专题5.5 四边形中的最值问题专项训练（30道）（举一反三）（浙教版）

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专题5.5 四边形中的最值问题专项训练（30道）
【浙教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！

1．（2021春•德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　）

A．1+2 B．1+3 C．3 D．5
【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE=2，OE＝1，再根据OC≤CE+OE＝1+2，即可得到点C到原点O距离的最大值是1+2．
【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，
∵∠AOB＝90°，
∴Rt△AOB中，OE=12AB＝1，
又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，
∴Rt△CBE中，CE=12+12=2，
又∵OC≤CE+OE＝1+2，
∴OC的最大值为1+2，
即点C到原点O距离的最大值是1+2，
故选：A．

2．（2021春•西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）

A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【解题思路】AM=12EF=12AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．
【解答过程】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM=12AP，由勾股定理知BC=32+42=5，
∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AP，
∴AP=3×45=125，
∴AM=12AP=65=1.2，
故选：D．
3．（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　）

A．62 B．32 C．4 D．3
【解题思路】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．
【解答过程】解：连接BP，如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC，BP最短，
在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，
根据勾股定理可解得BP＝32，
∴EF得最小值为32．
故选：B．
4．（2021春•重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（　　）

A．2 B．2 C．8 D．4
【解题思路】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．
【解答过程】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，
∠EAO=∠FDOAO=DO∠AOE=∠DOF，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF=2OE=2λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝22，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤22，
∴22≤EF≤4．
所以线段EF的最小值为22．
故选：C．
5．（2021春•马鞍山期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　）

A．3 B．62 C．63 D．1
【解题思路】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答过程】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝23，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH=12AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=22AB=22×23=6，
∴GH=62，
即GH的最小值为62，
故选：B．

6．（2021春•潜山市期末）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（　　）

A．2 B．2 C．22 D．42
【解题思路】连接DG，可证△AGD≌△AEB，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．
【解答过程】解：连接DG，如图，
，
∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，
∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，
∴∠GAD＝∠BAE，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴∠PDG＝∠ABE＝45°，
∴G点轨迹为线段DH，
当PG⊥DH时，PG最短，
在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，
设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，
x2+x2＝42，
解得x=22，
故选：C．
7．（2021春•蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为52，则AD的值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．
【解答过程】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，
，
∵AB：AD＝2：1，
∴AD＝AE＝EB＝BC，
∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，
∴∠DEC＝90°，
BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．
∵H为CD中点，
∴CH＝CB，∠GHB＝90°，
在Rt△HCB中，BH＝52，
∴CH＝CB＝5，
故选：A．
8．（2021春•南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．20
【解题思路】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【解答过程】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE=BE2+BC2=82+62=10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．

9．（2021春•连云港期末）如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

A．5 B．4 C．43 D．53
【解题思路】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答过程】解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC=12CG，OD=12DH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
AC=ADAO=AOCO=DO，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB=12AB=12×8＝4，
即OB的最小值为4．
故选：B．
10．（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）

A．5 B．9 C．92 D．922
【解题思路】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答过程】解：如图，

将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD=22AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤9，
∴AM的最大值为9，
∴AD的最大值为922．
故选：D．
11．（2021春•邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．22
【解题思路】如图，作辅助线；证明△AOE≌△DOF，进而得到OE＝OF，此为解决该题的关键性结论；求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．
【解答过程】解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，
∠EAO=∠FDOAO=DO∠AOE=∠DOF，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF=2OE=2λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝22，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤22，
∴22≤EF≤4．
所以线段EF的最小值为22．
故选：D．
12．（2021•宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（　　）

A．210 B．42 C．6 D．8
【解题思路】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答过程】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，

∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝FM，
∴AE+CF＝FM+FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM=AM2+AC2=22+62=210
∴AE+CF的最小值为210．
故选：A．
13．（2021春•宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）

A．12 B．20 C．48 D．80
【解题思路】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【解答过程】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．

在Rt△ADH中，DH=AH2+AD2=82+42=80，
∴BF+DE最小值为80．
故选：D．
14．（2021春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）

A．43+3 B．221 C．23+6 D．45
【解题思路】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【解答过程】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，
∵PB＝EF，
∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB=ABBC=33，
∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE=(43)2+62=221，
故选：B．
15．（2021•江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　）

A．5+3 B．213-2 C．210-65 D．22+3
【解题思路】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=12BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．
【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
∵BF＝EG，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB
∵∠ABF+∠AFB＝90°
∴∠ABF+∠BEG＝90°
∴∠EIF＝90°，
∴BF⊥EG；
∵△EIB是直角三角形，
∴OI=12BE，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，
∵OD﹣OI≤DI，
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，
∵IO=12BE＝2，
∴OD=AD2+AO2=213，
∴ID＝213-2，即DI的最小值为213-2，
故选：B．

16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 　4.8　．

【解题思路】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答过程】解：设AC与BD的交点为O，

∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD＝4，
∴BC=OB2+OC2=42+32=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝BC×AP，
∴AP=245=4.8，
故答案为：4.8．
17．（2021春•椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接PA，则PA的最小值是　213　．

【解题思路】P点运动轨迹为△CDB的中位线，即求A点到这条中位线的最短距离．
【解答过程】解：当点E运动时，P点轨迹为△CBD中位线GH，如图，
，
∵点A到直线GH的最短距离为AF，但是E点在运动中，P点轨迹为GH，
∴点A到线段GH的最短距离为AG，
∵G为CD中点，
∴DG＝4，
在Rt△ADG中，AD＝6，DG＝4，
∴AG=62+42=213．
故答案为213．
18．（2021春•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是CD上一个动点，点F，G分别是AB，AE的中点，则线段FG的最小值是 　32　．

【解题思路】连接BE，可得FG是△ABE的中位线，要使线段FG最小，需BE最小，当点E与点C重合时，BE最小为3，进而可得线段FG的最小值．
【解答过程】解：如图，连接BE，

∵点F，G分别是AB，AE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG=12BE，
要使线段FG最小，
需BE最小，
当点E与点C重合时，BE最小为3，
则线段FG的最小值是32．
故答案为：32．
19．（2021春•东海县期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，对角线交于点O，点E在AD上，且DE=14AD，点F是OB的中点，点G为对角线AC上的一动点，则GE﹣GF的最大值为 　134　．

【解题思路】由菱形的性质可得AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD的长，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，可得GF＝GF'，OF＝OF'，则GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，即当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可求解．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，
∴AD=AO2+DO2=144+25=13，
如图，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，

∵AC⊥BD，点H是AD中点，
∴OH＝HD=12AD=132，
∵点F与点F'关于AC对称，
∴GF＝GF'，OF＝OF'，
∴GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，
∴当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，
∵DE=14AD，HD=12AD，
∴DE＝EH，
∵点F是OB的中点，
∴OF=12OB＝OF'=12DO，
∴EF'=12OH=134，
故答案为：134．
20．（2021•淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　62cm　．

【解题思路】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．
【解答过程】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
∵∠α＝30°，DE＝3cm，
∴CD＝2DE＝6cm，
同理：BC＝AD＝6cm，
由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C=A'B2+BC2=62+62=62（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是62cm，
故答案为62cm．

21．（2021春•龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是 　43+4　．

【解题思路】过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，然后根据含30度角的直角三角形列式计算即可求出EP的最小值．
【解答过程】解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，

当EP⊥AC时，EP取得最小值，
∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，
∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，
∴∠ACF＝30°，
∴∠CGP＝∠EGF＝60°，
∵∠F＝90°，
∴∠FEG＝30°，
设PG＝x，则CG＝2x，
∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，
∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），
∵FG=33EF，
∴8﹣2x＝8×33，
∴x＝4-433，
∴EP＝EG+PG＝2（8﹣2x）+x＝16﹣3x＝43+4．
故答案为：43+4．
22．（2021春•茅箭区校级期末）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 　6　．

【解题思路】连接AM、CM、EM，根据四边形CDEF是矩形，和△ACD是等边三角形，证明△ADM≌△ACM，从而求出∠CAM＝30°，当BM⊥AM时，MB有最小值，然后用含有30°角的直角三角形的性质求出MB．
【解答过程】解：连接AM、CM、EM，如图：

∵矩形CDEF，M是DF的中点，
∴C、M、E共线，
∴DM=12DF=12CE＝CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AD＝AC，
在△ADM和△ACM中，
AD=ACDM=CMAM=AM，
∴△ADM≌△ACM（SSS），
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60°，
∴∠CAM＝30°，
∴当BM⊥AM时，MB有最小值，
此时，BM=12AB=12×12＝6，
故答案为：6．
23．（2021•北仑区二模）如图，△ABC的边AB＝3，AB边上的中线CM＝1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连接GD，取GD中点N．则点N到线段AB的距离最大值为 　52　．

【解题思路】当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，则AC＝BC，∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，通过证明△AMC≌△GOC，可以求出AM，然后再证明出OCNG是矩形，从而求出MN．
【解答过程】解：∵点N到AB的距离介于G、D到AB的距离之间，
∴当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，
则AC＝BC，
∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，
过点C作CP∥AB，作GO⊥CP，O为垂足，

∵PC∥AB，
∴∠PCA＝∠CAM，∠PCA+∠OCG＝90°，∠OGC+∠OCG＝90°，
∴∠OGC＝∠PCA＝∠CAM，
在△AMC和△GOC中，
∠AMC=∠GOC∠CAM=CGOAC=CG，
∴△AMC≌△GOC（AAS），
∴GO＝AM=12AB=32，
∵GO⊥PC，MN⊥AB，PC∥AB，
∴PC⊥MN，MN⊥GD，
∴四边形GDCN是矩形，
∴GO＝NC，
MN＝CM+CN，
∵CM＝1，GO＝NC=32，
∴MN＝1+32=52．
故答案为：52．
24．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 　732　．

【解题思路】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE=12PB，则MP+12PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．
【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE=12PB，
∴MP+12PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB=MEMC=32，
∴ME=732，
∴MP+12PB的最小值为732，
故答案为732．
25．（2021•海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN=5，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为　115　．

【解题思路】先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，求出F的坐标，再求出Q的坐标，即可得出答案．
【解答过程】解：先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，如图所示，


∵AB＝2＝CD，BC＝4，
∴C（4，0），BF＝BC＝4，
由勾股定理得：BD=BC2+CD2=42+22=25，
由三角形面积公式得：12×CR×BD=12×BC×CD，
即CR=BC×CDBD=4×225=455，
即CF＝2CR=855，
由勾股定理得：BF2﹣BP2＝CF2﹣CP2，
∴42﹣BP2＝（855）2﹣（4﹣BP）2，
解得：BP=125，
∴FP=42-(125)2=165，
∴F的坐标是（125，165），
∴Q的坐标是（25，115），
即CM+EN的最小值为115，
故答案为：115．
26．（2021•浙江自主招生）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为　2　，最小值为　2　．

【解题思路】连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC=12AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC，推出BB′+DD′+CC′=2AP，根据已知得出1≤AP≤2，
代入求出即可．
【解答过程】解：
连接AC、DP，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
由勾股定理得：AC=12+12=2，
∵AB＝1，
∴1≤AP≤2，
∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，
∴S△DPC＝S△APC=12AP×CC′，
1＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′），
BB′+DD′+CC′=2AP，
∵1≤AP≤2，
2≤BB′+CC′+DD′≤2，
故答案为：2，2．
27．（2021•乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+PA＝6，则AB长的最大值为　43　．

【解题思路】连接PC，CE，AC；由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝6≥CE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出CE=32AB，进而求出AB长的最大值．
【解答过程】解：连接PC，CE，AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AP＝PC，
∴PE+PC＝PE+PA＝6≥CE，
∵∠DAB＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE＝BE，
∴∠AEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴CE=32BC=32AB≤6，
所以AB≤43，
即AB长的最大值是43，
故答案为：43．

28．（2021•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　7.8　．

【解题思路】证四边形ABCD是菱形，得CD＝AD＝5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN＝4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．
【解答过程】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD于点O，
∴平行四边形ABCD是菱形，AD=AO2+DO2=42+32=5，
∴CD＝AD＝5，
连接PD，如图所示：
∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，
∴12AD•PM+12DC•PN=12AC•OD，
即12×5×PM+12×5×PN=12×8×3，
∴5×（PM+PN）＝8×3，
∴PM+PN＝4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案为：7.8．

29．（2021•河西区二模）已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为　25　．

【解题思路】连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，利用勾股定理求解即可．
【解答过程】解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴DF＝CE，
在△DCE与△ADF中，
DC=AD∠BCD=∠ADCCE=DF，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，
∴AE+AF＝AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE＝A′E，
即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，
AA′＝2AB＝4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=22+42=25，
故AE+AF的最小值为25．
故答案为：25．
30．（2021春•鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为　43-2　．

【解题思路】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出AB＝DE，由题意得CD2+CE2＝CA2+CB2，求出CE＝43，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝43-2．
【解答过程】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
则AB＝DE，
由题意得：CD2+CE2＝CA2+CB2，
即22+CE2＝42+62，
解得：CE＝43，
当C、D、E三点共线时，DE最小，
∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝43-2；
故答案为：43-2．