新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列标识中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系（    ）

A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断

3．将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（    ）

A． B． C． D．

4．方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定

5．下列事件是随机事件的是（    ）

A．太阳从东方升起 B．一个菱形的对角线互相垂直

C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上

6．已知二次函数，则该函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

7．某厂家今年一月份的口罩产量是200万个，三月份的口罩产量是300万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为.则所列方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在中，是的直径，，，是点关于的对称点，是上的一个动点，有下列结论：①；②；③；④的最小值是10；⑤.上述结论正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

9．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是____．

10．已知，是方程的两个根，则______.

11．如图，已知四边形是的内接四边形，，则_________．

12．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为________．

13．对于实数，，定义运算“◎”如下：．若，则______．

14．已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表：

下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图像上，则；④方程有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是______.（把所有正确结论的序号都填上）

三、解答题

15．解方程：

(1)；

(2).

16．如图，在边长为1的正方形网格中，线段绕点顺时针旋转得到线段，点A与点是对应点，点B与点是对应点．

(1)在图中画出旋转后的线段；

(2)求旋转过程中点A经过的路径的长．

17．如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长．

18．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．

(1)当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到，若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是______；

(2)从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．

19．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝24cm，水面最深地方的高度为8cm，求这个圆形截面的半径．

20．如图，矩形绿地长，宽，要在这块绿地上修建宽度相同且与矩形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共，问道路宽应为多少？

21．已知二次函数.

(1)用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；

(2)画出二次函数的图像，观察图像，求随增大而增大的的取值范围.

22．如图，已知平行四边形的三个顶点，，在以为圆心的半圆上，过点作，分别交，的延长线于点，，交半圆于点，连接.

(1)判断直线与半圆的位置关系，并说明理由.

(2)①求证：；②若半圆的半径为4，求阴影部分的面积.

23．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到．

(1)有一条抛物线经过点，，，求该抛物线的解析式．

(2)设该抛物线的一个动点的横坐标为．

①当时，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值；

②点是直线上的一个动点，若以为边，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的的值．

参考答案：

1．C

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，结合选项所给图形进行判断即可．

【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．

故选：C

【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的特点是解本题的关键．

2．B

【分析】直接比较点到圆心的距离与半径的大小关系即可．

【详解】点到圆心的距离，的半径

即

那么点和圆的位置关系为点在圆外．

故选：B

【点睛】此题考查点和圆的位置关系，时，点在圆外；时，点在圆上；时，点在圆内；解题关键是找准与，直接比较即可．

3．C

【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．

【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．

4．A

【分析】利用直接开方法解方程即可得出答案；也可以使用一元二次方程根的判别式求解．

【详解】解法一：

解：原方程可化为，

解得：，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选：A

解法二：

解：由题意

∴

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键在于利用直接开方法解方程．

5．D

【分析】根据事件发生的概率逐个判断即可．

【详解】解：A：太阳从东方升起，一定发生，为必然事件；

B：一个菱形的对角线互相垂直，一定发生，为必然事件；

C：任意画一个三角形，其内角和是360°，不可能发生，为不可能事件；

D：抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，可能发生，为随机事件．

故选D

【点睛】本题考查了事件的可能性，理解每个事件发生的可能性是解题关键．

6．D

【分析】根据，可排除A、C两项，再分别讨论和时，对称轴的位置即可判断出答案．

【详解】解：，

所以可排除A、C两个选项，

当时，对称轴，故B选项不符合题意，

当时，对称轴，故D选项符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

7．A

【分析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为,利用平均增长率的等量关系“” 即可列出方程．

【详解】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为

由题意得，．

故选A．

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，灵活运用平均增长率的等量关系是解题的关键．

8．C

【分析】根据和是点关于的对称点，求出，求出即可判断①②；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断③；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断④；已知是上的一个动点，则的大小会随着点位置的变化而变化，即可判断⑤．

【详解】∵和是点关于的对称点，

∴，

∴，故①正确；

∴，故②正确；

∵的度数是，

∴的度数是，

∴只有当和重合时，

∵，

∴只有当和重合时，，故③错误；

作点关于的对应点，连接，交于，连接交于，此时

的值最短，等于，连接，

∵，且弧的度数都是，

∴，，

∴，

∴是的直径，即，

∴的最小值是10，故④正确；

∵已知是上的一个动点，

∴的大小会随着点位置的变化而变化，

∴的大小不能确定，故⑤错误；

故选：C

【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称--最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出的位置是解此题的关键．

9．

【分析】影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．

【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；

故答案为．

10．2023

【分析】直接利用根与系数的关系直接求解即可．

【详解】，是方程的两个根，

那么，

则

故答案为：2023

【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确两根的和与差的区别，避免混淆．

11．130

【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．

【详解】解：∵∠BOD＝100°，

∴∠A＝∠BOD＝50°．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．

故答案为：130．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．

12．

【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．

【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．

∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，

∴，

∵DE=2，

∴Rt△ADE中，，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．

13．或4

【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．即可得到答案．

【详解】根据题意得：，，

，

或

所以，．

故填：或．

【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

14．①③④

【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系进行判断即可．

【详解】将，，代入得，

，解得：，

∴二次函数解析式为：，

∴，故①正确；

对称轴为直线，即当时，函数的值最小，故②错误；

将点，点代入二次函数的解析式得：

，

，

∴，故③正确；

方程，即，

∴，

∴，

∴有两个不相等的实数根.其中，故④正确；

故答案为：①③④

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，理解和掌握二次函数的图像与系数的关系是正确判断的关键．

15．(1)

(2)

【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，解两个一元一次方程即可；

（2）先移项得，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可；

【详解】（1）

∴

∴

∴或

解得：

（2）

∴

∴

∴

∴

解得：

【点睛】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

16．(1)见解析

(2)旋转过程中点A经过的路径长为．

【分析】（1）根据旋转的性质可得线段；

（2）利用弧长公式即可求解．

【详解】（1）解：如图：线段为所求，

；

（2）解：，

∴旋转过程中点A经过的路径长．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，弧长公式的计算，掌握旋转的性质是解题的关键．

17．正六边形的边长为4，边心距的长为．

【分析】连结，证出为等边三角形，利用锐角三角函数的定义求即可．

【详解】解：如图，连结，

∵正六边形内接于，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，，

∴．

答：正六边形的边长为4，边心距的长为．

【点睛】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．

18．(1)、

(2)摸到一个红球一个白球的概率为．

【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于，据此可得答案；

（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．

【详解】（1）解：由表格知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近，

从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为，

故答案为：、；

（2）解：由题可知，白球的个数（个），红球个数（个），

记红球为红1，红2，红3，

列出表格为：

共有12种情况，其中一红一白的有6种，

所以摸到一个红球一个白球的概率为．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．

19．（1）如图所示；见解析；（2）圆形截面的半径为13cm．

【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；

（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=12，设这个圆形截面的半径为xcm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可.

【详解】（1）如图所示；

（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，

∵AB＝24cm，

∴AD＝AB＝12．

设这个圆形截面的半径为xcm，

又∵CD＝8cm，

∴OD＝x﹣8，

在Rt△OAD中，

∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+122＝x2，

解得x＝13．

∴圆形截面的半径为13cm．

【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键.

20．道路宽为

【分析】设道路宽应为，则根据六块绿地可以合成一个长为、宽为的长方形，其面积为，列方程求解即可．

【详解】解：设道路宽应为，

根据题意可得：，

整理得：，

解得：（不符合题意，舍去），

答：道路宽为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21．(1)二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是

(2)图像见解析；随增大而增大的的取值范围是

【分析】（1）根据配方法可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可得到二次函数图像的对称轴和顶点坐标；

（2）先写出该函数图像经过的几个特殊点，然后画出相应的函数图像，再根据函数图像写出随增大而增大的的取值范围即可．

【详解】（1）∵二次函数，

∴二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是

（2）∵二次函数，

∴该函数的顶点坐标为，过，，，，

函数图像如下图所示：

由图像可知，随增大而增大的的取值范围是．

【点睛】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．(1)是半圆O的切线．理由见解析

(2)①见解析；②.

【分析】（1）根据平行四边形的性质以及证明即可解答；

（2）①先证四边形是菱形可得，再证是等边三角形，然后结合即可解答；②求出，然后根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积求解即可．

【详解】（1）解：是半圆O的切线．理由如下：

∵四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∵是半圆O的半径，

∴是半圆O的切线．

（2）①证明：连接，

∵四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形，

∴，

∴，都是等边三角形，

∴，

∵，

∴都是等边三角形，

∴

∵

∴；

②解：在中，半圆O的半径为4，，，

∴，，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识点，证明三角形是等边三角形以及是解题的关键．

23．(1)

(2)①；②或或．

【分析】（1）先利用旋转的性质得出，然后再利用待定系数法求解即可；

（2）①如图：利用，可得四边形的面积S与t的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可求解；

②分四边形是平行四边形、四边形是平行四边形两种情况，利用平行四边形的性质求解即可．

【详解】（1）解：是由绕原点O逆时针旋转得到的，

又∵，

∴，

∵，

设抛物线的解析式为：

将代入得出：，解得：，

故满足条件的抛物线的解析式为；

（2）解：①如图：连接，

∵该抛物线的一个动点P的横坐标为t．

∴

∵，

∴

∴四边形的面积S与t的函数关系式为，

∵，

∴当时，S的最大值为；

②如图，当四边形是平行四边形时，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

设的解析式为

∵，

∴，解得：

∴的解析式为，

∵，

∴，则

解得（舍去）或

当四边形是平行四边形时，

∴，

则，

解得或

故所有符合条件的t的值为或或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合以及分类思想的运用是解题关键．