期末复习检测B卷-最新八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
期末复习检测 B卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册，共27题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．全红婵在2021年东京奥运会女子十米跳台项目中获得了冠军，五次跳水成绩分别是（单位：分）；82.50，96.00，95.70，96.00，96.00，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．96.00，95.70 B．96.00，96.00
C．96.00，82.56 D．95.70，96.00
【答案】B
【解析】
【分析】
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是这组数据的中位数．
【详解】
解：在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；
将这组数据从小到大的顺序排列为82.50，95.70，96.00，96.00，96.00，处于中间位置的那两个数是96.00，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是96.00．
故选：B．
【点睛】
本题考查众数与中位数的意义，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，再求众数和中位数是解题的关键．
2．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（       ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（       ）
A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.
【详解】
A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、52+122=132，故能构成直角三角形，
故选D．
【点睛】
本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
4．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
5．是整数，正整数n的最小值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可知n=2.
【详解】
∵是整数，
∴=，即n=2，选B.
【点睛】
此题主要考察二次根式的应用.
6．如图，在中，，于点，和的角平分线相交于点，为边的中点，，则（       ）

A．125° B．145° C．175° D．190°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．
【详解】
如图：

∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．小明这学期第一次数学考试得了72分，第二次数学考试得了86分，为了达到三次考试的平均成绩不少于80分的目标，他第三次数学考试至少得____分．
【答案】82
【解析】
【分析】
设第三次考试成绩为x，根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式，求出x的取值范围即可得答案．
【详解】
设第三次考试成绩为x，
∵三次考试的平均成绩不少于80分，
∴，
解得：，
∴他第三次数学考试至少得82分，
故答案为：82
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用．熟练掌握求平均数的方法，根据不等关系正确列出不等式是解题关键．
8．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为_____．

【答案】1＜x＜4
【解析】
【分析】
先解不等式0＜mx+n，结合图像可知上的点在轴的上方，可得＜ 再解mx+n＜kx+b，结合图像可知上的点在的上方，可得＞ 从而可得0＜mx+n＜kx+b的解集．
【详解】
解： 不等式0＜mx+n，
上的点在轴的上方，

＜
mx+n＜kx+b，
上的点在的上方，
，
＞
不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为1＜＜4，
故答案为：1＜＜4，
【点睛】
本题考查的是一次函数与不等式组的关系，掌握利用一次函数的图像解不等式组是解题的关键．
9．如图，在长方形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，则DE的长为___.

【答案】或8或或
【解析】
【分析】
当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．
②当点F落在AB边上时，如答图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．
③当点F落在BC边上时，利用勾股定理即可解决问题；
④如图4中，当点F在CB的延长线上时，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
，
当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．

由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，
设DE=x，则EF=x，CE=6-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+22=（6-x）2，
解得x=，
∴DE=；
②当点F落在AB边上时，如图2所示．

此时ADEF为正方形，
∴DE=AD=8．
③如图4，

当点F落在BC边上时，易知BF，
设DE=EF=x，
在Rt△EFC中，，
，
，
④如图3中，当点F在CB的延长线上时，

设DE=EF=x，
则BF，
在Rt△CEF中，，
解得x=，
综上所述，BE的长为或8或或.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
10．计算：的结果是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
【详解】

=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
11．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
首先根据等边三角形的性质可得A B'=AE=E B'，∠B'=∠B'EA=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B'CA，，再证明∠B'AC=90°，再证得S△AEC=S△AEB'，再求S△A B'C进而可得答案．
【详解】
解：∵为等边三角形，
∴A B'=AE=E B'，∠B'=∠B'EA=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B'CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠B'EA=∠B'CB，∠EAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠BCA=30°,
∴∠EAC=30°，
∴∠B'AC=90°，
∵,
∴B'C=8,
∴AC==,
∵B'E=AE=EC,
∴S△AEC=S△AEB'= S△A B'C= × ×4×=,
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
12．如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的关系如图（b）所示，则m的值是________．

【答案】5
【解析】
【分析】
先根据点（2，3）在图象上得出BC的长，然后利用三角形的面积求出AB的长，进而可得答案．
【详解】
解：由图象上的点可知：，
由三角形面积公式，得：，解得：．
，．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型，根据题意和图象得出BC和AB的长是解题关键．
13．已知数a、b、c在数粒上的位置如图所示，化简的结果是______．

【答案】0
【解析】
【分析】
首先根据数轴可以得到c＜a＜0＜b，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．
【详解】
解：根据数轴可以得到：c＜a＜0＜b，
则c-b＜0，a+c＜0，
则原式=
=-a+（a+c）+（b-c）-b=-a+a+c+b-c-b=0．
故答案是：0．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质、整式的加减、以及绝对值的性质，解答此题，要弄清
14．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____．

【答案】90°##90度
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．
【详解】
解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，
∴×AC×DE=6，
∴AC=4，
∴，
∵AB＝5，
∴AB2＝25，
∴，
∴∠ACB=90°．
故答案为：90°
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．
15．对于任意的正数、定义运算“★”为：，则的运算结果为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据新定义可得：，再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】
解：∵
∴



故答案为：
【点睛】
本题考查的是新定义运算，二次根式的化简与二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解本题的关键．
16．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量(kg)
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度(cm)
10
10.5
11
11.5
12
12.5

在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为x kg，那么弹簧的长度y cm可以表示为_____.
【答案】y=10+0.5x
【解析】
【分析】
由表可知，当物体的质量每增加kg，弹簧的长度伸长cm，由此可得与的关系式．
【详解】
解：分析表格可知，当物体的质量每增加kg，弹簧的长度伸长cm，
与的关系式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用表格表示变量之间的关系，解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律．

三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠A=∠D，AC、DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）作CN∥BD，BN∥AC，CN交BN于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BNCM是菱形，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用AAS可证明出△ABM和△DCM，然后根据全等三角形的性质得出∠MBC=∠MCB，最后利用AAS即可作出证明；
（2）根据平行线的性质和题意，即可得出△MBC≌△NCB，根据全等三角形的性质即可作出证明．
【详解】
如图所示

（1）在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM(AAS)，
∴BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(AAS)
（2）四边形BNCM是菱形，其理由如下：
∵CN∥BD，
∴∠MBC=∠NCB，
又∵BN∥AC，
∴∠MCB=∠NBC，
在△MBC和△NCB中，
，
∴△MBC≌△NCB(ASA)，
∴BM=CN，MC=NB，
又∵BM=CM，
∴BM=MC=CN=NB，
∴四边形BNCM是菱形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定和菱形的判定，熟练运用相关的判定与性质是解题的关键．
18．已知．
（1）求代数式的值；
（2）求代数式﹣的值．
【答案】（1）（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质求得的值，代入代数式求解即可；
（2）先化简二次根式里面的分式，再根据（1）中的值，代入求解即可．
【详解】
，
，，
，
，
（1）当，时，
，
（2）﹣

，


原式
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，分式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
19．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

【答案】（1）12米；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7（米），根据勾股定理：OB′===2 （米），
∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米
答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米.
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．
20．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形EFGH的面积= ．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BGAB=3，AG=3CE，BFBC=2，CF=2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．
【详解】
（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．
∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．
∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．
∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．如图，一次函数的图象过、两点，与轴交于点．

(1)求此一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)已知：点在轴上，且使的值最小，请直接写出点的坐标______，及的最小值是______．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）先利用一次函数解析式确定点坐标，然后根据三角形面积公式，利用进行计算；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，利用关于轴对称的点的坐标特征得到，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算自变量为对应的函数值得到点的坐标．
(1)
解：根据题意得，
解得，
此一次函数的解析式为；
(2)
当时，，解得，则，
；
(3)
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
，
，
此时的值最小，最小值为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为．
故答案为：；；

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质和最短路径问题．
22．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．

（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】
证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．

（2）．
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．

（3）

理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．2021年底，甲公司利用滑雪运动兴起的商机，面向消费者推出VR（虚拟现实）滑雪体验优惠方案，当VR体验超过一定次数后，继续参与滑雪就可享受优惠．某消费者在甲公司参与滑雪体验所花费的总金额y（元）与体验次数x（次）之间的关系如图所示．


(1)填空：没达到优惠前，消费者参加一次VR滑雪体验的费用是______元；
(2)求y与x的函数关系式；
(3)2022年初，乙公司也推出VR滑雪体验，单次体验的价格与甲公司优惠前的价格相同．消费者如果先购买一张40元的专享卡，然后参加每次滑雪体验均可享受八折优惠，小高计划参加VR滑雪体验18次，他选择哪家公司更省钱？两家公司的费用相差多少？
【答案】(1)30；
(2)；
(3)参加甲公司推出VR滑雪体验，更省钱，两家公司的费用相差元
【解析】
【分析】
（1）由图像可得，在时，没达到优惠，根据图像求解即可；
（2）由图像可得，分和两种情况，用待定系数法求解即可；
（3）根据题意，分别求得参加甲、乙两公司的费用，即可求解．
(1)
解：由图像可得，在体验次数时，没达到优惠，
由图像可得，体验10次的费用为300元，
则消费者参加一次VR滑雪体验的费用是30元，
故答案为：30
(2)
解：由图像可得，在时，设y与x的函数关系式为，
将代入，得，解得，
即，
当时，设y与x的函数关系式为，
将，代入，得
，解得，即，
综上可得：
(3)
解：参加甲公司推出的VR滑雪体验，
将代入可得，
即参加甲公司推出VR滑雪体验，费用为元，
参加乙公司推出VR滑雪体验，费用为元，
∵
∴参加甲公司推出VR滑雪体验，更省钱，
两家公司的费用相差元，
答：参加甲公司推出VR滑雪体验，更省钱，两家公司的费用相差元．
【点睛】
此题考查了一次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质，理解题意，读懂函数图像．
24．国庆节期间，小王一家乘坐飞机前往大连市旅游，计划第二天租出租车自驾游．
公司
租车收费方式
甲
每日固定租金元，另外每小时收费元．
乙
无固定租金，直接以租车时间计费﹐每小时租车费元．

（1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与之间的函数关系式；
（2）请你帮助小王计算选择哪家公司租车更合算．
【答案】（1）；；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据表格信息列出函数关系式即可；
（2）分别求出当时、当时、当时对应x的范围即可．
【详解】
解：（1）根据表格信息可得：
租用甲公司的车所需费用，
租用乙公司的车所需费用；
（2）当时，

解得：
故当时，甲乙两家公司一样优惠；
时，

解得：
故当时，乙公司优惠．
当时，

解得：
故当时，甲公司优惠．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、不等式的应用，根据表格信息列出函数关系式是解题的关键．
25．某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
①七年级成绩在这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79；
②七年级成绩频数分布直方图及七、八年级成绩的平均数、中位数分别如下：

年级
平均数
中位数
七
76.9

八
79.2
79.5

根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人；
(2)表中的值为______；
(3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
(4)该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】(1)23
(2)77
(3)甲学生在该年级的排名更靠前，理由见解析
(4)280人
【解析】
【分析】
（1）根据条形图可直接得到答案；
（2）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得，根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.8分的人数所占比例可得．
(1)
在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，
故答案为：23；
(2)
七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、77，
∴m==77，
故答案为：77；
(3)
甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数77分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
(4)
估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×=280（人）．
【点睛】
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝　 　；DP＝　 　；BQ＝　 　；CQ＝　 　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

【答案】（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）t＝5s时四边形APQB是平行四边形（3）当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形
【解析】
【分析】
（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长；
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【详解】
解：（1）AP=t，DP =12﹣t，BQ=15﹣2t，CQ=2t；
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t＝15﹣2t，解得t＝5，
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
27．已知：在中，点在直线上，点在同一条直线上，且，
【问题初探】（1）如图1，若平分，求证：．

请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．

【变式再探】（2）如图2，若平分的外角，交的延长线于点，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．

【拓展运用】（3）如图3，在的条件下．若，求的长度．

【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明得BE=BC，得，进一步可得结论；
（2）根据ASA证明得BE=BC，得；
（3）连结，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC，由EC=EA+AC可得结论．
【详解】
解：（1）证明平分，


在和中，

，


；
．
理由：平分，

在和中，

，

．
连结，

，
，
，
且，

由得，
，





，
．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键．