高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案

教案及设计说明

《5.2.1 基本初等函数的导数》

【教学内容】

基本初等函数的导数

【教学目标】

1.掌握基本初等函数的导数公式及公式的推导过程；

2.学会利用公式求一些函数的导数；

3.培养数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.

【教学重难点】

教学重点：基本初等函数的导数公式及公式的推导过程.

教学难点：基本初等函数的导数公式的推导过程及应用.

【教学过程】

（一）复习回顾

问题1：什么是平均变化率？什么是瞬时变化率？什么又是导数的定义呢？

问题2：什么是导数的几何意义呢？

师生活动：教师给出问题后让学生结合前几节课所学的知识来回答.

设计意图：通过复习导数的定义和几何意义，引入本节新课.建立知识间的联系，为推导基本初等函数的导数奠定基础，为从数与形两个角度理解基本初等函数的导数提供依据，提高学生概括、类比推理的能力.

（二）探索新知

由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，我们知道很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数了.

问题1：根据刚刚复习的导数定义，请同学们说一说求函数的导数的步骤是什么？

师生活动：教师抛出问题后让学生思索片刻，再归纳得出结论.

求函数导数的步骤：（1）求平均变化率；

（2）求极限 .

根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.

设计意图：再一次明确求导的步骤，为推导基本初等函数的导数做好准备，并培养学生的归纳概况能力.

问题2：求函数的导数.

追问1：若表示路程关于时间的函数，则从物理的角度可以怎么解释呢？

问题3：求函数的导数.

追问2：若表示路程关于时间的函数，则从物理的角度可以怎么解释呢？

问题4：求函数的导数.

追问3：若表示路程关于时间的函数，则从几何的角度和物理的角度可以怎么解释呢？

问题5：求函数的导数.

追问4：从几何的角度可以怎么解释呢？

师生活动：前两个基本初等函数的求导相对比较简单，由教师分别给出问题后让学生先独立完成并回答,然后师生一起进行修正.函数和函数的导数计算过程都会碰到取极限时出现0比0型，需要利用完全平方公式、和的立方公式化简后再求极限.思考方法有相通之处，可以先由教师带着学生做一个，再由教师提示和的立方公式后再由学生类比完成，教师适时做出引导.

设计意图：通过让学生亲身体验四个基本初等函数的求导过程，帮助学生进一步理解导数的定义和求解步骤，为后续求解较复杂函数的导数打下基础.根据定义计算完和的导数后，让学生从物理的角度去解释导数的意义；计算完的导数后，让学生从几何和物理两个角度去解释导数的意义；计算完的导数后，让学生从几何的角度去解释导数的意义.这样有意识地引导学生将导数与导数的意义联系起来，使学生深刻认识导数的内涵，逐渐养成应用数学解释现实问题的习惯，提高学生分析问题、解决问题的能力.

问题6：求函数的导数.

师生活动 ：画出函数的图象，根据图象，描述它的变化情况，并要求曲线在点（1，1）处的切线方程.

问题7：求函数的导数.

师生活动：由于这两个函数求导稍微复杂，所以先由教师提出问题，让学生思考片刻之后，教师再带着学生一起计算.问题6配套的探究中设计了两个问题，第一个问题要求学生画出函数的图象，并结合函数的导数描述图象的变化情况；第二个问题要求学生求出曲线在点（1，1）处的切线方程.

追问1：以上这些函数均可表示为的形式，其导数有何规律？

追问2： 还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？

设计意图：通过师生共同完成和的导数推导过程，进一步提升学生的数学运算素养.通过探究，让学生从几何的角度去解释导数的意义，并对导数的几何意义做进一步的回顾.通过两个思考题，让学生总结规律，归纳得出幂函数的求导公式，培养学生的归纳概括能力.同时让学生思考还有哪些基本初等函数的导数需要研究，培养学生思维的完备性.

前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用.

师生活动：教师给出6个常用的基本初等函数的导数，指出公式2与前面推导的五个函数导数之间的关系．对于后面4个函数，让学生观察规律，教会学生如何记忆．

设计意图：通过梳理常见6个常用基本初等函数的导数的特征和记忆方法，为后续解决函数求导问题奠定基础，在引导学生进行观察的过程中加强学生的归纳概况能力.

（三）知识应用

例1：求下列函数的导数：

（1）                （2）

师生活动：教师通过PPT提出问题后，请学生回答问题，教师对学生的回答进行评价与修正.

设计意图：例1是导数公式的直接应用，通过这道例题使学生熟悉基本初等函数导数公式的应用，进一步理解基本初等函数的导数公式，并养成有序思考解决问题的能力.

例2：假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？

问题：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？

师生活动：教师给出例题后，由学生独立思考后提问学生，教师做出评价和修正.讲完例2后提出问题，让学生交流讨论，教师进行指点解惑.

设计意图：在解决关于指数函数求导的实际问题中进一步熟悉基本初等函数导数公式，体会导数的实际应用.在讲解完例2抛出问题，发现的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式来进行解答，从而为下一节课介绍导数的四则运算法则埋下伏笔.

（四）课堂小结

1.今天我们利用导数定义推导了哪些函数的导数？从物理和几何角度如何来看待这些函数的导数？

推导了函数、、、、、的导数

2.常见的六个基本初等函数的导数公式

3.导数公式的应用（准确辨别函数类型、正确使用求导公式）

师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，互相讨论交流，老师再进行归纳.

设计意图：引导学生回顾本节课所学内容，学会对知识进行梳理，形成知识网络，培养学生归纳概况能力.

（五）布置作业

教材第75页练习第1、2、3、4题.

设计意图：通过布置作业，使学生进一步巩固所学知识，熟悉基本初等函数的导数公式，提升解决问题的能力.

【目标检测题】（见资源包）