80）÷80×100%
＝40÷80×100%
＝50%．
故降价前每件衬衫的利润率为50%；
（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，
根据题意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500＝80×500×45%，
解得：x＝20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型二 销售两件商品预测盈亏
典例10（2021秋•泰州月考）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他赔 　 　元．
思路引领：要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
解：设在这次买卖中第一件原价x元，
则可列方程：（1+25%）x＝135，
解得：x＝108，
比较可知，第一件赚了27元，
设在这次买卖中第一件原价y元，
则可列方程：（1﹣25%）y＝135
解得：y＝180，
比较可知亏了45元，
两件相比则一共亏了18元．
故答案为：18．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先算出两件衣服的原价，才能知道赔赚．不可凭想象答题．
针对训练10
10．一种3年期的国库券，年利率是5.18%，3年期的定期存款，年利率是5%，小红的爸爸有一笔钱，如果用来买3年期的国库券比存3年期定期存款到期后可多得利息43.2元，那么这笔钱是　 　元．
思路引领：设这笔钱是x元，用买3年期的国库券的利息减去存3年期定期存款到期后的利息得到x•3•5.18%﹣x•3•5%＝43.2，然后解方程即可．
解：设这笔钱是x元，
根据题意得x•3•5.18%﹣x•3•5%＝43.2，
解得x＝8000（元）．
答：这笔钱是8000元．
故答案为8000．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．解决本题的关键是理解利息的意义．
题型三 储蓄问题
典例11 为了准备小颖六年后上大学的学费15000元，她的父亲现在就参加了教育储蓄．下面有两种蓄方式：
（1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期；
（2）直接存一个六年期的．
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
期数
教育储蓄年利率/%
一年
2.25
三年
3.24
六年
3.60
思路引领：分别根据两种存款方式求出利息的总和进而比较得出即可．
解：设开始存入x元．如果按照第一种储蓄方式：
有：x（1+3.24%×3）（1+3.24%×3）＝15000，
解得：x≈12460．
如果按第二种储蓄方式：
有：x+x•3.6%×6＝15000，
解得：x≈12336，
即第一种储蓄方式存入的本金约需12460元，
第二种储蓄方式开始存入的本金约需12336元，
因为12460＞12336，
因此，按第二种储蓄方式开始存入的本金少．
解题秘籍：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知分别求出利息的总和是解题关键．
针对训练11
11．（2022春•闵行区校级期中）一种节能型冰箱，商家计划按进价加价20%作为售价，为了促销，商家现在按原售价的九折出售了40台，降价后的新售价是每台2430元．
（1）按照新售价出售，商家每台冰箱还可赚多少元？
（2）售完这批冰箱后，商家将购进40台冰箱的进货款存入银行，存期一年，不扣利息税到期可得人民币92025元，求这项储蓄的年利率是多少？
思路引领：（1）设这种节能型冰箱的进价是x元，则原售价是1.2x元，根据降价后的新售价是每台2430元列方程，即可解得进价为2250元，再用2430减去进价即得答案；
（2）这项储蓄的年利率是y，根据到期可得人民币92025元，可列方程，解得这项储蓄的年利率是2.25%．
解：（1）设这种节能型冰箱的进价是x元，则原售价是1.2x元，根据题意得：
0.9×1.2x＝2430，
解得x＝2250，
按降价后的新售价出售，商店每台还可赚：2430﹣2250＝180（元），
答：按降价后的新售价出售，商店每台还可赚180元；
（2）这项储蓄的年利率是y，根据题意得：
2250×40（1+y）＝92025，
解得y＝0.0225＝2.25%，
答：这项储蓄的年利率是2.25%．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列一元一次方程．
题型四 销售方案问题
典例12（2022•八步区模拟）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会的城市．为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛，为奖励长跑优胜者，学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融水杯和徽章．了解到某商店水杯的单价比徽章的单价多11元，若买2个水杯和3个徽章共需67元．
（1）水杯和徽章的单价各是多少元？
（2）该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折．若学校需要购买10个水杯和30个徽章，选择哪种方案更优惠？
思路引领：（1）设水杯的单价是x元，则徽章的单价是（x﹣11）元．根据题意列出方程即可求出答案；
（2）分别计算两种方案的总费用即可求出答案．
解：（1）设水杯的单价是x元，则徽章的单价是（x﹣11）元，
根据题意，得：2x+3（x﹣11）＝67，
解得x＝20，
徽章：x﹣11＝20﹣11＝9．
答：水杯的单价是20元，徽章的单价是9元；
（2）方案一：10×20+9×30＝470（元），
（470﹣200）×0.8＝216（元），
200+216＝416（元），
方案二：（10×20+9×30）×0.9＝423（元），
∵416＜423，
∴选择方案一更优惠．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
针对训练12
12．（2021秋•绵竹市期末）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种：
方案一

A
B
每件标价
90元
100元
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例如买一件A商品，只需付款90×（1﹣30%）元
方案二
所购商品一律按标价的20%返利
（1）某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？
（2）某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，求x的值．
思路引领：（1）分别求出方案一和方案二所付的款数，然后选择省钱的方案，求出所省的钱数；
（2）分别表述出方案一和方案二所需付款，根据两方案的实际付款一样，求出x的值．
解：（1）方案一付款：30×90×（1﹣30%）+20×100×（1﹣15%）＝3590（元），
方案二付款：（30×90+20×100）×（1﹣20%）＝3760（元），
∵3590＜3760，3760﹣3590＝170（元），
∴选用方案一更划算，能便宜170元；
（2）设某单位购买A商品x件，
则方案一需付款：90（1﹣30%）x+100（1﹣15%）（2x﹣1）＝233x﹣85，
方案二需付款：[90x+100（2x﹣1）]（1﹣20%）＝232x﹣80，
当两方案付款一样时可得，233x﹣85＝232x﹣80，
解得：x＝5，
答：某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，x的值为5．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
第二部分 专题提升训练
1．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
思路引领：利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2021秋•富裕县期末）A、B两地相距350千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为60千米/时，乙车速度为40千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（　　）
A．3.5 B．3.5或2.5 C．4 D．3或4
思路引领：应该有两种情况，第一种情况应该是还没相遇时相距50千米，第二种情况应该是相遇后交错离开相距50千米，根据路程＝速度×时间，可列方程求解．
解：根据题意得60t+40t＝350﹣50或60t+40t＝350+50，
解得t＝3或t＝4．
答：t的值是3或4．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系．
3．（2018秋•庐阳区期末）某项工程，甲单独完成要45天，乙单独完成要30天．开始时由甲先单独做，从第10日起，乙加入同甲合做，求甲、乙两人合做多少天能完成全部工程．设甲、乙合做x天完成全部工程，则符合题意的方程是（　　）
A．x+945+x30=1 B．x+1045+x30=1
C．1045+x30=1 D．x45+x30=1
思路引领：设甲、乙合做x天完成全部工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝整项工程（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设甲、乙合做x天完成全部工程，
依题意，得：x+945+x30=1．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022春•射洪市校级月考）某牧场，放养的鸵鸟和奶牛一共70只，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的头数比奶牛多（　　）
A．20只 B．14只 C．15只 D．13只
思路引领：设鸵鸟有x只，则奶牛有（70﹣x）只，根据题意列方程求解即可得出结论．
解：设鸵鸟有x只，则奶牛有（70﹣x）只，根据题意列方程得，
2x+4×（70﹣x）＝196，
解得x＝42，
70﹣x＝28，
42﹣28＝14（只），
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查一元一次方程的知识，根据题意列方程求出鸵鸟和奶牛的只数是解题的关键．
5．（2021秋•长寿区期末）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼有4道门，其中两道大小相同的正门和两道大小相同的侧门．在安全大检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以同时通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以同时通过560名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低了20%．安全检查规定，在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过4道门安全撤离．假如这栋教学大楼每间教室最多有45名学生．问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
思路引领：（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）先判断，然偶根据题意计算出实际可以通过的学生数，然后与学校最多容纳的学生数比较大小即可说明理由．
解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，则平均每分钟一道侧门可以通过800÷4﹣x＝（200﹣x）名学生，
由题意可得：2x+2[2×（200﹣x）]＝560，
解得x＝120，
∴200﹣x＝80，
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，平均每分钟一道侧门可以通过80名学生；
（2）建造的这4道门符合安全规定，
理由：∵这栋教学楼一共可以容纳学生：4×8×45＝1440（名），
拥挤时5分钟内通过4道门的学生有：（120+80）×（1﹣20%）×2×5
＝200×80%×2×5
＝1600（名），
∵1600＞1440，
∴建造的这4道门符合安全规定．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
6．一条直的河流中有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，需立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行．已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5km/h，水流的速度是2.5km/h，A、C两地间的距离为10km．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4h，问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？
思路引领：由题意可知C地的位置有两种情况：①C地在A、B两地之间，②C地在A地的上游，同时需弄清乙返回C地时是逆流的，确定出逆流速度和顺流速度；由于甲船一直是顺流航行，则其速度为（7.5+2.5）千米/时，且甲船行驶AB段所用的时间为（4−x7.5+2.5）小时，试着求出AB的长；乙船从B到C时为逆流，速度为（7.5﹣2.5）千米/时，且乙船从C到B所用的时间为x7.5+2.5小时，则BC段的长度为(7.5−2.5)x7.5+2.5千米，接下来根据AB﹣BC＝10或BC﹣AB＝10列出方程，即可求出x的值．
解：设乙船从B地到C地时，甲船距离B地xkm，分两种情况：
①当C地在A、B两地之间时，由题意得
10＝（7.5+2.5）（4−x7.5+2.5）﹣（7.5﹣2.5）x7.5+2.5，
∴x＝20；
②当C地在A地的上游时，由题意得
10＝（7.5﹣2.5）x7.5+2.5−（7.5+2.5）（4−x7.5+2.5），
∴x=1003．
答：乙船从B地到C地时，甲船距离B地20km或1003km．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况讨论，同时这也是一个易错点．
7．（2001•宁夏）列方程解应用题：某工程公司要在银川市铺设一条地下天然气管道，为使工程提前5天完成，需将原定的工作效率提高10%，那么原计划完成这项工程需要多少天？
思路引领：等量关系为：原来的工作效率×原来的工作时间＝现在的工作效率×现在的工作时间．
解：设原计划完成这项工程需要x天，原来的工作效率为1．
则：1×x＝（1+10%）×（x﹣5），
解之得：x＝55．
答：原计划完成这项工程需要55天．
解题秘籍：列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系；当一些必须的量没有时，为了简便，应设其为1．
8．要铺设一条长650米的地下管道，由甲乙两个工程队从两端相向施工，甲队每天铺设48米，乙队比甲队每天多铺设22米，如果乙队比甲队晚开工1天，那么乙队开工多少天，两队能完成整个铺设的80%？（必须列一元一次方程）
思路引领：设乙队开工x天两队能完成整个铺设任务的80%，根据题意所述等量关系得出方程，解出即可．
解：设乙队开工x天两队能完成整个铺设任务的80%，
由题意得，甲队每天铺设48米，乙队每天铺设70米，
则48（x+1）+70x＝650×80%，
解得：x＝4．
答：乙队开工4天两队能完成整个铺设任务的80%．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据等量关系得出方程．
9．（2022春•泌阳县期中）疫情期间，甲、乙两镇急需一批核酸采样医务人员，甲镇目前有25名采样医务人员，乙镇目前有15名采样医务人员．某大型医院调出20名医务人员去支援，根据甲、乙两镇居民数量，使得甲镇的医务人员是乙镇的2倍．
（1）问应调往甲、乙两镇各多少名医务人员？
（2）为了排查感染者，两镇需要对居民进行全员核酸检测，现两镇每天需核酸检测18000份．若每名医务人员平均每天入户采集核酸220份，那么两镇现有的医务人员是否能完成采样任务？如果能，请说明理由；如果不能，还需增加多少名采样医务人员？
思路引领：（1）设调往甲镇x名医务人员，则调往乙镇（20﹣x）名医务人员，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）由（1）可知先在医务人员的总数为60名，每天可完成13200＜18000，故两镇现有的医务人员不能完成采样任务，由18000﹣13200＝4800，4800÷220=21911≈22，可知还需增加22名采样医务人员．
解：（1）设调往甲镇x名医务人员，则调往乙镇（20﹣x）名医务人员，
由题意得：25+x＝2（15+20﹣x），
解得：x＝15，
∴20﹣x＝20﹣15＝5（名），
答：调往甲镇15名医务人员，则调往乙镇5名医务人员；
（2）由（1）可知先在医务人员的总数为25+15+20＝60（名），每天可完成220×60＝13200＜18000，
∴两镇现有的医务人员不能完成采样任务，
18000﹣13200＝4800（份），
4800÷220=21911≈22（名），
答：不能，还需增加22名采样医务人员．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键．
10．（2022•马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
思路引领：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，根据用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，
依题意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，
解得：x＝20．
答：该款奶茶线下销售价格为20元/杯．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022春•沙坪坝区期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，某班购进了一批冰墩墩吉祥物分配给班级同学，若每人分2个，则剩余30个；若每人分3个，则还缺10个，求班级中有多少名同学．
思路引领：设班级中有x名同学，根据“若每人分2个，则剩余30个；若每人分3个，则还缺10个”以及冰墩墩吉祥物总个数不变列出方程，求解即可．
解：设班级中有x名同学，根据题意可得：
2x+30＝3x﹣10，
解得：x＝40．
答：班级中有40名同学．
解题秘籍：此题主要考查了一元一次方程的应用，得出正确的等量关系是解题关键．
12．（2022春•长安区校级期末）某同学在A，B两家网店发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是492元，且随身听的单价比书包单价的3倍少108元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元．
（2）某一天恰好赶上商家促销，网店A所有商品打八折销售，网店B全场每购满100元减25元销售，怎样购买更省钱？写出必要的理由过程．
思路引领：（1）设随身听的单价是x元，则书包的单价是（492﹣x）元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）网店A所有商品打八折销售，网店B全场每购满100元减25元销售，根据优惠方案即可求出答案．
解：（1）设随身听的单价是x元，则书包的单价是（492﹣x）元，依题意有：
3（492﹣x）﹣108＝x，
解得x＝342，
则492﹣x＝492﹣342＝150．
故随身听的单价是342元，书包的单价是150元；
（2）网店A：492×0.8＝393.6（元）；
网店B：492﹣25×4＝392（元）；
∵393.6＞392，
∴网店B购买更省钱．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
13．（2022•陵水县二模）一个由师生共30人组成的旅游团，到陵水猴岛旅游．已知猴岛的门票销售标准是：成人门票150元/张，学生门票是成人票价的五折．该旅游团购买门票共花费2400元．问该团队老师和学生分别有多少人？
思路引领：设该团队老师有x人，可得：150x+150×50%（30﹣x）＝2400，即可解得该团队老师有2人，学生有28人．
解：设该团队老师有x人，则学生有（30﹣x）人，
根据题意得：150x+150×50%（30﹣x）＝2400，
解得x＝2，
∴30﹣x＝30﹣2＝28，
答：该团队老师有2人，学生有28人．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程．
14．（2022春•宽城区期末）自动驾驶汽车是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车，某出租车公司拟在今明两年共投资6000万元改造220辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改造费用是30万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改造费用可下降40%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的改造费用．
（2）求今年改造的无人驾驶出租车的数量．
思路引领：（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改造费用是30万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改造费用可下降40%，列出算式即可求解；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资6000万元改装220辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可．
解：（1）30×（1﹣40%）＝18（万元）．
故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是18万元；
（2）设今年改装的无人驾驶出租车是x辆，则明年改装的无人驾驶出租车是（220﹣x）辆，依题意有
30x+18（220﹣x）＝6000，
解得：x＝170．
答：今年改造的无人驾驶出租车是170辆．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
15．（2022春•淇滨区期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的七折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低20元销售8件的销售额相等，求这种服装每件的标价．
思路引领：设这种服装每件的标价是x元，可得：710x×10＝8（x﹣20），即可解得这种服装每件的标价是160元．
解：设这种服装每件的标价是x元，
根据题意得：710x×10＝8（x﹣20），
解得x＝160，
答：这种服装每件的标价是160元．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
16．（2022春•天河区期末）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有A型冰墩墩和B型雪容融两种商品．已知购买1个A型商品和1个B型商品共需要220元，购买3个A型商品和2个B型商品共需要560元，求每个A型商品的售价．
思路引领：设每个A型商品的售价为x元，则每个B型商品的售价为（220﹣x）元，根据购买3个A型商品和2个B型商品共需要560元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设每个A型商品的售价为x元，则每个B型商品的售价为（220﹣x）元，
依题意得：3x+2（220﹣x）＝560，
解得：x＝120．
答：每个A型商品的售价为120元．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2022春•晋江市期末）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．
思路引领：设A、B两市之间的路程为skm，根据“汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时”建立方程，求解即可．
解：设A、B两市之间的路程为skm，
根据题意可知，15s+110s60+(1−15−110)s100=1.8，
解得：s＝150，
答：A、B两地的距离为150千米．
解题秘籍：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间解答．
18．（2022•碑林区校级模拟）在即将到来的“6.18年中大促”活动中，某商场计划对所有商品打折出售．已知某商品的进价是1500元，按照商品标价的八折出售时，利润率是12%，那么该商品的标价是多少元？
思路引领：设该商品的标价是x元，根据商品标价的八折出售，利润率是12%得：0.8x﹣1500＝1500×12%，即可解得答案．
解：设该商品的标价是x元，
根据题意得：0.8x﹣1500＝1500×12%，
解得x＝2100，
答：该商品的标价是2100元．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19．（2022•沙坪坝区校级模拟）某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成．7月份施工时，甲工程队7天完成了16间教室的地砖铺设；乙工程队3天铺完了8间教室地砖后再铺设了20m2的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成28m2的地砖铺设．求每间教室需要铺设地砖的面积．
思路引领：可设每间教室需要铺设地砖的面积xm2，分别表示出甲、乙每天的铺设的面积，即可列出相应的方程；
解：（1）设每间教室需要铺设地砖的面积xm2，依题意得：
8x+203−16x7=28，
解得：x＝56，
答：每间教室需要铺设地砖的面积56m2；
解题秘籍：本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．