2022-2023学年新疆乌鲁木齐外国语学校九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年新疆乌鲁木齐外国语学校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图所示的图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在下列各点中，抛物线经过点(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列方程中是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到，若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一元二次方程，配方后可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )

A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定

8. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是(    )

A. 向左移动个单位，向下移动个单位
B. 向右移动个单位，向上移动个单位
C. 向左移动个单位，向上移动个单位
D. 向右移动个单位，向下移动个单位

9. 有以下说法在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；长度相等的弧是等弧；直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 如图，是的直径，弦于点，若，，则______．

11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
12. 的直径为，直线和相交，圆心到直线的距离为，则的取值范围是______ ．
13. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是______．

14. 新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有人感染，列出的方程是______．
15. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：；；；；已知图象上点，，则其中，正确的结论是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    已知是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根．
18. 本小题分
    如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．
    求证：；
    求的度数．

19. 本小题分
    如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙墙长米，另三边用总长米的栏杆围成，留米宽的门，若想要建成面积为平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

20. 本小题分
    如图，已知、分别为的直径和弦，为弧的中点，于，，．
    求证：是的切线；
    求直径的长．

21. 本小题分
    已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
    求此二次函数的解析式；用二次函数一般式表示
    将这个二次函数图象向右平移个单位后的顶点设为，直线与轴相交于点，求的面积．
22. 本小题分
    某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元，设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件．
    直接写出与之间的函数关系式；
    当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
    若该网店每星期想要获得元的利润，求每件童装售价应为多少元？
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且点是抛物线的顶点．
    求直线和抛物线的解析式；
    点是直线上方抛物线上的一点，求当面积最大时点的坐标；
    是直线上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，；
所以抛物线经过点．
故选：．
计算出自变量为所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故选：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，方程是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是分式方程，选项B不符合题意；
C.方程是二元二次方程，选项C不符合题意；
D.将原方程转化为一般形式得，该方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转一定的度数，得到，
，
，
，
旋转的度数为，
故选：．
根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为的半径为，点到圆心的距离为，
所以，
所以点在圆外．
故选：．
点与圆的位置关系有种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内，比较与作出判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：将的图象向左平移个单位，再向上平移个单位可得到的图象，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以正确；
能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以错误；
直径是弦，弦不一定是直径，所以错误．
故选：．
根据圆周角定理对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据弦、直径的定义对进行判断．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查考查垂径定理，属于基础题．
连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
【解答】
解：连接，如图，

弦，
，
在中，，，
，
．
故答案为．  

11.【答案】且 

【解析】解：由题意可知：，
，
，
且，
故答案为：且；
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：的直径为，
的半径为，
直线与相交，
圆心到直线的距离小于圆的半径，
即．
故答案为：．
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得．
考查了直线与圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
 

13.【答案】或 

【解析】解：由函数图象可得，不等式的解集是或，
故答案为：或．
由二次函数的图象直接得出结论．
本题考查二次函数与不等式组的关系，关键是数形结合思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，
第一轮传染中有个人被感染，第二轮传染中有个人被感染．
根据题意得：．
故答案为：．
由每轮传染中平均一个人可以传染个人，可得出第一轮传染中有个人被感染，第二轮传染中有个人被感染，结合经过两轮传染后共有人感染，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，
，
不正确；
当时，，
，
不正确；
对称轴为，，
，
正确；
函数与轴有两个交点，
，即，
正确；
由点，可知，点、在对称轴的右侧，
随值的增大而增大，
，
故正确；
故答案为：．
由图象可知当时，，所以；当时，，所以；由函数的对称性可知，对称轴为，，则另一个交点为；函数与轴有两个交点，所以，即；由函数在对称轴的右侧随值的增大而增大，可求．
本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：将代入，得：，
解得，
所以方程为，
则，
，．
所以，另一个根为． 

【解析】将代入方程求出的值，再利用直接开平方法求解即可．
此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力，根据方程的解的定义求得的值是解题的关键．
 

18.【答案】证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，，
，即，
，
，
可由绕点按顺时针方向旋转得到，
；
解：可由绕点按顺时针方向旋转得到，
≌，
，
设与相交于，

，
． 

【解析】由旋转的性质可得出结论；
由全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

19.【答案】解：设垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为米． 

【解析】设垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边的长为米，根据电动车充电棚的面积为平方米，列出一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长米，即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接、，则，
，
，
，
，
，
于，
，
，
经过的半径的外端，且，
是的切线．
解：作于点，则，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
直径的长是． 

【解析】连接、，则，由，得，所以，则，所以，即可证明是的切线；
作于点，则，可证明四边形是矩形，则，根据勾股定理求得，则直径的长是．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：二次函数的图象经过点和点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
，
函数的顶点坐标为，
把函数向右平移个单位后顶点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
，，
． 

【解析】把点、的坐标代入函数解析式计算求出、的值，即可得解；
先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出点的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再求出与轴的交点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象与几何变换，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

22.【答案】解：由题意得：，
与之间的函数关系式为；
设每星期的销售利润为元，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当售价定为元时，每周的销售利润最大，最大利润为元；
当时，，
解得，，
为了促销，
，
答：每件童装售价应为元． 

【解析】根据“每件售价元，每星期可卖件，每降价元，每星期可多卖件”列出函数解析式即可；
根据每星期的利润单件的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求指出最大值；
当时，解一元二次方程即可．
本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
设抛物线的解析式为，
，
解得，
；
过点作轴交直线于点，
设，则，
，
，
当时，面积最大值为，
此时；
存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
当为菱形的对角线时，，
，
解得，
；
当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
或；
当为菱形的对角线时，，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交直线于点，设，则，则，当时，面积最大值为，此时；
设，，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等，分三种情况讨论，再由中点坐标公式和两点间距离公式建立方程组，求出点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的表达式，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．