新疆维吾尔自治区乌鲁木齐外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆乌鲁木齐外国语学校九年级（上）期中
数学试卷
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。请按答题卷中的要求作答）
1．（5分）如图所示的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）在下列各点中，抛物线y＝x2经过点（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（0，0） D．（0，2）
3．（5分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
4．（5分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝0
C．2x2+xy﹣4y2＝0 D．（x﹣2）（x+1）＝0
5．（5分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，若∠B＝35°，则旋转的度数为（　　）

A．110° B．100° C．145° D．55°
6．（5分）一元二次方程x2﹣16x﹣1＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝1 B．（x﹣4）2＝17 C．（x﹣8）2＝1 D．（x﹣8）2＝65
7．（5分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
8．（5分）通过平移y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法正确的是（　　）
A．向左移动1个单位，向下移动2个单位
B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向上移动2个单位
D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
9．（5分）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答题卷相应的横线上）
10．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝　 　．

11．（5分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
12．（5分）⊙O的直径为8，直线L和⊙O相交，圆心O到直线L的距离为d，则d的取值范围是　 　．
13．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 　．

14．（5分）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染a个人，经过两轮传染后共有625人感染，列出的方程是 　 　．
15．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②a+b+c＜0；③﹣3＜x2＜﹣2；④b2﹣4ac＞0； ⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确的结论是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）解方程：
（1）4（x﹣2）2＝49；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
17．（6分）已知﹣3是方程x2﹣m＝0的一个根，求常数m的值及该方程的另一根．
18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求∠BDC的度数．

19．（7分）如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

20．（8分）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．

21．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0）和点B（0，4）．
（1）求此二次函数的解析式；（用二次函数一般式表示）
（2）将这个二次函数图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求△ABD的面积．
22．（12分）某网店销售某款童装，每件售价80元，每星期可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本价50元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得6380元的利润，求每件童装售价应为多少元？
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣2，0），B（0，2），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标；
（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年新疆乌鲁木齐外国语学校九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。请按答题卷中的要求作答）
1．（5分）如图所示的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（5分）在下列各点中，抛物线y＝x2经过点（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（0，0） D．（0，2）
【分析】计算出自变量为0所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2＝0；
所以抛物线y＝x2经过点（0，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．（5分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：点P（2，3）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
4．（5分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝0
C．2x2+xy﹣4y2＝0 D．（x﹣2）（x+1）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
【解答】解：A．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+＝0是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程2x2+xy﹣4y2＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．将原方程转化为一般形式得x2﹣x﹣2＝0，该方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
5．（5分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，若∠B＝35°，则旋转的度数为（　　）

A．110° B．100° C．145° D．55°
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝110°，
∴旋转的度数为110°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
6．（5分）一元二次方程x2﹣16x﹣1＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝1 B．（x﹣4）2＝17 C．（x﹣8）2＝1 D．（x﹣8）2＝65
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣16x﹣1＝0，
∴x2﹣16x＝1，
∴x2﹣16x+64＝1+64，即（x﹣8）2＝65，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（5分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点A到圆心的距离OA＝d，则有：①点A在圆外⇔d＞r；②点A在圆上⇔d＝r；③点A在圆内⇔d＜r，比较d与r作出判断即可．
【解答】解：因为⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为5cm，
所以d＞r，
所以点A在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8．（5分）通过平移y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法正确的是（　　）
A．向左移动1个单位，向下移动2个单位
B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向上移动2个单位
D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：将y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到y＝﹣（x﹣1+1）2﹣2+2＝﹣x2的图象，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
9．（5分）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】根据圆周角定理对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弦、直径的定义对④进行判断．
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确；
能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误；
直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答题卷相应的横线上）
10．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝　2　．

【分析】连接OC，如图，根据垂径定理得到CE＝DE＝CD＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB﹣OE即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝4，
在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
故答案为2．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
11．（5分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　k≠0且k≤1　．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
12．（5分）⊙O的直径为8，直线L和⊙O相交，圆心O到直线L的距离为d，则d的取值范围是　0≤d＜4　．
【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得0≤d＜4．
【解答】解：∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为4，
∵直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即0≤d＜4．
故答案为：0≤d＜4．
【点评】考查了直线与圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
13．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　x≥3或x≤﹣1　．

【分析】由二次函数的图象直接得出结论．
【解答】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c≤0的解集是x≥3或x≤﹣1，
故答案为：x≥3或x≤﹣1．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组）的关系，关键是数形结合思想的应用．
14．（5分）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染a个人，经过两轮传染后共有625人感染，列出的方程是 　1+a+a（1+a）＝625　．
【分析】由每轮传染中平均一个人可以传染a个人，可得出第一轮传染中有a个人被感染，第二轮传染中有a（1+a）个人被感染，结合经过两轮传染后共有625人感染，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染a个人，
∴第一轮传染中有a个人被感染，第二轮传染中有a（1+a）个人被感染．
根据题意得：1+a+a（1+a）＝625．
故答案为：1+a+a（1+a）＝625．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②a+b+c＜0；③﹣3＜x2＜﹣2；④b2﹣4ac＞0； ⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确的结论是 　③④⑤　．

【分析】由图象可知当x＝0时，y＜0，所以c＜0；当x＝1时，y＞0，所以a+b+c＞0；由函数的对称性可知，对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，则另一个交点为﹣3＜x2＜﹣2；函数与x轴有两个交点，所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0；由函数在对称轴的右侧y随x值的增大而增大，可求y1＞y2．
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＜0，
∴c＜0，
∴①不正确；
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴②不正确；
∵对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣2，
∴③正确；
∵函数与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴④正确；
由点A（4，y1），B（1，y2）可知，点A、B在对称轴的右侧，
∴y随x值的增大而增大，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故答案为：③④⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）解方程：
（1）4（x﹣2）2＝49；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）4（x﹣2）2＝49，
（x﹣2）2＝，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（6分）已知﹣3是方程x2﹣m＝0的一个根，求常数m的值及该方程的另一根．
【分析】将x＝﹣3代入方程求出m的值，再利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：将x＝﹣3代入x2﹣m＝0，得：9﹣m＝0，
解得m＝9，
所以方程为x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3．
所以m＝9，另一个根为x＝3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力，根据方程的解的定义求得m的值是解题的关键．
18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求∠BDC的度数．

【分析】（1）由旋转的性质可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠ACF，根据三角形内角和定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF，
设AC与BE相交于O，

∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19．（7分）如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（25+1﹣2x）米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论．
【解答】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（25+1﹣2x）米，
依题意得：x（25+1﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8．
当x＝5时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞15，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜15，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．

【分析】（1）连接OD、AD，则∠ODA＝∠BAD，由＝，得∠CAD＝∠BAD，所以∠ODA＝∠CAD，则OD∥AC，所以∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于点F，则AF＝AC＝10，可证明四边形ODEF是矩形，则OF＝DE＝，根据勾股定理求得OA＝，则直径AB的长是25．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵DE经过⊙O的半径OD的外端，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AC于点F，则∠AFO＝90°，AF＝CF＝AC＝×20＝10，
∵∠OFE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE＝，
∴OA＝＝，
∴AB＝2OA＝25，
∴直径AB的长是25．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0）和点B（0，4）．
（1）求此二次函数的解析式；（用二次函数一般式表示）
（2）将这个二次函数图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求△ABD的面积．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式计算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出与x轴的交点D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0）和点B（0，4），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+4；
（2）y＝﹣2x2﹣2x+4＝﹣2（x+）2+，
∴函数y＝﹣2x2﹣2x+4的顶点坐标为（﹣，），
∴把函数y＝﹣2x2﹣2x+4向右平移5个单位后顶点C（，），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+4，
令y＝0，则x+4＝0，
解得x＝﹣36，
∴D（﹣36，0），
∴AD＝﹣2﹣（36）＝34，OB＝4，
∴S△ABD＝AD•OB＝×34×4＝68．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象与几何变换，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键，作出图形更形象直观．
22．（12分）某网店销售某款童装，每件售价80元，每星期可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本价50元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得6380元的利润，求每件童装售价应为多少元？
【分析】（1）根据“每件售价80元，每星期可卖200件，每降价1元，每星期可多卖20件”列出函数解析式即可；
（2）根据每星期的利润＝单件的利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求指出最大值；
（3）当w＝6380时，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝200+20（80﹣x）＝1800﹣20x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝1800﹣20x（50≤x≤80）；
（2）设每星期的销售利润为w元，
则w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）（1800﹣20x）＝﹣20x2+2800x﹣90000＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∵a＝﹣20＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为8000，
答：当售价定为70元时，每周的销售利润最大，最大利润为8000元；
（3）当w＝6380时，﹣20（x﹣70）2+8000＝6380，
解得x1＝61，x2＝79，
∵为了促销，
∴x＝61，
答：每件童装售价应为61元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣2，0），B（0，2），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标；
（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（t，﹣t2+2），则Q（t，t+2），则S△PAB＝﹣（t+1）2+，当t＝﹣1时，△PAB面积最大值为，此时P（1，）；
（3）设M（n，n+2），N（x，y），根据菱形的对角线互相平分，邻边相等，分三种情况讨论，再由中点坐标公式和两点间距离公式建立方程组，求出N点坐标即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
∴4a+2＝0，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2；
（2）过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设P（t，﹣t2+2），则Q（t，t+2），
∴PQ＝﹣t2﹣t，
∴S△PAB＝2×（﹣t2﹣t）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+1）2+，
∴当t＝﹣1时，△PAB面积最大值为，
此时P（1，）；
（3）存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设M（n，n+2），N（x，y），
当OB为菱形的对角线时，OM＝MB，
∴，
解得，
∴N（1，1）；
当OM为菱形的对角线时，OB＝BM，
∴，
解得或，
∴N（1，1）或（﹣1，﹣1）；
当ON为菱形的对角线时，BO＝BM，
∴，
解得，
∴N（﹣1，3）；
综上所述：N点坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，3）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的表达式，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．