北师大版 初中数学 九年级上册 第四章 图形的相似【压轴题型专项训练】

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第四章 图形的相似
压轴题型专项训练
（时间：90分钟 分值：100分 ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）

A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
3．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（ ）个．
①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
4．如图，的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：①；②面积为：；③；④．成立的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
6．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接.有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
7．如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
8．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，，交于点，若三角形的面积为1，则四边形的面积为（ ）


A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
9．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
10．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
11．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）

A．2 B． C． D．3
【答案】A
12．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点旋转至边上的点处，点的对应点为点，的延长线恰好经过点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
13．如图，在矩形中，点为边上不与、重合的一个动点，过点作交于点，交于点，以为对称轴折叠矩形，点、的对应点分别是、，连接、，若，，当为直角三角形时，的长为___________．

【答案】或
14．如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________．


【答案】
15．如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________．

【答案】
16．如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝______________米．

【答案】8
17．矩形中，连接，点为中点，点为上一点，连接，若，与交于点，则的长为__________．
【答案】或
18．如图，已知，，的中垂线交于点D、交于点M．下列结论：①是的平分线：②是等腰三角形；③；④．正确的有_______．

【答案】①②③
19．已知：正方形ABCD中，E为BC的中点，BP＝2AP，F为AD上一点，EF交CP于O，∠POF＝45°，若APF的面积为，则线段EF的长为___．

【答案】
20．如图，正方形中，，，分别交、于、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有__________．

【答案】①③④
21．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________．

【答案】
22．如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论，其中正确的是_______．
①DE平分∠HDC；②DO＝OE； ③CD＝HF；④BC﹣CF＝2CE；⑤H是BF的中点，

【答案】①②④⑤．
23．如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，的值等于_________．

【答案】
24．如图，在与都是等边三角形，且点A､C､E在同一条直线上，与､分别交于点F､M，与交于点N．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号）

【答案】①③④
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，其中a，b满足，连接、．

（1）求点B的坐标．
（2）动点以每秒2个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点的运动时间为秒，请用含有的式子表示的面积
（3）在（2）的条件下，在负半轴上取一点，使，连接．是内部一点，连接、、与轴的交点坐标是，连接并延长交于，若，且．求当为何值时，．
解：（1）方程组
①②得：，解得
将代入得：，解得
点B的坐标为；
（2）延长，交轴于点，如下图：


设直线的解析式为，将点B和代入得：
解得
直线的解析式
将代入得，解得即
由题意可得，则

即
（3）根据题意，作图如下：

∵，，且
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴，即
由题意可得：，则
∵
∴
化简得：
解得
26．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．

（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
【解】（1）设CF交BE于点H，

∵四边形为矩形
∴，
∴
由翻折可得：，
∴为的中垂线
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
由翻折得
∴
∴
故答案为：
（2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处
∴，
又∵矩形ABCD中，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点

∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，设
∵平分，，
∴，，设，则
∵
∴
解得
∴
∴
27．阅读下面材料：
小明同学遇到这样一个问题：如图1，在中，点D是边的中点，，，，求的长．小明发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请你帮小明求出的长；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，与交于点E，，求的长．
解：（1）如图2中，作，交的延长线于．

，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）如图3中，过点作交于点．

，
，
，
，
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
．
28．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时△ABC与△PQC相似？
（2）当t为何值时∠QPC＝45°？
（3）是否存在某一时刻t，S△QMC：S四边形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴AC＝ （cm），
∴AB：AC：BC＝3：4：5．
（1）当PQ⊥BC时，如图1，则∠BAC＝∠PQC＝90°，

∵∠BCA＝∠PCQ，
∴△ABC∽△QPC，
∵CQ＝AP＝t，
∴PC＝4﹣t，
由＝＝cos∠ACB得，CQ＝PC，
∴t＝（4﹣t），
解得，t＝；
当PQ⊥AC时，如图2，则∠BAC＝∠QPC＝90°，

∴AB∥PQ，
∴△ABC∽△PQC，
由＝＝cos∠ACB得，PC＝CQ，
∴4﹣t＝t，
解得，t＝，
综上所述，当t＝或t＝时，△ABC与△PQC相似．
（2）如图3，作QE⊥PC于点E，则∠CEQ＝∠PEQ＝90°，

∵∠QPC＝45°，
∴∠EPQ＝∠EQP＝45°，
∴PE＝EQ，
＝sin∠ACB，得PE＝EQ＝CQ＝t，
由＝cos∠ACB，得CE＝CQ＝t，
∴，
解得，t＝，
∴当t＝时，∠QPC＝45°．
（3）如图4，作PF⊥BC于点F，则∠PFC＝90°，

由＝sin∠ACB得，PF＝ PC＝(4﹣t）；
由平移得，PM∥BC，
∴S△QMC＝S△QPC＝×CQ×PF，
∵S△QMC：S四边形ABQP＝1：35，
∴S△QPC：S四边形ABQP＝1：35，
∴S△QPC＝ S△ABC＝×（×3×4）＝，
∴ t×（4﹣t）＝，
整理得，9t2﹣36t+5＝0，
解得，t＝ 或t＝．
29．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G．
（1）如图1，填空：∠ADE=_____；
（2）如图1，连接AG，若DF=EF，AD=4，求△AFG的面积；
（3）如图2，若DF≠EF时，求证：CG=DF．

解：（1）正方形ABCD中，，
∴
又∵CE=CD，
∴
∴
（2）过点作并延长交于点，设交于点，如下图：

∵DF=EF，
∴为的中点，
∵
∴
∴，四边形为矩形
∴，，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
（3）过点作，交延长线于点，连接，，如下图：

则
又∵，∴四边形为矩形
由（1）得，∴
∴矩形为正方形
∴
由（2）得
∴
∴
又∵
∴
在正方形中，，
∴，
∴
∴
∴
30．如图1，在正方形ABCD中，边长为2a，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：AF＝BE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DG＝2a；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论；
解：（1），
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）如图2，过点作于，

由题意得：，
点是的中点，
，
，
在中，根据面积相等，得，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图3，过点作于，

于点，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
31．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系________，位置关系________；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．

解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，
即∠ADG=∠CDE，
∵DG=DE，DA=DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，
∵∠COD=∠AOH，
∴∠AHO=∠CDO=90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；


（2）不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：
设AD与CE交于M，
由（1）知∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠EDC，
∵AD=2DG， AB=2DE， AD=DE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∴，
∴△GDA∽△EDC，
∴，∠ECD=∠GAD，
∴CE=2AG，
∵∠CMD=∠AMH，
∴∠AHM=∠CDM=90°，
∴AG⊥CE；

（3）①当点E在线段AG上时，如图所示，
∵AD=2DG=6，AB=2DE=8，
∴DG=3，ED=4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠EDG=90°，
∴，
过点D作DP⊥AG于P，
∵∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴即，
∴，，
∴，
∴；

②当G在线段AE上时，如图所示，
过点D作DP⊥AG于P，
∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
同理得，
由勾股定理得
∴；
综上所述：.

32．（1）已知，点G，F，H，E分别在四边形ABCD的四条边上，且EF⊥GH．
①如图1，若四边形ABCD是正方形，若EF＝m，则GH＝　　（直接写出答案）；
②如图2，若四边形ABCD是矩形，AB＝m，BC＝n，求的值；
（2）如图3，四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，若∠BCD＝90°，AB＝BC＝10，AD＝CD＝5，求的值．

解：（1）①如图，过点G作GM⊥CD于点M，过点E作EN⊥BC于点N，

∴∠GMH＝∠ENF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴GM＝EN，
∵EF⊥GH，∠B＝90°，
∴∠BGH+∠BFE＝180°，
∴∠BGM＝90°，
∴∠MGH+∠EFN＝90°
∵EF⊥GH，∠C＝90°，
∴∠EFN＝∠GHM，
∴∠MGH＝∠NEF，
在△MGH和△NEF中，
，
∴△MGH≌△NEF（ASA），
∴GH＝EF＝m，
故答案为m；
②如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，

∴EN＝AB，GM＝BC，
同（1）得∠MGH＝∠NEF，
∵∠GMH＝∠ENF，
∴△FEN∽△HGM，
∴，
∴，
（2）如图，过点A作GH∥BC，过点B作BG⊥GH于点G，延长CD交GH于点H，连接BD，得到四边形BCHG为矩形，

在△ABD和△CBD中，
，
△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠BAG+∠DAH=90°，
∵∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAG=∠ADH，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△ADH∽△BAG，
∴，
设DH＝x，
∴AG＝2x，BG＝x+5，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
，
∴（舍去），，
∴BG=8，
由（2）得，．