新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限；，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：___120分钟________ 卷面分值：____150分_______
一、选择题（每小题4分，共36分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个选项进行判断即可．
【详解】根据一元二次方程的定义：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，
A、是分式方程；
B、含有两个未知数；
C、符合一元二次方程的四个条件，是一元二次方程；
D、化简后为：，不是一元二次方程，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握并理解定义是解题关键．
2. 若方程（m+2）=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m=2B. m=-2C. m=±2D. m≠2
【答案】A
【解析】
【详解】根据一元二次方程的定义，得： 解得：m=2.故选A.
3. 下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数定义：形如的函数是反比例函数，即可得到答案．更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【详解】解：A、是反比例函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记正比例函数，反比例函数以及一次函数、二次函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大．
4. 已知函数（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：由图可知，m＜﹣1，n=1，
∴m+n＜0，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数的图象位于第二、四象限；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
5. 当函数 是二次函数时，的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0，=2，
∴a≠1，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
6. 将二次函数y＝2x2＋3x﹣1化为y＝（x＋h）2＋k的形式为（ ）
A. y＝2（x＋）2﹣B. y＝2（x＋）2﹣
C. y＝2（x＋）2﹣D. y＝2（x＋）2﹣
【答案】C
【解析】
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：y＝2x2＋3x﹣1＝2（x2＋x＋）﹣1﹣＝2（x＋）2﹣，
即y＝2（x＋）2﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x−h）2＋k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x−x1）（x−x2）．
7. 将抛物线向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．
8. 某景区门票经过两轮涨价，每人次价格从108元上调到168元，已知两次调价的百分率相同，设每次调价的百分率为x，根据题意可列方程（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据涨价后的价格＝涨价前的价格（1+涨价的百分率），则第一次涨价后的价格是108（1+x），第二次后的价格是108（1+x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意得：108（1+x）2＝168，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系，根据价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
9. 如果多项式的值为，则的值为（ ）
A. 2B. 2或-2C. -1D. 2或-1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出关于x的方程（2x-1）2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：依题意，得
（2x-1）2=9，
开平方，得
2x-1=±3，
则2x=1±3，
解得，x=2或x=-1．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
二、填空题（每小题4分，共24分）
10. 向阳村2015年的人均收入为12000元，2017年的人均收入为14520元. 若人均收入的年平均增长率为x, 根据题意，所列的方程为____________________________.
【答案】12000（1+x）2=14520
【解析】
【详解】分析：对于增长率问题的一般公式为：增长前的数量×(1+增长率)增长次数=增长后的数量．根据题意代入数据即可得出答案．
详解：根据题意可得：．
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．理解题意得出等量关系是解决这个问题的关键．
11. 已知是方程的一个根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=7，然后利用整体代入的方法计算m2﹣2m+1的值．
【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，
∴m2﹣2m﹣7=0，
∴m2﹣2m=7，
∴m2﹣2m+1=7+1=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 已知是关于的一元二次方程，则可取的值是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义直接进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
，解得：，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
13. 若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣11x+5＝0的两个根，则长方形的面积是___．
【答案】.
【解析】
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得ab＝，即可得到结论．
【详解】设长方形的长为a，宽为b，根据题意得，ab＝，所以长方形的面积＝ab＝．故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14. 如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的解析式为____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【详解】解：抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，
∵抛物线，抛物线关于原点中心对称，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
15. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则．其中正确的是___________（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】由图像可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则 图像与y轴的交点为正半轴，则，由此可知，故①错误，由图像可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，计算出函数图像与x轴的另一交点为，设函数解析式为：，化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为， 变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图像可知，图像开口向下，，对称轴为，
∴，
∴，且，则故②正确，
∵图像与y轴的交点为正半轴，
∴，则，故①错误，
由图像可知当x=1时，函数取最大值，
将，代入中得：，
由图像可知函数与x轴交点为，对称轴为将，故函数图像与x轴的另一交点为，
设函数解析式为： ，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
三、解答题
16. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
，
，
，
解得：．
【小问2详解】
，
，
∴，
即，
解得： 或
∴原方程的根是．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 如图，抛物线与x轴交于和点．
（1）求该抛物线表达式．
（2）以AB为边向上作矩形ABCD，边CD与抛物线交于点M，N，若，求矩形ABCD的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点坐标代入抛物线求解即可；
（2）根据图像对称轴为和，可确定M、N的横坐标，进而求出纵坐标即可得出AD边长，从而求解．
【详解】解：（1）抛物线与x轴交于和点，
∴，
解得：，
∴．
（2）∵抛物线的对称轴为：直线
又，∴，
将代入抛物线的表达式，得：，
∴M点坐标为，D点坐标为，
∴
又∵，
∴矩形ABCD的周长为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式的基本能力，同时还考查了数形结合的思想表示点的坐标及线段长度解决问题的能力，解题关键是利用线段MN是关于抛物线对称轴对称的性质确定M点坐标，从而确定矩形另一边长．
18. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方.现请你先阅读如下方程（1）的解答过程，并按照此方法解方程（2）．
方程（1）．
解：，
，
，
，
，．
方程（2）．
【答案】，
【解析】
【分析】根据配方法可进行求解方程．
【详解】解：
，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键．
19. 小王叔叔家是养猪专业户，他们养的藏香猪和土黑猪一直很受市民欢迎．小王今年10月份开店卖猪肉，已知藏香猪肉售价每斤元，土黑猪肉售价每斤元，每天固定从叔叔家进货两种猪肉共斤并且能全部售完．
（1）若每天销售总额不低于元，则每天至少销售藏香猪肉多少斤？
（2）小王发现10月份每天上午就能将猪肉全部售完，而且消费者对猪肉的评价很高．于是小王决定调整猪肉价格，并增加进货量，且能将猪肉全部销售完．他将藏香猪肉的价格上涨，土黑猪肉的价格下调，销量与（1）中每天获得最低销售总额时的销量相比，藏香猪肉销量下降了，土黑猪肉销量是原来的倍，结果每天的销售总额比（1）中每天获得的最低销售总额还多了元，求的值．
【答案】(1)200斤;(2)25.
【解析】
【分析】（1）设每天至少销售藏香猪肉斤，则土黑猪为（300-x）斤，根据销售总额不低于元，列不等式即可得答案；（2）根据题意构建方程即可得答案.
【详解】（1）设每天至少销售藏香猪肉斤，则土黑猪为（300-x）斤，
由题意，
解得，
答：每天至少销售藏香猪肉斤．
（2）由题意：，
整理得：，
解得或（舍弃），
答：的值为．
【点睛】本题考查一元一次不等式及一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键.
20. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米．
（1）若墙长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米．
（2）车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由．
【答案】（1）当米时，矩形车棚的面积为400平方米
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，找出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长30米即可确定x的值；
（2）利用矩形的面积计算公式，找出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出原方程没有实数根，进而可得出车棚面积不能为460平方米．
【小问1详解】
解：设的长为x米，则的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当x为20米时，矩形车棚的面积为400平方米．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴原方程没有实数根，
∴车棚面积不能为460平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
21. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）能，需运动7s，△APQ的面积能等于22cm2．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【详解】（1）点P从开始到运动停止用时间为：(12+6)÷2=9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s．
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
，
∴12×622，
解得：此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
，
∴12×622，
解得：b1=1，b2=14(舍去)，
即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化．
22. 如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）P(0，b)是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值．
【答案】（1）抛物线函数表达式为：
（2）b＝0
【解析】
【小问1详解】
解：抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，
令x＝0，则y＝3，
∴点A（0，3），
对称轴为：x＝﹣＝3，
∵AB∥x轴，
∴A、B关于x＝3对称，
∴B（6，3），则AB＝6，
又AC＝AB＝5，
过C作AB的垂线CN，
则AN＝3，
Rt△ACN中，
由勾股定理得：CN＝＝＝4，
∴C（3，﹣1），
把C点坐标代入y＝ax2﹣6ax+3得，
﹣1＝9a﹣18a+3，
解得：a＝，
∴抛物线函数表达式为：y＝x2﹣x+3．
小问2详解】
由题意得：D点坐标为（3，b），
∵M为PD中点，
∴M（，b），
又∵M在抛物线上，代入得：
b＝×﹣×+3＝0，
∴b＝0．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数图象与性质，中点坐标公式，求得顶点坐标是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．