华师大版九年级上册第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形练习题

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      解直角三角形注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•凉山州模拟）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（　　）A． B． C． D．选：D．2．（2020•开平市二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝1.5，BC＝2，则cosB的值是（　　）A． B． C． D．选：A．3．（2021•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）A． B． C． D．2【解】如图，作AH⊥x轴于H．∵A（2，1），∴OH＝2，AH＝1，∴OA，∴cosα，故选：C．4．（2020秋•兰陵县期末）如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cos∠OAB＝（　　）A． B． C． D．选：C．5．（2021•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5选：C．6．（2017春•思明区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC∠BAC，则cos∠BPC＝（　　）A． B． C． D．【解】过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∵AB＝AC＝5，∴BEBC8＝4，∠BAE∠BAC，∵∠BPC∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE．故选：C．7．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）A． B．2 C． D．选：A．8．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　）A． B． C． D．4选：C．9．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD，则的值为（　　）A．1 B．2 C． D．选：B．10．（2021•郫都区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA，则CD的值为（　　）A． B． C． D．2选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•崇明区期末）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB，那么∠C＝　45　度．12．（2020秋•金山区期末）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tanB＝　2　．13．（2019•丹棱县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D，使AD＝AB，则tan75°的值是　2　．14．（2021•滨湖区模拟）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是　10　．15．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD，则边AB＝　10　cm．16．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD为△ABC的角平分线，若∠C＝45°，tan∠B，△ABC的面积为4，则AD的长为　　．17．（2020•高密市二模）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是　（8，12）　．18．（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是　　．【解析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB，∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB，∴BK＝2，CK4，∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴，∴，∴AH，DH，∵四边形DBCE是三等角四边形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B，设EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴（3m）2＝m2+（）2，∴m或（舍弃），∴EH，∴AE＝AH﹣EH，∴CE＝AC﹣AE＝9．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°．【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴c＝2a＝16，∴b8．20．（2021•奉贤区二模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．【解】（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC2，sin∠BAC，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∴BD，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC，Rt△BDF中，sin∠ABE；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD，BD，∴，解得AH，HD，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE，∴BE＝BD+DH+HE，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴，即，∴BE，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即，∴EG，∴点E到直线BC的距离为．21．（2019秋•解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．【解】（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA，∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15∵D是AB中点，∴CDAB． （2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，∵D是AB中点，∴BD，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDCS△ABC，即CD•BE•AC•BC，∴BE，在Rt△BDE中，cos∠ABE，即cos∠ABE的值为．22．（2020•静安区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．【解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cosB，BF＝BE•cosB，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE．23．（2021•上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB，BC＝10．（1）求AB的长；（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．【解】（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∵∠BCA＝45°，在Rt△AEC中，AE＝EC，∵cotB，在Rt△BEA中，，设BE＝3x，AE＝2x，∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，∴x＝2，∴BE＝6，EA＝EC＝4，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．即AB2＝36+16＝52．∴AB．（2）由（1）知AB＝2，又∵D为AB的中点，∴BD＝AD，∵DF⊥BC，AE⊥BC，∴DF∥AE，∵BD＝AD，∴BF＝FEBE＝3．∴DFAE＝2，∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．∴tan∠DCB．24．（2021•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．【解】（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，∵CD＝CA，∴AH＝DH，∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠ABC，∴sin∠ACH＝sin∠ABC，在Rt△ACH中，sin∠ACH，∴AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC，∴AB＝3AC＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，∵∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，∴∠HCD＝∠EBD，∴sin∠EBD，∴DEBD，∴BE，在Rt△EBC中，tan∠EBC．