初中数学人教版八年级下册19.2.1 正比例函数复习练习题

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
19.2.1 正比例函数
题型导航
正
比
例
函
数

正比例函数的定义
题型1
正比例函数的图像
题型2
正比例函数的性质
题型3

题型4



题型变式

【题型1】正比例函数的定义
1．（2022·江苏海州·八年级期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（       ）
A．y＝x B．y＝5x﹣1 C．y＝x2 D．y＝
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义判断即可．
【详解】
解：A．y＝x，是正比例函数，故选项符合题意；
B．y＝5x﹣1，是一次函数，故选项不符合题意；
C．y＝x2，是二次函数，故选项不符合题意；
D．y＝，是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．形如的函数是正比例函数．

【变式1-1】
1．（2022·浙江余姚·八年级期末）已知与成正比例，当时，，则当时，__________．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】
根据题意设，进而待定系数求解即可
【详解】
解：∵与成正比例，
∴设，
当时，，

当时，
故答案为：
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，待定系数法求解析式是解题的关键．


【题型2】正比例函数的图像
1．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　）
A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，1） D．（6，3）
【答案】B
【解析】
【分析】
将四点的横坐标x代入正比例函数解析式求出函数值，然后利用正比例函数图象上点的坐标特征验证四个选项中的点是否在正比例函数图象上即可得解．
【详解】
解：A、当x=时，，
∴点不在正比例函数的图象上；
B、当x=﹣3时，，
∴点（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上；
C、当x=0时，，
∴点（0，1）不在正比例函数的图象上；
D、当x=6时，，
∴（6，3）不在正比例函数的图象上．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·陕西金台·八年级期末）已知函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9（x是自变量）的图象只经过二、四象限，则m＝_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据解析式是关于x的一次函数，只经过二、四象限可知函数为正比例函数，k＜0，b=0,列方程与不等式求解即可．
【详解】
解：函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9是关于x的一次函数，
∵函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9（x是自变量）的图象只经过二、四象限，
∴，
解得，
∵m=3＞2舍去，
m=-3＜2,满足条件，
∴m=-3，
故答案为-3．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，正比例函数，解不等式，直接开平方法解一元二次方程，掌握一次函数的性质，正比例函数，解不等式，直接开平方法解一元二次方程是解题关键．
【题型3】正比例函数的性质
1．（2022·安徽长丰·八年级期末）若y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（-1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a＜b．
【详解】
解：∵y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，
∴m2-1=0，m-1≠0，
解得：m=-1，
∴m-1=-1-1=-2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（1，a）和B（-1，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图象上，且1＞-1，
∴a＜b．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
【变式3-1】
2．（2022·全国·八年级）关于x的正比例函数y=(m+2)x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】m>-2
【解析】
【分析】
先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵正比例函数中，y随x的增大而增大，
∴＞0，
解得．
故答案为；．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．




专项训练

一．选择题

1．（2021·湖北江汉·）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝2x+1 C．y＝2x2 D．y2＝2x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的一般形式为y＝kx（k≠0）判断即可．
【详解】
解：A、y＝2x是正比例函数，故此选项符合题意；
B、y＝x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝2x2中x的次数不是1，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
D、y2＝2x中y不是x的函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．（2021·上海市罗星中学）关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（       ）
A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义与性质判定即可．
【详解】
解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；
B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；
C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意；
D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键．
3．（2022·全国·）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（　　）
A．y＝3x+1 B． C． D．y＝3x+2
【答案】C
【解析】
【分析】
正比例函数的解析式为y=kx+b，2y-3与3x+1成正比例，代入可确定y与x的函数解析式．
【详解】
∵2y﹣3与3x+1成正比例，则2y﹣3＝k（3x+1），当k＝1时，2y﹣3＝3x+1，即y＝x+2．
故选：C．
【点睛】
本题要注意利用一次函数的特点，来列出方程，求出未知数．
4．（2021·全国·）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可．
【详解】
A.两点不在同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
B.两点不在同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
C.两点在同一个正比例函数图象上，故本选项正确；
D.两点不在同一个正比例函数图象上，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（2021·山东单县·）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．mn＝30 B． C．m+n＝11 D．m﹣n＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
设正比例函数解析式为y＝kx，再根据正比例函数图象上点的坐标可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，进而可得答案．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y＝kx，
∵图象经过A（m，6），B（5，n）两点，
∴6＝km，n＝5k，
∴k＝，k＝，
∴，
∴mn＝30，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正比例函数点的特征，根据正比例函数点的坐标特征得出是解题的关键．
6．（2021·黑龙江巴彦·）已知点，是正比例函数图像上的两点，下列判断正确的是（       ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数图形的增减性，结合函数图象上的点的横坐标的大小关系，即可得到答案．
【详解】
解：∵正比例函数y=-2x上的点y随着想的增大而减小，
又∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-2x图象上的两点，
若x1＜x2， 则y1＞y2，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·全国·）y与x成正比例，当时，，则y关于x的函数关系式是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义，列出函数表达式，再根据待定系数法求解析式即可．形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．其中叫做比例系数．
【详解】
设y关于x的函数关系式为：（k是常数，）
当时，，
则，
解得，
y关于x的函数关系式
故答案为：
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
8．（2021·湖南雨花·）正比例函数的图象过点（1，1），则k的值_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
将点（1，1）代入正比例函数即可求得．
【详解】
解：将点（1，1）代入正比例函数，得
解得
故答案为．
【点睛】
此题考查了正比例函数的基础知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
9．（2021·江苏新区·）点P（2，﹣4）在正比例函数y＝kx（k是常数，且k≠0）的图象上，则k＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
把点P（2，﹣4）代入正比例函数y＝kx中可得k的值.
【详解】
解：∵点P（2，﹣4）在正比例函数y＝kx（k是常数，且k≠0）的图象上，
∴﹣4＝2×k，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，经过函数的某点一定在函数的图象上，理解正比例函数的定义是解题的关键．
10．（2022·全国·）若函数y＝（m+1）x+（1﹣m2）是正比例函数，则m的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义列出关于的方程和不等式，求出的值即可．
【详解】
解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1．
11．（2021·广东·连南瑶族自治县教师发展中心）某正比例函数的图像经过点（，3），则此函数关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设正比例函数解析式为y=kx，把已知点的坐标代入y=kx中求出k即可．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y=kx，
把（-1，3）代入y=kx得k=-3，
所以正比例函数解析式为y=-3x．
故答案为y=-3x．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），然后把一组对应值代入求出k即可．
12．（2021·山东·青岛市城阳第八中学）已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
三、解答题
13．（2020·湖南师大附中博才实验中学）已知是的正比例函数，并且当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）x=1
【解析】
【分析】
（1）由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，即可求得k的值；
（2）把y的值代入（1）中的函数式即可求得相应的x值．
【详解】
（1）由题意可设（）．则
，
解得，，
所以y关于x的函数解析式是；
（2）当时，，
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k的值．
14．（2021·安徽省六安皋城中学）已知y与x-2成正比例，当x=3时，y=2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y= -2时，求 自变量x的值．
【答案】（1）y=2x-4；（2）x=1
【解析】
【分析】
（1）设y=k(x－2)，把x=3，y=2代入所设的解析式中，求得k的值，即可得到所求的结果；
（2）把y=－2代入（1）中的解析式中，解方程即可求得自变量x的值．
【详解】
（1）设y=k(x－2)，其中k≠0
把x=3，y=2代入y=k(x－2)中，得：（3－2）k=2
解得k=2
所以y=2(x－2)
即y=2x－4
（2）把y=－2代入y=2x－4中，得2x－4=－2
解得：x=1
即自变量x的值为1
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，已知函数值求自变量的值，掌握正比例函数的定义是关键．
15．（2021·全国·）已知与成正比例函数关系，且时，．   
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）求当时，的值；
（3）当 时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据与成正比例关系设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出的值，进而求出与之间的函数解析式．
（2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得值；
（3）利用（1）中所求函数解析式，根据，求得的取值范围．
【详解】
解：（1）依题意得：设．
将，代入：得
所以，，
即．
（2）由（1）知，，
∴     当时，，
即；
（3）由（1）知，，
∴     当 时，，
解得，．
【点睛】
此题考查的是求一次函数解析式，正比例的定义，函数值，函数自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．
16．（2021·全国·）已知与成正比例，且当时，．
（1）求出与之间的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）y=2x-2；（2）0
【解析】
【分析】
（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可．
【详解】
解：（1）设y=k（x-1），
把x=3，y=4代入得（3-1）k=4，解得k=2，
所以y=2（x-1），
即y=2x-2；
（2）当x=1时，
y=2×1-2=0．
【点睛】
本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
17．（2020·四川平昌·）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．

【答案】，图见解析
【解析】
【分析】
根据S△ADP=•DP•AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC，得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．
【详解】
解：S△ADP=•DP•AD=x×4=2x，
∴y=2x（0＜x≤4）；
故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2），
因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．
如图所示：

【点睛】
此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．
18．（2020·山东青岛·）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论购买数量是多少，价格均为6元/千克，在乙批发店，购买数量不越过50千克时，价格为7元千克；购买数超过50千克时，超出部分的价格为5元千克．假设小王在某批发店购买苹果的数为千克．
（1）根据题意填表：
购买数量/千克
30
50
150
…
甲批发店费用/元

300

…
乙批发店费用/元

350

…

（2）假设在甲批发店购买苹果的费用为元，求与之间的关系式；
（3）根据题意填空
①若小王在甲、乙两个批发店购买的苹果的数量相同．且花费也相同，则他购买的苹果的数量为________千克；
②若小王计划购买的苹果的数量为120千克，则他去________批发店购买时的花费少；
③若小王购买苹果时花费了360元，则他去_______批发店购买的数量多．
【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）①100；②乙；③甲．
【解析】
【分析】
（1）根据甲、乙两批发店的价格列出式子进行计算即可得；
（2）根据题意可得与之间的关系式为正比例函数，再利用待定系数法即可得；
（3）①分和两种情况，根据题意分别建立方程，然后解一元一次方程即可得；
②分别求出甲、乙两批发店的费用，再比较大小即可得；
③分别求出甲、乙两批发店可购买的数量，再比较大小即可得．
【详解】
（1）由题意，甲批发店：购买30千克的费用为（元），
购买150千克的费用为（元），
乙批发店：购买30千克的费用为（元），
购买150千克的费用为（元），
则填表如下：
购买数量/千克
30
50
150
…
甲批发店费用/元
180
300
900
…
乙批发店费用/元
210
350
850
…

（2）由题意得：与之间的函数关系式为正比例函数，
设，
将点代入得：，
解得，
故与之间的函数关系式为；
（3）①由题意，分以下两种情况：
当时，
则，
解得（不符题意，舍去），
当时，
则，
解得，
故答案为：100；
②在甲批发店购买的费用为（元），
在乙批发店购买的费用为（元），
因为，
所以他去乙批发店购买时的花费少，
故答案为：乙；
③在甲批发店可购买的数量为（千克），
在乙批发店可购买的数量为（千克），
因为，
所以他去甲批发店购买的数量多，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式、一元一次方程的实际应用等知识点，依据题意，正确建立方程和各运算式子是解题关键．